4η ΕMO 1987-1988 (Α' Λυκείου)

parmenides51 · #1

1. Έστω ότι $\displaystyle{\alpha>0, \beta>0,\gamma>0}$ και $\displaystyle{\sqrt{1987+\alpha}+\sqrt{1987+\beta}=2\sqrt{1987+\gamma}}$ .
Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\frac{1}{2} (\alpha+\beta)\ge \gamma}$ .

2. Σ' ένα ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{AB=A\Gamma}$ θεωρούμε σημείο $\displaystyle{\Delta}$ στη βάση $\displaystyle{B\Gamma}$ και σημείο $\displaystyle{E}$ στην πλευρά $\displaystyle{A\Gamma}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{\widehat{B A\Delta}={\color{red}2}\widehat{\Gamma \Delta E}}$ .
Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{A\Delta=AE}$ .

3. Δυο κύκλοι $\displaystyle{(O_1,R_1),(O_2,R_2)}$ βρίσκονται ο ένας εκτός του άλλου. Να βρεθεί :
α) το μικρότερο ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει σημεία των κύκλων
β) το μεγαλύτερο ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει σημεία των κύκλων

4. Να αποδειχθεί οτι δεν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί $\displaystyle{\kappa}$ και $\displaystyle{\lambda}$ τέτοιοι ώστε οι αριθμοί $\displaystyle{\kappa^2+2\lambda,\lambda^2+2\kappa}$ να είναι τετράγωνα φυσικών αριθμών.

edit
Συμπληρώθηκε ένα διπλό στο 2ο

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:4. Να αποδειχθεί οτι δεν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί $\displaystyle{\kappa}$ και $\displaystyle{\lambda}$ τέτοιοι ώστε οι αριθμοί $\displaystyle{\kappa^2+2\lambda,\lambda^2+2\kappa}$ να είναι τετράγωνα φυσικών αριθμών.

εδώ κι εδώ

parmenides51 · #3

parmenides51 έγραψε:1. Έστω ότι $\displaystyle{\alpha>0, \beta>0,\gamma>0}$ και $\displaystyle{\sqrt{1987+\alpha}+\sqrt{1987+\beta}=2\sqrt{1987+\gamma}}$ .
Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\frac{1}{2} (\alpha+\beta)\ge \gamma}$ .

εδώ , εδώ κι εδώ (με άλλο νούμερο)

KARKAR · #4

Στο

θέμα , πρέπει να είναι : $\widehat{BA\Delta}=2\widehat{\Gamma \Delta E}$

: EMO.png (10.89 KiB) Προβλήθηκε 1077 φορές

parmenides51 · #5

KARKAR έγραψε:Στο θέμα , πρέπει να είναι : $\widehat{BA\Delta}=2\widehat{\Gamma \Delta E}$

διαβάζοντας την λύση από τον Ευκλείδη, βλέπω πως έχεις δίκιο αλλά τους ξέφυγε και από την εκφώνηση εκεί το διπλό.
το διόρθωσα και πάνω, τώρα δεν έφταιγα εγώ
θενξ

parmenides51 · #6

parmenides51 έγραψε:2. Σ' ένα ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{AB=A\Gamma}$ θεωρούμε σημείο $\displaystyle{\Delta}$ στη βάση $\displaystyle{B\Gamma}$ και σημείο $\displaystyle{E}$ στην πλευρά $\displaystyle{A\Gamma}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{\widehat{B A\Delta}={\color{red}2}\widehat{\Gamma \Delta E}}$ .
Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{A\Delta=AE}$ .

εδώ (το σχήμα κι ακριβώς από κάτω η λύση)

Υ.Γ. Για να βοηθήσετε δείτε εδώ

#7

parmenides51 έγραψε:3. Δυο κύκλοι $\displaystyle{(O_1,R_1),(O_2,R_2)}$ βρίσκονται ο ένας εκτός του άλλου. Να βρεθεί :
α) το μικρότερο ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει σημεία των κύκλων
β) το μεγαλύτερο ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει σημεία των κύκλων

Έστω ότι η διάκεντρος των δύο κύκλων τέμνει τον $\displaystyle{(O_1 ,R_1)}$ στα σημεία $\displaystyle{A ,B}$ και τον

$\displaystyle{(O_2 , R_2)}$ στα σημεία $\displaystyle{C , D}$ , (η σειρά των σημείων είναι : $\displaystyle{A , B , C , D}$ ).

Θεωρούμε τώρα ένα σημείο $\displaystyle{M}$ του πρώτου κύκλου και ένα σημείο $\displaystyle{N}$ του δεύτερου.

Έχουμε: $\displaystyle{MO_1 +MN+NO_2 \geq O_1 O_2 \Rightarrow R_1 +MN+R_2 \geq R_1 +BC+R_2 \Rightarrow}$

$\displaystyle{MN\geq BC}$ .

Άρα το $\displaystyle{BC}$ είναι το ελάχιστο από τα ευθύγραμμα τήματαπου συνδέουν τους δύο κύκλους.

Επίσης έχουμε:

$\displaystyle{MN\leq MO_1 +O_1 O_2 +NO_2 \Rightarrow MN\leq O_1 A+O_1 O_2 +O_2 D \Rightarrow MN\leq AD}$

Άρα το $\displaystyle{AD}$ , είναι το μέγιστο τμήμα.

parmenides51 · #8

parmenides51 έγραψε:3. Δυο κύκλοι $\displaystyle{(O_1,R_1),(O_2,R_2)}$ βρίσκονται ο ένας εκτός του άλλου. Να βρεθεί :
α) το μικρότερο ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει σημεία των κύκλων
β) το μεγαλύτερο ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει σημεία των κύκλων

: 4i emo 1997-88 al.PNG (12.64 KiB) Προβλήθηκε 963 φορές

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Έστω ότι η διάκεντρος των δύο κύκλων τέμνει τον $\displaystyle{(O_1 ,R_1)}$ στα σημεία $\displaystyle{A ,B}$ και τον

$\displaystyle{(O_2 , R_2)}$ στα σημεία $\displaystyle{C , D}$ , (η σειρά των σημείων είναι : $\displaystyle{A , B , C , D}$ ).

Θεωρούμε τώρα ένα σημείο $\displaystyle{M}$ του πρώτου κύκλου και ένα σημείο $\displaystyle{N}$ του δεύτερου.

Έχουμε: $\displaystyle{MO_1 +MN+NO_2 \geq O_1 O_2 \Rightarrow R_1 +MN+R_2 \geq R_1 +BC+R_2 \Rightarrow}$

$\displaystyle{MN\geq BC}$ .

Άρα το $\displaystyle{BC}$ είναι το ελάχιστο από τα ευθύγραμμα τήματαπου συνδέουν τους δύο κύκλους.

Επίσης έχουμε:

$\displaystyle{MN\leq MO_1 +O_1 O_2 +NO_2 \Rightarrow MN\leq O_1 A+O_1 O_2 +O_2 D \Rightarrow MN\leq AD}$

Άρα το $\displaystyle{AD}$ , είναι το μέγιστο τμήμα.

4η ΕMO 1987-1988 (Α' Λυκείου)

4η ΕMO 1987-1988 (Α' Λυκείου)

Re: 4η ΕMO 1987-1988 (Α' Λυκείου)

Re: 4η ΕMO 1987-1988 (Α' Λυκείου)

Re: 4η ΕMO 1987-1988 (Α' Λυκείου)

Re: 4η ΕMO 1987-1988 (Α' Λυκείου)

Re: 4η ΕMO 1987-1988 (Α' Λυκείου)

Re: 4η ΕMO 1987-1988 (Α' Λυκείου)

Re: 4η ΕMO 1987-1988 (Α' Λυκείου)

Μέλη σε σύνδεση