4η ΕMO 1987-1988 (Β' Λυκείου)
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
4η ΕMO 1987-1988 (Β' Λυκείου)
1. Δίνεται ότι και .
Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του ;
2. Δίνεται ένα τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλου . Αν είναι σημείο του τόξου και αν είναι οι πόδες των καθέτων που άγονται από το σημείο επί των ευθειών αντίστοιχα.
Να αποδειχτεί ότι όπου το ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά .
3. Οι διχοτόμοι των γωνιών και σ' έαν ορθογώνιο παραλληλόγραμμο τέμνουν τις πλευρές και στα σημεία και αντίστοιχα.
Να αποδειχτεί ότι:
4. Έστω τέτοιο ώστε:
i) Αν τότε
ii) και
Να αποδειχτεί ότι :
Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του ;
2. Δίνεται ένα τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλου . Αν είναι σημείο του τόξου και αν είναι οι πόδες των καθέτων που άγονται από το σημείο επί των ευθειών αντίστοιχα.
Να αποδειχτεί ότι όπου το ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά .
3. Οι διχοτόμοι των γωνιών και σ' έαν ορθογώνιο παραλληλόγραμμο τέμνουν τις πλευρές και στα σημεία και αντίστοιχα.
Να αποδειχτεί ότι:
4. Έστω τέτοιο ώστε:
i) Αν τότε
ii) και
Να αποδειχτεί ότι :
Re: 4η ΕMO 1987-1988 (Β' Λυκείου)
parmenides51 έγραψε:1. Δίνεται ότι και .
Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του ;
(1)
Για να υπάρχουν ώστε να ισχύουν οι παραπάνω σχέσεις πρέπει να υπάρχει ώστε η εξίσωση
, όπου και , να έχει πραγματικές ρίζες, δηλαδή πρέπει:
Η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο αν δηλαδή στο διάστημα είναι γν. φθίνουσα, έτσι και στο διάστημα είναι γν. φθίνουσα.
Οπότε η παρουσιάζει ελάχιστο αν , το
Έτσι
τελευταία επεξεργασία από hlkampel σε Κυρ Νοέμ 11, 2012 10:55 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Ηλίας Καμπελής
Re: 4η ΕMO 1987-1988 (Β' Λυκείου)
Νομίζω πως υπάρχει κάποιο πρόβλημα στην παραπάνω λύση.
"Και μόνο επειδή σ'άφησαν να στολίσεις το κελί σου,μην νομίσεις στιγμή ότι είσαι ελεύθερος."
Re: 4η ΕMO 1987-1988 (Β' Λυκείου)
Είπα και γω είναι τόσο εύκολη!dr.tasos έγραψε:Νομίζω πως υπάρχει κάποιο πρόβλημα στην παραπάνω λύση.
Υπάρχει "χοντρό" πρόβλημα. Το διόρθωσα και ελπίζω τώρα να είναι σωστή. Τι κάνει η βιασύνη....
Ευχαριστώ για την ειδοποίηση.
Ηλίας Καμπελής
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3537
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: 4η ΕMO 1987-1988 (Β' Λυκείου)
Από θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου στα αντίστοιχα έχουμε: . Με πρόσθεση κατά μέλη και από την τριγωνική ανισότητα παίρνουμε: .parmenides51 έγραψε:
3. Οι διχοτόμοι των γωνιών και σ' έαν ορθογώνιο παραλληλόγραμμο τέμνουν τις πλευρές και στα σημεία και αντίστοιχα.
Να αποδειχτεί ότι:
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: 4η ΕMO 1987-1988 (Β' Λυκείου)
parmenides51 έγραψε:4. Έστω τέτοιο ώστε:
i) Αν τότε
ii) και
Να αποδειχτεί ότι :
Kαι εύκολα επαγωγικά, δείχνουμε ότι , (ΣΧΕΣΗ *), για κάθε
Επίσης, βλέπουμε ότι αν , (ΣΧΕΣΗ **), όπου
Θέτουμε τώρα στην σχέση (*) . Tότε έχουμε . Oπότε από την σχέση (**), έχουμε:
και εκ νέου από την (**) έχουμε
και πάλι από την (**) συνεχίζοντας ομοίως, τελικά έχουμε: , (1)
Για , η σχέση (*) δίνει και με βάση την (**), όπως και προηγουμένως, διαδοχικά θα πάρουμε ότι
, (2)
Aπό τις (1) και (2) έχουμε ότι: . Δηλαδή:
, (3)
Συνεχίζοντας, θέτουμε στην (*), και εργαζόμενοι με τα ίδια όπως πριν βήματα, βρίσκουμε ότι :
, (4)
Από τις σχέσεις (3) , (4) παίρνουμε: , (5)
Θέτουμε στην (*) , , οπότε βρίσκουμε ότι , (6)
Aπό (5) , (6) έχουμε: , (7)
Θέτουμε στην (*) , . Tότε βρίσκουμε , (8)
Από (7) , (8) έχουμε: ,(9)
Θέτουμε στην (*) ,. Τότε βρίσκουμε , (10)
Από (9),(10) έχουμε: , (11)
Tέλος, θέτουμε στην (*) , . Τότε , (12)
Από (11) , (12) βρίσκουμε: , όπως θέλαμε.
ΣΗΜ: Δεν μπόρεσα να σκεφτώ ευκολώτερη λύση. Αν κάποιος καταφέρει κάτι πιο απλό, ας το δημοσιεύσει
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: 4η ΕMO 1987-1988 (Β' Λυκείου)
Aρκεί να δείξω ότι:parmenides51 έγραψε:2. Δίνεται ένα τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλου . Αν είναι σημείο του τόξου και αν είναι οι πόδες των καθέτων που άγονται από το σημείο επί των ευθειών αντίστοιχα.
Να αποδειχτεί ότι όπου το ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά .
Αλλά είναι γνωστό ότι: , όπου
Άρα αρκεί να αποδείξω ότι:
Όμως
Και από τον νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο , έχω:
Άρα , (2)
Με τον ίδιο τρόπο, δείχνουμε ότι , (3)
Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις σχέσεις (2) και (3) έχουμε:
,(4)
Τώρα έχουμε :
Kαι από τον νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο , 'εχουμε:
Άρα , (5)
Aντί λοιπόν για την σχέση (1), αρκεί να αποδείξουμε ότι (λόγω των σχέσεων (4) και (5):
, (6)
Από το θεώρημα του Πτολεμαίου στο τετράπλευρο , έχουμε:
Έτσι, αντί την (6) αρκεί να αποδείξουμε ότι:
, η οποία προφανώς είναι αληθής.
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: 4η ΕMO 1987-1988 (Β' Λυκείου)
parmenides51 έγραψε:2. Δίνεται ένα τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλου . Αν είναι σημείο του τόξου και αν είναι οι πόδες των καθέτων που άγονται από το σημείο επί των ευθειών αντίστοιχα.
Να αποδειχτεί ότι όπου το ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά .
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Aρκεί να δείξω ότι:
Αλλά είναι γνωστό ότι: , όπου
Άρα αρκεί να αποδείξω ότι:
Όμως
Και από τον νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο , έχω:
Άρα , (2)
Με τον ίδιο τρόπο, δείχνουμε ότι , (3)
Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις σχέσεις (2) και (3) έχουμε:
,(4)
Τώρα έχουμε :
Kαι από τον νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο , 'εχουμε:
Άρα , (5)
Aντί λοιπόν για την σχέση (1), αρκεί να αποδείξουμε ότι (λόγω των σχέσεων (4) και (5):
, (6)
Από το θεώρημα του Πτολεμαίου στο τετράπλευρο , έχουμε:
Έτσι, αντί την (6) αρκεί να αποδείξουμε ότι:
, η οποία προφανώς είναι αληθής.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες