ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Έστω ο ακέραιος $\displaystyle{A= [ (- 1)^{\nu} + (- 1)^{2\nu} + (-1)^{3\nu} + (-1)^{4\nu}] \cdot {\nu}}$ όπου $\displaystyle{\nu}$ θετικός ακέραιος.
Αν ο $\displaystyle{A}$ είναι διαιρέτης του $\displaystyle{24}$ , να βρείτε τις δυνατές τιμές του $\displaystyle{\nu}$ .

2. Υπάρχει διψήφιος θετικός ακέραιος $\displaystyle{N = \overline{a b}= 10a + b}$ , όπου $\displaystyle{a, b}$ ψηφία με $\displaystyle{a\ne 0}$ , που ισούται με το γινόμενο των ψηφίων του ελαττωμένο κατά το άθροισμα των ψηφίων του;

3. Να υπολογίσετε το άθροισμα:
$\displaystyle{S = 1^2 - 2^2 - 3^2 + 4^2 + 5^2 - 6^2 - 7^2 + 8^2 + ... + 997^2 - 998^2 - 999^2 + 1000^2}$ .

4. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ότι: το σημείο $\displaystyle{\Delta}$ είναι το μέσο της πλευράς $\displaystyle{A\Gamma = \beta}$ του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ , $\displaystyle{\widehat{\Delta AE} = 90^o}$ , η $\displaystyle{\Delta E}$ είναι κάθετη προς την ευθεία $\displaystyle{B\Gamma}$ ,
$\displaystyle{\widehat{ A \Delta E}=\widehat{\Gamma \Delta Z}=\theta }$ και $\displaystyle{\widehat{\Gamma Z \Delta }=30^o}$ .
α) Να βρείτε τη γωνία $\displaystyle{\theta}$ .
β) Να υπολογίσετε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος $\displaystyle{EZ}$ συναρτήσει του $\displaystyle{\beta}$ .

: Eykleidhs 2009 gg 4o.PNG (8.4 KiB) Προβλήθηκε 1628 φορές

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:2. Υπάρχει διψήφιος θετικός ακέραιος $\displaystyle{N = \overline{a b}= 10a + b}$ , όπου $\displaystyle{a, b}$ ψηφία με $\displaystyle{a\ne 0}$ , που ισούται με το γινόμενο των ψηφίων του ελαττωμένο κατά το άθροισμα των ψηφίων του;

$\displaystyle{\overline{a b} =ab-(a+b) \Leftrightarrow 10a + b =ab-a-b \Leftrightarrow 10a+a+b+b-ab=0 \Leftrightarrow 11a +2b-ab=0 \Leftrightarrow 11a +b(2-a)=0}$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow 11a -22 +b(2-a)=0-22 \Leftrightarrow 11(a-2) -b(a-2)=-22 \Leftrightarrow (11-b)(a-2)=-22 \Leftrightarrow (b-11)(a-2)=22}$ (1)

α΄ τρόπος

επειδή οι αριθμοί $\displaystyle{b-11}$ και $\displaystyle{a-2}$ είναι ακέραιοι ως διαφορές ακεραίων, λόγω της (1) θα είναι διαιρέτες του $\displaystyle{22}$

κι επειδή $\displaystyle{22=1\cdot 22=2\cdot 11}$ , λόγω της (1) θα έχουμε τις περιπτώσεις:

$\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{\begin{cases} b-11 =1 \\ a-2 =22 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b =1+11=12 \\ a =22+2=24 \end{cases} }$ απορρίπτεται γιατί τα $\displaystyle{a,b}$ είναι ψηφία

$\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{\begin{cases} b-11 =2 \\ a-2 =11 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b =2+11=13 \\ a =11+2=13 \end{cases} }$ απορρίπτεται ομοίως

$\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{\begin{cases} b-11 =11 \\ a-2 =2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b =11+11=22 \\ a =2+2=4 \end{cases} }$ απορρίπτεται ομοίως

$\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{\begin{cases} b-11 =22 \\ a-2 =1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b =22+11=33 \\ a =1+2=3 \end{cases} }$ απορρίπτεται ομοίως

$\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{\begin{cases} b-11 =-1 \\ a-2 =-22 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b =-1+11=10 \\ a =-22+2=-20 \end{cases} }$ απορρίπτεται ομοίως

$\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{\begin{cases} b-11 =-2 \\ a-2 =-11 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b =-2+11=9 \\ a =-11+2=-9 \end{cases} }$ απορρίπτεται ομοίως

$\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{\begin{cases} b-11 =-11 \\ a-2 =-2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b =-11+11=0\\ a =-2+2=0 \end{cases} }$ απορρίπτεται γιατί $\displaystyle{a \ne 0}$

$\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{\begin{cases} b-11 =-22 \\ a-2 =-1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b =-22+11=-11\\ a =-1+2=1 \end{cases} }$ απορρίπτεται γιατί τα $\displaystyle{a,b}$ είναι ψηφία

Άρα δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός $\displaystyle{N}$ με τα δεδομένα της εκφώνησης.

β΄ τρόπος

$\displaystyle{(b-11)(a-2)=22 }$ (1)

Αφού το $\displaystyle{b}$ είναι ψηφίο τότε $\displaystyle{b<10 \Rightarrow b-11<0}$ , οπότε για να βγει θετικός αριθμός το γινόμενο στην (1) πρέπει $\displaystyle{a-2<0 \Leftrightarrow a<2}$

κι επειδή το $\displaystyle{a}$ είναι μη μηδενικό ψηφίο, τότε $\displaystyle{a=1}$ , οπότε από την (1) έχουμε

$\displaystyle{(b-11)(1-2)=22 \Leftrightarrow b-11=-22 \Leftrightarrow b=11-22=-11}$ απορρίπτεται γιατί το $\displaystyle{b}$ είναι ψηφίο

Άρα δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός $\displaystyle{N}$ με τα δεδομένα της εκφώνησης.

edit
Προσθήκη β' τρόπου

parmenides51 · #3

parmenides51 έγραψε:1. Έστω ο ακέραιος $\displaystyle{A= [ (- 1)^{\nu} + (- 1)^{2\nu} + (-1)^{3\nu} + (-1)^{4\nu}] \cdot {\nu}}$ όπου $\displaystyle{\nu}$ θετικός ακέραιος.
Αν ο $\displaystyle{A}$ είναι διαιρέτης του $\displaystyle{24}$ , να βρείτε τις δυνατές τιμές του $\displaystyle{\nu}$ .

Οι θετικοί διαιρέτες του $\displaystyle{24=1\cdot 24=2\cdot 12=3\cdot 8=4\cdot 6}$ είναι $\displaystyle{1,2,3,4,6,8,12,24}$ .

Για συντομία στις περιπτώσεις διακρίνουμε περιπτώσεις εαν το $\displaystyle{\nu}$ είναι άρτιος ή περιττός.

$\displaystyle{\bullet}$ Αν το $\displaystyle{\nu}$ είναι άρτιος ( $\displaystyle{\nu=2k}$ ) τότε όλοι οι εκθέτες θα είναι άρτιοι,

οπότε $\displaystyle{(- 1)^{\nu} + (- 1)^{2\nu} + (-1)^{3\nu} + (-1)^{4\nu}=(- 1)^{2k} + (- 1)^{2\cdot 2k} + (-1)^{3\cdot 2k} + (-1)^{4\cdot 2k}=1+1+1+1=4}$

συνεπώς $\displaystyle{A=4\nu=4\cdot 2k=8k}$ , θετικός ως γινόμενο θετικών

οπότε το $\displaystyle{A}$ είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{8}$ ( $\displaystyle{\pm 8,\pm 16,\pm 24, ...}$ ) και θετικός διαιρέτης του $\displaystyle{24}$ ,

άρα το $\displaystyle{A}$ μπορεί να είναι $\displaystyle{ 8 }$ ή $\displaystyle{24}$ ,

οπότε για $\displaystyle{A=8 \Rightarrow 8=4\nu \Rightarrow \nu =\frac{8}{4}=2}$

και για $\displaystyle{A=24 \Rightarrow 24=4\nu \Rightarrow \nu =\frac{24}{4}=6}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν το $\displaystyle{\nu}$ είναι περιττός ( $\displaystyle{\nu=2k+1}$ ) τότε οι μισοί εκθέτες θα είναι άρτιοι και οι μισοί περιττοί,

οπότε $\displaystyle{(- 1)^{\nu} + (- 1)^{2\nu} + (-1)^{3\nu} + (-1)^{4\nu}=(- 1)^{2k+1} +(- 1)^{2(2k+1)}+ (-1)^{3(2k+1)} + (-1)^{4(2k+1)}=-1+1-1+1=0}$

οπότε $\displaystyle{A=0 \nu =0}$ , απορρίπτεται γιατί δεν είναι διαιρέτης του $\displaystyle{24}$

Άρα το $\displaystyle{\nu}$ είναι $\displaystyle{2}$ ή $\displaystyle{6}$ .

perpant · #4

parmenides51 έγραψε: 3. Να υπολογίσετε το άθροισμα:
$\displaystyle{S = 1^2 - 2^2 - 3^2 + 4^2 + 5^2 - 6^2 - 7^2 + 8^2 + ... + 997^2 - 998^2 - 999^2 + 1000^2}$ .

$\displaystyle{ S = 1^2 - 2^2 - 3^2 + 4^2 + 5^2 - 6^2 - 7^2 + 8^2 + ... - 994^2 - 995^2 + 996^2 + 997^2 - 998^2 - 999^2 + 1000^2 }$

$\displaystyle{ = \underbrace {\left( {1000^2 - 999^2 } \right) + \left( {997^2 - 998^2 } \right) + \left( {996^2 - 995^2 } \right) + ... + \left( {8^2 - 7^2 } \right) + \left( {5^2 - 6^2 } \right) + \left( {4^2 - 3^2 } \right) + \left( {1^1 - 2^2 } \right)}_{500} }$

$\displaystyle{ = 1999 - 1995 + 1991 - 1987 + ... + 15 - 11 + 7 - 3 }$

$\displaystyle{ = \underbrace {4 + 4 + 4 + ... + 4 + 4}_{250} = 1000 }$
EDIT: Διόρθωση, τα τεσσάρια είναι $\displaystyle{250}$ και όχι $\displaystyle{500}$ που είχα αρχικά. Ευχαριστώ parm

parmenides51 · #5

parmenides51 έγραψε:3. Να υπολογίσετε το άθροισμα:
$\displaystyle{S = 1^2 - 2^2 - 3^2 + 4^2 + 5^2 - 6^2 - 7^2 + 8^2 + ... + 997^2 - 998^2 - 999^2 + 1000^2}$ .

$\displaystyle{1^2 - 2^2 - 3^2 + 4^2=(1^2 - 2^2 )+( 4^2- 3^2)=(1-2)(1+2)+(4-3)(4+3)=-1\cdot 3+ 1 \cdot 7=-3+7=4}$
$\displaystyle{5^2 - 6^2 - 7^2 + 8^2=(5^2 - 6^2 )+( 8^2- 7^2)=(5-6)(5+6)+(8-7)(8+7)=-1\cdot 11+ 1 \cdot 15=-11+15=4}$
$\displaystyle{9^2 - 10^2 - 11^2 + 12^2=(9^2 - 10^2 )+( 12^2- 11^2)=(9-10)(9+10)+(12-11)(12+11)=-1\cdot 19+ 1 \cdot 23=-19+23=4}$
$\displaystyle{...}$
$\displaystyle{997^2 - 998^2 - 999^2 + 1000^2=(997^2 - 998^2 )+( 1000^2- 999^2)=997-998)(997+998)+(1000- 999)(1000+999)}$ $\displaystyle{=-1\cdot 1995+ 1 \cdot 1999=-1995+1999=4}$

προσθέτοντάς κατά μέλη τις $\displaystyle{250}$ ισότητες (αφού $\displaystyle{1000:4=250}$ και χωρίσαμε όλους τους όρους σε τετράδες) έχουμε πως

$\displaystyle{S = 1^2 - 2^2 - 3^2 + 4^2 + 5^2 - 6^2 - 7^2 + 8^2 + ... + 997^2 - 998^2 - 999^2 + 1000^2= \underbrace {4 + 4+...+ 4}_{250} =4 \cdot 250 =1000}$

Υ.Γ. Με πρόλαβε ο Περικλής αλλά το αφήνω για τον κόπο και το πιο αναλυτικό γράψιμο.

#6

parmenides51 έγραψε:
2. Υπάρχει διψήφιος θετικός ακέραιος $\displaystyle{N = \overline{a b}= 10a + b}$ , όπου $\displaystyle{a, b}$ ψηφία με $\displaystyle{a\ne 0}$ , που ισούται με το γινόμενο των ψηφίων του ελαττωμένο κατά το άθροισμα των ψηφίων του;

Αλλιώς: Η δοθείσα συνθήκη γράφεται ab-a-b=10a+b

, ισοδύναμα (a-2)b=11a

. Αλλά αυτό είναι αδύνατο γιατί το δεξί μέλος έχει πρώτο παράγοντα στην ανάλυσή του το

, ενώ κανείς εκ των $a-2, \, b$ δεν τον έχει παράγοντα (είναι και οι δύο μικρότεροι του

).

gavrilos · #7

4. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ότι: το σημείο $\displaystyle{\Delta}$ είναι το μέσο της πλευράς $\displaystyle{A\Gamma = \beta}$ του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ , $\displaystyle{\widehat{\Delta AE} = 90^o}$ , η $\displaystyle{\Delta E}$ είναι κάθετη προς την ευθεία $\displaystyle{B\Gamma}$ ,
$\displaystyle{\widehat{ A \Delta E}=\widehat{\Gamma \Delta Z}=\theta }$ και $\displaystyle{\widehat{\Gamma Z \Delta }=30^o}$ .

α) Να βρείτε τη γωνία $\displaystyle{\theta}$

.

Προεκτείνουμε την $\displaystyle{\Delta E}$ η οποία τέμνει κάθετα την $\displaystyle{B\Gamma}$ στο $\displaystyle{K}$ .

To τρίγωνο ${\Delta K \Gamma}$ έχει γωνία $\displaystyle{\Delta \hat K \Gamma}$ ίση με $\displaystyle{\theta}$ αφού είναι κατακορυφήν με την $\displaystyle{A \hat \Delta E}$ η οποία είναι ίση με $\displaystyle{\theta}$ .

Τώρα στο τρίγωνο $\displaystyle{\Delta KZ}$ η γωνία $\displaystyle{K}$ είναι ίση με $\displaystyle{90^\circ}$ και η $\displaystyle{\Gamma \hat Z E }$ είναι $\displaystyle{30^\circ}$ άρα η $\displaystyle{K \hat \Delta Z}$ που ισούται με $\displaystyle{\Gamma \hat \Delta K + \Gamma \hat \Delta Z = \theta + \theta = 2\theta}$ είναι $\displaystyle{60^\circ}$ .

Επομένως $\displaystyle{\theta = \frac{60}{2} = 30^\circ}$

pito · #8

parmenides51 έγραψε:4. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ότι: το σημείο $\displaystyle{\Delta}$ είναι το μέσο της πλευράς $\displaystyle{A\Gamma = \beta}$ του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ , $\displaystyle{\widehat{\Delta AE} = 90^o}$ , η $\displaystyle{\Delta E}$ είναι κάθετη προς την ευθεία $\displaystyle{B\Gamma}$ ,
$\displaystyle{\widehat{ A \Delta E}=\widehat{\Gamma \Delta Z}=\theta }$ και $\displaystyle{\widehat{\Gamma Z \Delta }=30^o}$ .
α) Να βρείτε τη γωνία $\displaystyle{\theta}$ .
β) Να υπολογίσετε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος $\displaystyle{EZ}$ συναρτήσει του $\displaystyle{\beta}$ .

β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο $A\Delta E$ , $\theta =30^{0}\rightarrow AE=\frac{E\Delta }{2}$ και από πυθαγόρειο
$\Delta E^{2}=\frac{E\Delta ^{2}}{4}+A\Delta ^{2}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow E\Delta ^{2}=\frac{\beta ^{2}}{3}\Leftrightarrow E\Delta =\frac{\beta \sqrt{3}}{3}$

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\Delta KZ: \theta =30^{0}\rightarrow \Delta K=\frac{\Delta Z}{2}$ και στο ορθογώνιο τρίγωνο $\Delta K\Gamma : K\Gamma =\frac{\Delta \Gamma }{2}=\frac{\beta }{4}$
και από πυθαγόρειο $\Delta K^{2}=\Delta \Gamma ^{2}-K\Gamma ^{2}\Leftrightarrow \Delta K^{2}=\frac{\beta ^{2}}{4}-\frac{\beta ^{2}}{16}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow \Delta K=\frac{\beta \sqrt{3}}{4}$ , άρα $\Delta Z=\frac{\beta \sqrt{3}}{2}$

Στο τρίγωνο $\Delta EZ$ από νόμο συνημιτόνων είναι
$EZ^{2}=\Delta E^{2}+\Delta Z^{2}-\Delta E \Delta Z\sigma\upsilon \nu \Delta \Leftrightarrow EZ^{2}=\frac{\beta ^{2}}{3}+\frac{3\beta ^{2}}{4}-2\frac{\beta \sqrt{3}}{3}\frac{\beta \sqrt{3}}{2}(-\frac{1}{2})\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow EZ^{2}=\frac{19\beta ^{2}}{12}\Leftrightarrow EZ=\frac{\beta \sqrt{57}}{6}$

(Είναι $\widehat{A\Delta \Gamma }=180^{0}\Leftrightarrow \widehat{E\Delta Z}=180^{0}-2\theta =120^{0}$ )

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση