ΘΑΛΗΣ 1999 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{x^2 - (4\alpha - 7) x + 3\alpha^2 - 17\alpha + 10 = 0, \alpha\in \mathbb{ Z}, \alpha \ge -1}$ .
α) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών της είναι περιττός ακέραιος.
β) Να υπολογιστεί η τιμή του $\displaystyle{\alpha}$ έτσι ώστε η μεγαλύτερη ρίζα να είναι τετραπλάσια της μικρότερης.

2. Οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{x, y, z}$ ικανοποιούν τις ανισότητες $\displaystyle{|x| \ge |y + z|, |y| \ge|z + x|, |z| \ge |x + y|}$ . Να δειχθεί ότι $\displaystyle{x + y + z = 0}$ .

3. Θεωρούμε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{AB < A\Gamma}$ , εγγεγραμμένο σε κύκλο. Έστω $\displaystyle{\Delta}$ το μέσον του τόξου $\displaystyle{B\Gamma}$ , που περιέχει την κορυφή $\displaystyle{A}$ .
Αν $\displaystyle{E}$ είναι το ίχνος της κάθετης από το $\displaystyle{\Delta}$ προς την $\displaystyle{A\Gamma}$ , να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{AB + AE = E\Gamma}$ .

4. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{\widehat{A} = 90^o}$ και κάθετες πλευρές μήκους $\displaystyle{1}$ .
Από σημείο $\displaystyle{P}$ της υποτείνουσας $\displaystyle{B\Gamma}$ φέρουμε κάθετες $\displaystyle{PK, P\Theta}$ προς τις $\displaystyle{AB , A\Gamma}$ αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε θέση του $\displaystyle{P}$ , ένα από τα εμβαδά $\displaystyle{(BKP),(P\Theta \Gamma)}$ και $\displaystyle{(KP\Theta A)}$ είναι μεγαλύτερο ή ίσο του $\displaystyle{\frac{2}{9}}$ .

dr.tasos · #2

2.

Οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{x, y, z}$ ικανοποιούν τις ανισότητες $\displaystyle{|x| \ge |y + z|, |y| \ge|z + x|, |z| \ge |x + y|}$ . Να δειχθεί ότι $\displaystyle{x + y + z = 0}$ .

Τετραγωνιζω όλες τις σχεσεις και τις προσθετω κατα μέλη :

$x^2+y^2+z^2 \geq 2(x^2+y^2+z^2)+2(xy+xz+yz) \Leftrightarrow 0 \geq x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz) \Leftrightarrow 0 \geq (x+y+z)^2 \Rightarrow x+y+z=0$

KARKAR · #3

Συζητήθηκε προ ολίγου ! .. Πήγαινε εδώ

KARKAR · #4

. Λόγω συμμετρίας ας ασχοληθούμε μόνο με το

να κινείται στο τμήμα

(

μέσο

)

Το εμβαδόν του ορθογωνίου ισούται με (AKPQ)=(1-t)t

και επειδή $\displaystyle -t^2+t\geq\frac{2}{9}$ για $\displaystyle t\in[\frac{1}{3} ,\frac{2}{3}]$ ,

το ζητούμενο ισχύει ( για το ορθογώνιο και για $\displaystyle t\in[\frac{1}{3} ,\frac{1}{2}]$ )

Αν $\displaystyle t<\frac{1}{3}$ τότε το $\displaystyle 1-t>\frac{1}{3}$ και επειδή $\displaystyle (BKP)=\frac{1}{2}(1-t)^2$ θα έχω : $\displaystyle (BKP)>\frac{1}{2}(\frac{2}{3})^2=\frac{2}{9}$ .

: 1999 b.png (4.51 KiB) Προβλήθηκε 1254 φορές

BAGGP93 · #5

1).

Οι ρίζες της παρπάνω εξίσωσης υπάρχουν και είναι πραγματικές και άνισες διότι

η διακρίνουσα του τριωνύμου $\displaystyle{x^2-(4a-7)x+3a^2-17a+10}$ είναι

$\displaystyle{\Delta=(4a-7)^2-4(3a^2-17a+10)=16a^2-56a+49-12a^2+68a-40=4a^2+12a+9=(2a+3)^2>0}$

Αν $\displaystyle{x_1,x_2}$ οι ρίζες της εξίσωσης,τότε,

$\displaystyle{x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1\cdot x_2=(4a-7)^2-2(3a^2-17a+10)=16a^2-56a+49-6a^2+34a-20=}$

$\displaystyle{=10a^2-22a+29=2(5a^2-11a+14)+1}$ με $\displaystyle{5a^2-11a+14\in\mathbb{Z}}$

Για το δεύτερο ερώτημα έχουμε

$\displaystyle{a\geq -1\Rightarrow 2a\geq -2\Rightarrow 2a+3\geq 1>0 (\ast)}$

$\displaystyle{x_1\stackrel{(\ast)}{=}\frac{4a-7+ 2a+3}{2}=\frac{6a-4}{2}\ \land x_2\stackrel{(\ast)}{=}\frac{4a-7-2a-3}{2}=\frac{2a-10}{2}$

$\displaystyle{x_1-x_2=\frac{6a-4-2a+10}{2}=\frac{4a+6}{2}>0}$ διότι $\displaystyle{a\geq -1}$

Από την υπόθεση είναι

$\displaystyle{x_1=4x_2\Rightarrow \frac{6a-4}{2}-2(2a-10)=0\Rightarrow \frac{6a-4-4(2a-10)}{2}=0\Rightarrow 6a-4-8a+40=0\Rightarrow -2a=-36\Rightarrow a=18}$

ΘΑΛΗΣ 1999 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 1999 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1999 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1999 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1999 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1999 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση