ΘΑΛΗΣ 2008 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: $\displaystyle{A = 4^2\cdot 25^2 + 2008 : 4 + (3^3 − 5^2 ) \cdot 249 − 10^4}$ .

2. Στο διπλανό σχήμα η ευθεία $\displaystyle{Ay}$ είναι παράλληλη προς την πλευρά $\displaystyle{B\Gamma}$ του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ και διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\widehat{\Gamma A x}}$ .
Δίνεται ακόμη ότι: $\displaystyle{\widehat{BA\Gamma}= 62^o}$ και $\displaystyle{AB=A\Delta}$ .
(α) Να βρείτε τις γωνίες $\displaystyle{\widehat{B}}$ και $\displaystyle{\widehat{\Gamma}}$ του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ .
(β) Να εξηγήσετε γιατί η $\displaystyle{B\Delta}$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\widehat{AB\Gamma}}$ .

: 8alis 2008 2o.png (10.22 KiB) Προβλήθηκε 1962 φορές

3. Αν για το θετικό ακέραιο αριθμό $\displaystyle{\alpha}$ ισχύει: $\displaystyle{\frac{21}{5}<\frac{42}{\alpha}<\frac{21}{4}}$ ,
να βρεθεί η τιμή της παράστασης $\displaystyle{A = \alpha + 5 (4 + \alpha) + 3(\alpha − 4) + 1919}$ .

4. Ένα Γυμνάσιο συμμετέχει στην παρέλαση για την επέτειο μιας Εθνικής Εορτής με το $\displaystyle{60\%}$ του αριθμού των αγοριών και το $\displaystyle{80\%}$ του αριθμού των κοριτσιών του. Τα αγόρια που συμμετέχουν, αν παραταχθούν σε τριάδες, τότε δεν περισσεύει κανείς, ενώ, αν παραταχθούν σε πεντάδες ή επτάδες, τότε και στις δύο περιπτώσεις περισσεύουν από τρεις. Όλα τα αγόρια του Γυμνασίου είναι περισσότερα από $\displaystyle{100}$ και λιγότερα από $\displaystyle{200}$ . Αν το $\displaystyle{80\%}$ των κοριτσιών είναι αριθμός διπλάσιος από τον αριθμό που αντιστοιχεί στο $\displaystyle{60\%}$ του αριθμού των αγοριών, να βρείτε το συνολικό αριθμό των κοριτσιών και αγοριών του Γυμνασίου.

daphnelg · #2

parmenides51 έγραψε:1. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: $\displaystyle{A = 4^2\cdot 25^2 + 2008 : 4 + (3^3 − 5^2 ) \cdot 249 − 10^4}$ .

${A = 4^2\cdot 25^2 + 2008 : 4 + (3^3 - 5^2 ) \cdot 249 - 10^4}=(4\cdot 25)^{2}+502+(27-25)\cdot 249-10^{4}=100^{2}+502+2\cdot 249-10^{4}=10^{4}+502+498-10^{4}=502+498=1000$

daphnelg · #3

parmenides51 έγραψε:
8alis 2008 2o.png
3. Αν για το θετικό ακέραιο αριθμό $\displaystyle{\alpha}$ ισχύει: $\displaystyle{\frac{21}{5}<\frac{42}{\alpha}<\frac{21}{4}}$ ,
να βρεθεί η τιμή της παράστασης $\displaystyle{A = \alpha + 5 (4 + \alpha) + 3(\alpha − 4) + 1919}$ .

${\frac{21}{5}<\frac{42}{\alpha}}\Leftrightarrow 21\alpha <5\cdot 42\Leftrightarrow \alpha <10$ και ${\frac{42}{\alpha}<\frac{21}{4}}\Leftrightarrow 4\cdot 42<21\cdot \alpha \Leftrightarrow 8<\alpha$ .

Από τα παραπάνω διαπιστώνουμε ότι $8<\alpha <10$ και επειδή ο α είναι θετικός ακέραιος, θα ισούται με 9.

Αντικαθιστώντας, βρίσκουμε πως ${A = \alpha + 5 (4 + \alpha) + 3(\alpha - 4) + 1919}= 9+5(4+9)+3(9-4)+1919=9+65+15+1919=2008$

daphnelg · #4

parmenides51 έγραψε:2. Στο διπλανό σχήμα η ευθεία $\displaystyle{Ay}$ είναι παράλληλη προς την πλευρά $\displaystyle{B\Gamma}$ του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ και διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\widehat{\Gamma A x}}$ .
Δίνεται ακόμη ότι: $\displaystyle{\widehat{BA\Gamma}= 62^o}$ και $\displaystyle{AB=A\Delta}$ .
(α) Να βρείτε τις γωνίες $\displaystyle{\widehat{B}}$ και $\displaystyle{\widehat{\Gamma}}$ του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ .
(β) Να εξηγήσετε γιατί η $\displaystyle{B\Delta}$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\widehat{AB\Gamma}}$ .

Απόπειρα για την άσκηση 2, το α.

(α) Γνωρίζουμε ότι η ευθεία

είναι διχοτόμος της $\displaystyle{\widehat{\Gamma A x}}$ . Επομένως, οι γωνίες $\widehat{xAy}$ και $\widehat{yA\Gamma}$ που σχηματίζονται από την διχοτόμο θα είναι ίσες. Δηλαδή, $\widehat{xAy}=\widehat{yA\Gamma}$ .

Παρατηρούμε πως οι γωνίες $\widehat{xAy}$ , $\widehat{yA\Gamma}$ , $\widehat{BA\Gamma}$ είναι παραπληρωματικές, οπότε το άθροισμα τους θα ισούται με $180^{o}$ .

$\widehat{xAy}+\widehat{yA\Gamma}+\widehat{BA\Gamma}=180^{o}\Leftrightarrow 2\widehat{xAy}=180^{o}-\widehat{BA\Gamma}\Leftrightarrow 2\widehat{xAy}=180^{o}-62\Leftrightarrow \widehat{xAy}=59^{o}$

Οι γωνίες $\widehat{xAy}$ και $\widehat{\Gamma BA}$ είναι εντός εκτός κι επί τα αυτά μέρη μεταξύ των παραλλήλων ευθειών

και $B\Gamma$ οι οποίες τέμνονται από την

, γι'αυτό είναι ίσες. Άρα $\widehat{xAy}=\mathbf{\widehat{\Gamma BA}=59^{o}}$

Επίσης, γνωρίζουμε για το τρίγωνο $AB\Gamma$ , πως: $\widehat{A}+\widehat{B}+ \widehat{\Gamma}=180^{o}\Leftrightarrow \widehat{\Gamma}=180^{o}-\widehat{A}-\widehat{B}\Leftrightarrow \mathbf{\widehat{\Gamma}=59^{o}}$

parmenides51 · #5

daphne4 έγραψε:2.

πολύ χάρηκα που προσπάθησες άσκηση Γεωμετρίας, καλή αρχή

η λύση σου είναι σωστή αλλά λείπει μια αιτιολόγηση, γιατί κάποιες γωνίες είναι ίσες

Συνήθως δυο γωνίες είναι ίσες όταν :
- είναι κατακορυφήν
- όταν σχηματίζονται από διχοτόμο γωνίας
- όταν είναι γωνίες προσκείμενες σε βάση ισοσκελούς τριγώνου
- όταν είναι εντός εναλλάξ μεταξύ παραλλήλων ευθειών τεμνόμενων από άλλη ευθεία
- όταν είναι εντός εκτός κι επι ταυτά μέρη μεταξύ παραλλήλων ευθειών τεμνόμενων από άλλη ευθεία
- είναι συμπληρωματικές ίσων γωνιών
- είναι παραπληρωματικές ίσων γωνιών

θα σε βοηθήσω δίνοντας σου το σχήμα με μικρά γράμματα με το βασικό σχόλιο πως βολεύει να βάζουμε αριθμούς σε γωνίες για να τις ονομάζουμε,
πιο εύκολα μπορείς να γράφεις και να σκέφτεσαι σκεπτόμενη μια γωνία σαν $\displaystyle{\widehat{A_3}}$ παρά σαν $\displaystyle{\widehat{BA\Gamma}}$

parmenides51 έγραψε:2. Στο διπλανό σχήμα η ευθεία $\displaystyle{Ay}$ είναι παράλληλη προς την πλευρά $\displaystyle{B\Gamma}$ του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ και διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\widehat{\Gamma A x}}$ .
Δίνεται ακόμη ότι: $\displaystyle{\widehat{BA\Gamma}= 62^o}$ και $\displaystyle{AB=A\Delta}$ .
(α) Να βρείτε τις γωνίες $\displaystyle{\widehat{B}}$ και $\displaystyle{\widehat{\Gamma}}$ του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ .
(β) Να εξηγήσετε γιατί η $\displaystyle{B\Delta}$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\widehat{AB\Gamma}}$ .

: 8alis 2008 2o b.png (19.42 KiB) Προβλήθηκε 1891 φορές

daphnelg · #6

2 (β) Αρκεί ΝΔΟ $\widehat{B_{1}}=\widehat{B_{2}}$ .

Από το δοθέν στοιχείο $AB=A\Delta$ , συμπεραίνουμε πως το τρίγωνο $AB\Delta$ είναι ισοσκελές. Επομένως, $\mathbf{\widehat{B_{2}}=\widehat{\Delta_{1}}}$ .

Επιπλέον, οι γωνίες $\widehat{B_{1}}$ και $\widehat{\Delta_{1}}$ είναι ίσες, καθώς είναι εντός εναλλάξ μεταξύ των παράλληλων ευθειών

και $B\Gamma$ οι οποίες τέμνονται από την

. Δηλαδή, $\mathbf{\widehat{B_{1}}=\widehat{\Delta_{1}}}$ .

$\left\{\begin{matrix}\widehat{B_{1}}=\widehat{\Delta_{1}} & \\ \widehat{B_{2}}=\widehat{\Delta_{1}} & \end{matrix}\right.}\Rightarrow \widehat{B_{1}}=\widehat{B_{2}}$ .

Άρα, η ${B\Delta}$ είναι διχοτόμος της $\widehat{B}$ .

parmenides51 · #7

parmenides51 έγραψε:4. Ένα Γυμνάσιο συμμετέχει στην παρέλαση για την επέτειο μιας Εθνικής Εορτής με το $\displaystyle{60\%}$ του αριθμού των αγοριών και το $\displaystyle{80\%}$ του αριθμού των κοριτσιών του. Τα αγόρια που συμμετέχουν, αν παραταχθούν σε τριάδες, τότε δεν περισσεύει κανείς, ενώ, αν παραταχθούν σε πεντάδες ή επτάδες, τότε και στις δύο περιπτώσεις περισσεύουν από τρεις. Όλα τα αγόρια του Γυμνασίου είναι περισσότερα από $\displaystyle{100}$ και λιγότερα από $\displaystyle{200}$ . Αν το $\displaystyle{80\%}$ των κοριτσιών είναι αριθμός διπλάσιος από τον αριθμό που αντιστοιχεί στο $\displaystyle{60\%}$ του αριθμού των αγοριών, να βρείτε το συνολικό αριθμό των κοριτσιών και αγοριών του Γυμνασίου.

Έστω $\displaystyle{x}$ τα αγόρια που κάνουν παρέλαση, τότε $\displaystyle{2x}$ θα είναι τα κορίτσια που κάνουν παρέλαση ως διπλάσια τους.

Έστω $\displaystyle{y,z}$ όλα τα αγόρια και όλα τα κορίτσια του σχολείου αντίστοιχα.

Αφού το $\displaystyle{60\%}$ των αγοριών και το $\displaystyle{80\%}$ των κοριτσιών κάνει παρέλαση έχουμε πως $\displaystyle{60\%y=x \Leftrightarrow 0,6y=x}$ και $\displaystyle{80\%z=2x\Leftrightarrow 0,8z=2x}$ αντίστοιχα.

Αφού τα αγόρια του σχολείου είναι ανάμεσα σε $\displaystyle{100}$ και $\displaystyle{200}$ θα ισχύει πως
$\displaystyle{100<y<200 \Leftrightarrow 0,6\cdot 100<0,8\cdot y<0,6\cdot 200 \Leftrightarrow 60< 0,6y<120}$ κι επειδή $\displaystyle{0,6y=x}$ θα ισχύει $\displaystyle{60< x<120}$ .

Το πλήθος $\displaystyle{x}$ των αγοριών της παρέλασης , αφού παραταγμένα σε τριάδες δεν περισσεύει κανένα, θα είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{3}$ .
Αφού αν παραταχθούν σε πεντάδες ή επτάδες, περισσεύουν κάθε φορά από τρεις, τότε αν από το σύνολο τους $\displaystyle{x}$ αφαιρέσουμε $\displaystyle{3}$ άτομα, το νέο σύνολο $\displaystyle{x-3}$ θα είναι πολλαπλάσιο και του $\displaystyle{5}$ και του $\displaystyle{7}$ .
Αν τώρα στα $\displaystyle{x}$ άτομα που είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{3}$ αφαιρέσουμε $\displaystyle{3}$ άτομα, πάλι το νέο σύνολο $\displaystyle{x-3}$ θα είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{3}$ (πάλι θα χωρίζονται σε τριάδες χωρίς να περισσεύει κανείς).
Οπότε ο αριθμός $\displaystyle{x-3}$ θα είναι κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών $\displaystyle{3,5,7}$ , αφού ΕΚΠ $\displaystyle{(3,5,7)=105}$ τότε θα είναι ένα από τα πολλαπλάσια του ΕΚΠ, δηλαδή ένας αριθμός από τους $\displaystyle{105,210,315 ,420,...}$ .
Ισχύει πως $\displaystyle{60< x<120 \Leftrightarrow 60-3< x-3<120-3 \Leftrightarrow 57< x-3<117}$ .
Επειδή αναζητάμε αριθμό $\displaystyle{x-3}$ ανάμεσα σε $\displaystyle{57}$ και $\displaystyle{117}$ και πολλαπλάσιο του $\displaystyle{105}$ , τότε θα είναι $\displaystyle{x-3=105}$ , οπότε $\displaystyle{x=105+3=108}$ τα αγόρια της παρέλασης.

Τα κορίτσια της παρέλασης είναι διπλάσια από τα αγόρια της παρέλασης, άρα θα είναι $\displaystyle{2x=2\cdot 108=216}$ τα κορίτσια της παρέλασης.

Αφού το $\displaystyle{60\%}$ των αγοριών κάνει παρέλαση έχουμε πως $\displaystyle{60\%y=108 \Leftrightarrow 0,6y=108 \Leftrightarrow y=108:0,6=1080:6=180}$ αγόρια συνολικά,
αφού το $\displaystyle{60\%}$ των κοριτσιών κάνει παρέλαση έχουμε πως $\displaystyle{80\%z=216 \Leftrightarrow 0,8z=216\Leftrightarrow z=216:0,8=2160:8=270}$ κορίτσια συνολικά.

ΘΑΛΗΣ 2008 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 2008 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2008 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2008 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2008 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2008 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2008 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2008 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση