5η ΕMO 1988-1989 (Γ' Γυμνασίου)

parmenides51 · #1

1. Έστω $\displaystyle{A}$ το άθροισμα τριών διαδοχικών ακεραίων και $\displaystyle{B}$ το άθροισμα των αμέσως επόμενων τριών διαδοχικών. Είναι δυνατόν να έχουμε $\displaystyle{AB=33333}$ ;

2. Πόσοι δρόμοι υπάρχουν από το $\displaystyle{A}$ στο $\displaystyle{B}$ τέτοιοι ώστε να αποτελούνται από $\displaystyle{5}$ οριζόντια τμήματα και $\displaystyle{5}$ κατακόρυφα τμήματα μήκους $\displaystyle{1}$ το καθένα; (βλ. Σχήμα)

: 2011-10-12, κίνηση σε κιγκλίδα.PNG (10.46 KiB) Προβλήθηκε 913 φορές

3. Σ' ένα τετράγωνο $\displaystyle{AB\Gamma \Delta}$ πλευράς $\displaystyle{\alpha}$ θεωρούμε τον κύκλο $\displaystyle{C}$ που εφάπτεται της $\displaystyle{B\Gamma}$ και των δυο ημικυκλίων διαμέτρων $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{\Gamma \Delta}$ .
Να υπολογιστεί η ακτίνα του κύκλου $\displaystyle{C}$

4. Ν' απλοποιηθούν οι παραστάσεις

(α) $\displaystyle{\,\,1+\frac{2\alpha+\displaystyle\frac{2}{\alpha}}{\alpha+\displaystyle\frac{1}{\alpha}}\,\,}$ (β) $\displaystyle{\,\,\frac{3\beta+\displaystyle\frac{3}{\beta}+\displaystyle\frac{3}{\beta^2}}{\beta+\displaystyle\frac{1}{\beta}+\displaystyle\frac{1}{\beta^2}}\,\,}$ (γ) $\displaystyle{\,\,\frac{\left(\displaystyle\frac{1}{\alpha^2}+\displaystyle\frac{1}{\beta^2}+\displaystyle\frac{1}{\alpha\beta}\right)\alpha^6\beta^2-\alpha^6-\alpha^5\beta}{\alpha^4\beta}}}$

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε: 2. Πόσοι δρόμοι υπάρχουν από το $\displaystyle{A}$ στο $\displaystyle{B}$ τέτοιοι ώστε να αποτελούνται από $\displaystyle{5}$ οριζόντια τμήματα και $\displaystyle{5}$ κατακόρυφα τμήματα μήκους $\displaystyle{1}$ το καθένα; (βλ. Σχήμα)

: 2011-10-12, κίνηση σε κιγκλίδα.PNG (10.46 KiB) Προβλήθηκε 910 φορές

εδώ

parmenides51 · #3

parmenides51 έγραψε:4. Ν' απλοποιηθούν οι παραστάσεις

(α) $\displaystyle{\,\,1+\frac{2\alpha+\displaystyle\frac{2}{\alpha}}{\alpha+\displaystyle\frac{1}{\alpha}}\,\,}$ (β) $\displaystyle{\,\,\frac{3\beta+\displaystyle\frac{3}{\beta}+\displaystyle\frac{3}{\beta^2}}{\beta+\displaystyle\frac{1}{\beta}+\displaystyle\frac{1}{\beta^2}}\,\,}$ (γ) $\displaystyle{\,\,\frac{\left(\displaystyle\frac{1}{\alpha^2}+\displaystyle\frac{1}{\beta^2}+\displaystyle\frac{1}{\alpha\beta}\right)\alpha^6\beta^2-\alpha^6-\alpha^5\beta}{\alpha^4\beta}}}$

(α) $\displaystyle{\,\,1+\frac{2\alpha+\displaystyle\frac{2}{\alpha}}{\alpha+\displaystyle\frac{1}{\alpha}}=1+\frac{2\left(\alpha+\displaystyle\frac{1}{\alpha}\right)}{\alpha+\displaystyle\frac{1}{\alpha}}=1+2=3}$

(β) $\displaystyle{\,\,\frac{3\beta+\displaystyle\frac{3}{\beta}+\displaystyle\frac{3}{\beta^2}}{\beta+\displaystyle\frac{1}{\beta}+\displaystyle\frac{1}{\beta^2}}=\frac{3\left(\beta+\displaystyle\frac{1}{\beta}+\displaystyle\frac{1}{\beta^2}\right)}{\beta+\displaystyle\frac{1}{\beta}+\displaystyle\frac{1}{\beta^2}}=3}$

(γ) $\displaystyle{\,\,\frac{\left(\displaystyle\frac{1}{\alpha^2}+\displaystyle\frac{1}{\beta^2}+\displaystyle\frac{1}{\alpha\beta}\right)\alpha^6\beta^2-\alpha^6-\alpha^5\beta}{\alpha^4\beta}}=\frac{\displaystyle\frac{\alpha^6\beta^2}{\alpha^2}+\displaystyle\frac{\alpha^6\beta^2}{\beta^2}+\displaystyle\frac{\alpha^6\beta^2}{\alpha\beta}-\alpha^6-\alpha^5\beta}{\alpha^4\beta}}$

$\displaystyle{=\frac{\alpha^{6-2}\beta^2+\alpha^6\beta^{2-2}+\alpha^{6-1}\beta^{2-1}-\alpha^6-\alpha^5\beta}{\alpha^4\beta}=\frac{\alpha^4\beta^2+\alpha^6\beta^0+\alpha^5\beta^{1}-\alpha^6-\alpha^5\beta}{\alpha^4\beta}}$

$\displaystyle{=\frac{\alpha^4\beta^2+\alpha^6+\alpha^5\beta-\alpha^6-\alpha^5\beta}{\alpha^4\beta}=\frac{\alpha^4\beta^2}{\alpha^4\beta}=\alpha^{4-4}\beta^{2-1}=\alpha^{0}\beta^{1}=\beta}$

parmenides51 · #4

parmenides51 έγραψε:1. Έστω $\displaystyle{A}$ το άθροισμα τριών διαδοχικών ακεραίων και $\displaystyle{B}$ το άθροισμα των αμέσως επόμενων τριών διαδοχικών. Είναι δυνατόν να έχουμε $\displaystyle{AB=33333}$ ;

Έστω $\displaystyle{a-1,a,a+1}$ με $\displaystyle{a\in\mathbb{Z}}$ τρεις διαδοχικοί ακέραιοι, τότε έχουν άθροισμα $\displaystyle{a-1+a+a+1=3a}$

δηλαδή τρείς διαδοχικοί ακέραιοι έχουν άθροισμα αριθμό πολλαπλάσιο του $\displaystyle{3}$

άρα $\displaystyle{A=3m}$ και $\displaystyle{B=3n }$ με $\displaystyle{m,n\in\mathbb{Z}}$ οπότε $\displaystyle{AB=3m3n=9mn}$

οπότε για να ισχύει $\displaystyle{AB=33333}$ πρέπει $\displaystyle{9mn=33333}$ , δηλαδή το $\displaystyle{33333}$ να είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{9}$

που δεν ισχύει διότι έχει άθροισμα ψηφίων $\displaystyle{3+3+3+3+3=15}$ που δεν διαιρείται με το $\displaystyle{9}$

άρα δεν είναι πότε δυνατόν να ισχύει πως $\displaystyle{AB=33333}$

hlkampel · #5

parmenides51 έγραψε: 3. Σ' ένα τετράγωνο $\displaystyle{AB\Gamma \Delta}$ πλευράς $\displaystyle{\alpha}$ θεωρούμε τον κύκλο $\displaystyle{C}$ που εφάπτεται της $\displaystyle{B\Gamma}$ και των δυο ημικυκλίων διαμέτρων $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{\Gamma \Delta}$ .
Να υπολογιστεί η ακτίνα του κύκλου $\displaystyle{C}$

Έστω $\alpha$ είναι η πλευρά του τετραγώνου και $\rho$ η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου.

${\rm Z},{\rm H}$ είναι τα κέντρα των ημικυκλίων με διαμέτρους ${\rm A}{\rm B}$ και $\Gamma \Delta$ αντίστοιχα και ακτίνα $\frac{\alpha }{2}$ .

Είναι ${\rm Z}{\rm H}//{\rm B}\Gamma$ αφού το ${\rm Z}{\rm B}\Gamma {\rm H}$ είναι ορθογώνιο και το τρίγωνο ${\rm Z}{\rm K}{\rm H}$ είναι ισοσκελές, επειδή ${\rm Z}{\rm K} = {\rm K}{\rm H} = \frac{\alpha }{2} + \rho$ .

Η ${\rm K}{\rm O}$ είναι διάμεσος του τριγώνου ${\rm Z}{\rm K}{\rm H}$ άρα είναι και ύψος δηλαδή ${\rm K}{\rm O} \bot {\rm Z}{\rm H}$ .

Όμως ${\rm K}{\rm E} \bot {\rm B}\Gamma$ (ακτίνα στο σημείο επαφής), έτσι τα σημεία ${\rm O},{\rm K},{\rm E}$ είναι συνευθειακά, αφού ${\rm Z}{\rm H}//{\rm B}\Gamma$ και ${\rm K}{\rm O} \bot {\rm Z}{\rm H}$ .

Θα είναι ${\rm O}{\rm E} = {\rm Z}{\rm B} = \frac{\alpha }{2}$ , από το ορθογώνιο ${\rm Z}{\rm B}{\rm E}{\rm O}$ .

${\rm O}{\rm K} = {\rm O}{\rm E} - {\rm K}{\rm E} \Leftrightarrow {\rm O}{\rm K} = \frac{\alpha }{2} - \rho$ .

Από Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ${\rm Z}{\rm O}{\rm K}$ είναι:

$\displystyle{\rm Z}{{\rm K}^2} = {\rm O}{{\rm K}^2} + {\rm Z}{{\rm O}^2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{\alpha }{2} + \rho } \right)^2} = {\left( {\frac{\alpha }{2} - \rho } \right)^2} + {\left( {\frac{\alpha }{2}} \right)^2} \Leftrightarrow$

$\displystyle\frac{{{\alpha ^2}}}{4} + \alpha \rho + {\rho ^2} = \frac{{{\alpha ^2}}}{4} - \alpha \rho + {\rho ^2} + \frac{{{\alpha ^2}}}{4} \Leftrightarrow$

$\displystyle2\alpha \rho = \frac{{{\alpha ^2}}}{4} \Leftrightarrow \rho = \frac{\alpha }{8}$

parmenides51 · #6

parmenides51 έγραψε:2. Πόσοι δρόμοι υπάρχουν από το $\displaystyle{A}$ στο $\displaystyle{B}$ τέτοιοι ώστε να αποτελούνται από $\displaystyle{5}$ οριζόντια τμήματα και $\displaystyle{5}$ κατακόρυφα τμήματα μήκους $\displaystyle{1}$ το καθένα; (βλ. Σχήμα)

2011-10-12, κίνηση σε κιγκλίδα.PNG (10.46 KiB) Προβλήθηκε 821 φορές

παρόμοια με συνθήκη

5η ΕMO 1988-1989 (Γ' Γυμνασίου)

5η ΕMO 1988-1989 (Γ' Γυμνασίου)

Re: 5η ΕMO 1988-1989 (Γ' Γυμνασίου)

Re: 5η ΕMO 1988-1989 (Γ' Γυμνασίου)

Re: 5η ΕMO 1988-1989 (Γ' Γυμνασίου)

Re: 5η ΕMO 1988-1989 (Γ' Γυμνασίου)

Re: 5η ΕMO 1988-1989 (Γ' Γυμνασίου)

Μέλη σε σύνδεση