6η ΕMO 1989-1990 (Γ' Λυκείου)

parmenides51 · #1

1. Έστω $\displaystyle{A}$ ένας $\displaystyle{2\,x\,2}$ πίνακας με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς. Ν' αποδειχτεί ότι αν $\displaystyle{A^3=\mathbb{O}}$ τότε και $\displaystyle{A^2=\mathbb{O}}$ .

2. Έστω $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ ένα τετράγωνο και $\displaystyle{K,\Lambda,M,N}$ σημεία των $\displaystyle{AB,B\Gamma,\Gamma\Delta,\Delta A}$ αντίστοιχα.
Αν $\displaystyle{O}$ είναι το κέντρο του τετραγώνου, ν' αποδειχτεί ότι η παράσταση: $\displaystyle{ \overrightarrow{OK}\cdot \overrightarrow{O\Lambda}+\overrightarrow{O\Lambda}\cdot\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{ON}\cdot\overrightarrow{OK}}$
δεν εξαρτάται από την θέση των σημείων $\displaystyle{K,\Lambda,M,N}$ (δηλαδή είναι σταθερά).

3. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $\displaystyle{f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}}$ που ικανοποιούν την σχέση $\displaystyle{y^2f(x)(f(x)-2x)\le (1-xy)(1+xy) }$ για κάθε $\displaystyle{x,y \in\mathbb{R}}$

4. Για κάθε πραγματικό αριθμό $\displaystyle{x}$ συμβολίζουμε με $\displaystyle{[x]}$ το ακέραιο μέρος του $\displaystyle{x}$ και με $\displaystyle{\{x\}}$ το κλασματικό μέρος του $\displaystyle{x}$ , έτσι ώστε $\displaystyle{x=[x]+\{x\}}$ .
α) Να βρεθεί ένας τουλάχιστον πραγματικός αριθμός $\displaystyle{x}$ τέτοιος ώστε $\displaystyle{\{x\}+\left\{\frac{1}{x}\right\}=1}$ .
β) Να βρεθούν όλοι οι ρητοί αριθμοί $\displaystyle{x}$ τέτοιοι ώστε: $\displaystyle{\{x\}+\left\{\frac{1}{x}\right\}=1}$ .

edit
Διόρθωση λέξης στο 2ο, ευχαριστώ socrates

#2

parmenides51 έγραψε:1. Έστω $\displaystyle{A}$ ένας $\displaystyle{2\,x\,2}$ πίνακας με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς. Ν' αποδειχτεί ότι αν $\displaystyle{A^3=\mathbb{O}}$ τότε και $\displaystyle{A^2=\mathbb{O}}$ .

Είναι $A^3=\mathbb{O}\implies |A^3|=\mathbb{O} \implies |A|^3=\mathbb{O} \implies |A|=\mathbb{O}.$

Από την εξίσωση Cayley-Hamilton $A^2-tA+d\mathbb{I}=\mathbb{O}$ όπου t=tr(A)

και

Είναι, λοιπόν, $A^2=tA \implies A^3=tA^2\implies tA^2=\mathbb{O}.$

Αν $Α^2\ne \mathbb{O}$ τότε t=0

οπότε $A^2=0\cdot A=\mathbb{O},$ άτοπο.

Άρα, $A^2=\mathbb{O}.$

#3

parmenides51 έγραψε:3. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $\displaystyle{f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}}$ που ικανοποιούν την σχέση $\displaystyle{y^2f(x)(f(x)-2x)\le (1-xy)(1+xy) }$ για κάθε $\displaystyle{x,y \in\mathbb{R}}$

Η σχέση γράφεται $\displaystyle{y^2(f(x)-x)^2\leq 1.}$

Αν υπάρχει

με $f(i)-i\ne 0$ τότε $\displaystyle{y^2\leq \frac{1}{(f(i)-i)^2}$ για κάθε

το οποίο δεν ισχύει για μεγάλες κατ' απόλυτη τιμή τιμές του

Άρα, $f(x)=x, \ \forall x$ που είναι λύση.

#4

parmenides51 έγραψε:4. Για κάθε πραγματικό αριθμό $\displaystyle{x}$ συμβολίζουμε με $\displaystyle{[x]}$ το ακέραιο μέρος του $\displaystyle{x}$ και με $\displaystyle{\{x\}}$ το κλασματικό μέρος του $\displaystyle{x}$ , έτσι ώστε $\displaystyle{x=[x]+\{x\}}$ .
α) Να βρεθεί ένας τουλάχιστον πραγματικός αριθμός $\displaystyle{x}$ τέτοιος ώστε $\displaystyle{\{x\}+\left\{\frac{1}{x}\right\}=1}$ .
β) Να βρεθούν όλοι οι ρητοί αριθμοί $\displaystyle{x}$ τέτοιοι ώστε: $\displaystyle{\{x\}+\left\{\frac{1}{x}\right\}=1}$ .

α) $x=2+\sqrt{3}.$

β) Είναι $\displaystyle{x+\frac{1}{x}=1+[x]+\left[\frac{1}{x}\right]\in \Bbb{Z}.}$

Έστω $\displaystyle{x=\frac{k}{l}}$ με (k,l)=1.

Τότε $\displaystyle{x+\frac{1}{x}=\frac{k^2+l^2}{kl} \in \Bbb{Z}}$

οπότε $\displaystyle{k|l^2\stackrel{(k,l)=1}{\implies }k=\pm 1}$ και όμοια $l=\pm 1.$

Άρα $x=\pm 1$ που δεν είναι λύσεις.

Ώστε, δεν υπάρχουν τέτοιοι ρητοί.

#5

parmenides51 έγραψε:2. Έστω $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ ένα τετράγωνο και $\displaystyle{K,\Lambda,M,N}$ σημεία των $\displaystyle{AB,B\Gamma,\Gamma\Delta,\Delta A}$ αντίστοιχα.
Αν $\displaystyle{O}$ είναι το κέντρο του τετραγώνου, ν' αποδειχτεί ότι η παράσταση: $\displaystyle{ \overrightarrow{OK}\cdot \overrightarrow{O\Lambda}+\overrightarrow{O\Lambda}\cdot\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{ON}\cdot\overrightarrow{OK}}$
δεν εξαρτάται από την θέση των σημείων $\displaystyle{K,\Lambda,M,N}$ (δηλαδή είναι σταθερά).

Είναι

$\displaystyle{ \overrightarrow{OK} \cdot \overrightarrow{O\Lambda} +\overrightarrow{O\Lambda} \cdot\overrightarrow{OM} +\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON} +\overrightarrow{ON} \cdot \overrightarrow{OK}=( \overrightarrow{OK}+ \overrightarrow{O M})\cdot( \overrightarrow{O\Lambda}+ \overrightarrow{ON})}.$

Επίσης, $\overrightarrow{OK}+ \overrightarrow{OM}=2 \overrightarrow{OX}$ όπου

το μέσο του $\overrightarrow{KM}$

και $\overrightarrow{O\Lambda}+ \overrightarrow{ON}=2 \overrightarrow{OY}$ όπου

το μέσο του $\overrightarrow{\Lambda N}.$

Το κέντρο

, το μέσο της πλευράς $\Gamma\Delta$ και το μέσο της $\Lambda N$ ανήκουν στη μεσοκάθετο της $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ άρα είναι συνευθειακά.
Ομοίως, το κέντρο

, το μέσο της πλευράς $B\Gamma$ και το μέσο της

ανήκουν στη μεσοκάθετο της $\displaystyle{A\Delta}$ άρα είναι συνευθειακά.

Επομένως, οι φορείς των

και

είναι κάθετοι άρα $\overrightarrow{O X} \cdot \overrightarrow{O Y}=0.$

parmenides51 · #6

parmenides51 έγραψε:2. Έστω $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ ένα τετράγωνο και $\displaystyle{K,\Lambda,M,N}$ σημεία των $\displaystyle{AB,B\Gamma,\Gamma\Delta,\Delta A}$ αντίστοιχα.
Αν $\displaystyle{O}$ είναι το κέντρο του τετραγώνου, ν' αποδειχτεί ότι η παράσταση: $\displaystyle{ \overrightarrow{OK}\cdot \overrightarrow{O\Lambda}+\overrightarrow{O\Lambda}\cdot\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{ON}\cdot\overrightarrow{OK}}$
δεν εξαρτάται από την θέση των σημείων $\displaystyle{K,\Lambda,M,N}$ (δηλαδή είναι σταθερά).

: 6i emo 1998-90 gl.PNG (17.75 KiB) Προβλήθηκε 833 φορές

socrates έγραψε:Είναι

$\displaystyle{ \overrightarrow{OK} \cdot \overrightarrow{O\Lambda} +\overrightarrow{O\Lambda} \cdot\overrightarrow{OM} +\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON} +\overrightarrow{ON} \cdot \overrightarrow{OK}=( \overrightarrow{OK}+ \overrightarrow{O M})\cdot( \overrightarrow{O\Lambda}+ \overrightarrow{ON})}.$

Επίσης, $\overrightarrow{OK}+ \overrightarrow{OM}=2 \overrightarrow{OX}$ όπου το μέσο του $\overrightarrow{KM}$

και $\overrightarrow{O\Lambda}+ \overrightarrow{ON}=2 \overrightarrow{OY}$ όπου το μέσο του $\overrightarrow{\Lambda N}.$

Το κέντρο , το μέσο της πλευράς $\Gamma\Delta$ και το μέσο της $\Lambda N$ ανήκουν στη μεσοκάθετο της $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ άρα είναι συνευθειακά.
Ομοίως, το κέντρο , το μέσο της πλευράς $B\Gamma$ και το μέσο της ανήκουν στη μεσοκάθετο της $\displaystyle{A\Delta}$ άρα είναι συνευθειακά.

Επομένως, οι φορείς των και είναι κάθετοι άρα $\overrightarrow{O X} \cdot \overrightarrow{O Y}=0.$

Υ.Γ. Ωραία λύση

6η ΕMO 1989-1990 (Γ' Λυκείου)

6η ΕMO 1989-1990 (Γ' Λυκείου)

Re: 6η ΕMO 1989-1990 (Γ' Λυκείου)

Re: 6η ΕMO 1989-1990 (Γ' Λυκείου)

Re: 6η ΕMO 1989-1990 (Γ' Λυκείου)

Re: 6η ΕMO 1989-1990 (Γ' Λυκείου)

Re: 6η ΕMO 1989-1990 (Γ' Λυκείου)

Μέλη σε σύνδεση