ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2008 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Να απλοποιήσετε την αλγεβρική παράσταση $\displaystyle{A =\frac{{{\left( {{x}^{2}}-\displaystyle\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)}^{m}}\cdot {{\left( y+\displaystyle\frac{1}{x} \right)}^{n-m}}\cdot {{y}^{m+n}}}{{{\left( {{y}^{2}}-\displaystyle\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{n}}\cdot {{\left( x-\displaystyle\frac{1}{y} \right)}^{m-n}}\cdot {{x}^{m+n}}}}$ ,
όπου $\displaystyle{m, n}$ ακέραιοι και $\displaystyle{x, y}$ πραγματικοί αριθμοί με $\displaystyle{xy \ne 0, xy \ne 1}$ και $\displaystyle{xy \ne -1}$ .

2. Να βρεθούν οι ακέραιοι αριθμοί $\displaystyle{\alpha,\beta}$ αν γνωρίζετε ότι ισχύουν: $\displaystyle{\left| \alpha-\beta \right| = \left| \alpha \right| + \left| \beta \right|}$ και $\displaystyle{\alpha^3\beta^2 +\alpha ^2\beta^3 + 2\alpha^2\beta^2 - \alpha- \beta = 37}$ .

3. Δίνεται τετράγωνο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ πλευράς $\displaystyle{3\alpha}$ . Πάνω στις πλευρές $\displaystyle{B\Gamma}$ και $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ λαμβάνουμε σημεία $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{Z}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{E\Gamma = Z\Delta=\alpha}$ . Τα ευθύγραμμα τμήματα $\displaystyle{BZ}$ και $\displaystyle{\Delta E}$ τέμνονται στο σημείο $\displaystyle{K}$ . Αν η ευθεία $\displaystyle{AK}$ τέμνει την ευθεία $\displaystyle{EZ}$ στο σημείο $\displaystyle{\Lambda}$ , τότε:
(α) Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{A\Lambda \perp EZ}$ .
(β) Να υπολογίσετε το μήκος της $\displaystyle{A\Lambda}$ συναρτήσει του $\displaystyle{\alpha}$ .

4. Να προσδιορίσετε τριψήφιο θετικό ακέραιο $\displaystyle{\overline{\alpha bc} = 100a + 10b + c }$ όπου $\displaystyle{a, b, c}$ ψηφία με $\displaystyle{a \ne 0}$ , ο οποίος ικανοποιεί την ισότητα: $\displaystyle{\overline{\alpha bc}= (a + b^2 + c^3)^2}$ .

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:1. Να απλοποιήσετε την αλγεβρική παράσταση $\displaystyle{A =\frac{{{\left( {{x}^{2}}-\displaystyle\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)}^{m}}\cdot {{\left( y+\displaystyle\frac{1}{x} \right)}^{n-m}}\cdot {{y}^{m+n}}}{{{\left( {{y}^{2}}-\displaystyle\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{n}}\cdot {{\left( x-\displaystyle\frac{1}{y} \right)}^{m-n}}\cdot {{x}^{m+n}}}}$ ,
όπου $\displaystyle{m, n}$ ακέραιοι και $\displaystyle{x, y}$ πραγματικοί αριθμοί με $\displaystyle{xy \ne 0, xy \ne 1}$ και $\displaystyle{xy \ne -1}$ .

$\displaystyle{A =\frac{{{\left( {{x}^{2}}-\displaystyle\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)}^{m}}\cdot {{\left( y+\displaystyle\frac{1}{x} \right)}^{n-m}}\cdot {{y}^{m+n}}}{{{\left( {{y}^{2}}-\displaystyle\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{n}}\cdot {{\left( x-\displaystyle\frac{1}{y} \right)}^{m-n}}\cdot {{x}^{m+n}}}}$

$\displaystyle{A ={{\left( {{x}^{2}}-\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)}^{m}}\cdot {{\left( y+\frac{1}{x} \right)}^{n-m}}\cdot {{y}^{m+n}}{{\left( {{y}^{2}}-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{-n}}\cdot {{\left( x-\frac{1}{y} \right)}^{-m+n}}\cdot {{x}^{-m-n}}}$

$\displaystyle{A = \frac{({x}^{2}{y}^{2}-1)^{m}}{{({y}^{2})^{m}}} }}\cdot {{\frac{(xy+1)^{n-m}}{x^{n-m}} }}\cdot {{y}^{m+n}}\frac{({x}^{2}{y}^{2}-1)^{-n}}{({x}^{2})^{-n}}}\cdot {{ \frac{(xy-1)^{-m+n}}{y^{-m+n}} }}\cdot {{x}^{-m-n}}$

$\displaystyle{A = ({x}^{2}{y}^{2}-1)^{m}({x}^{2}{y}^{2}-1)^{-n}(xy+1)^{n-m}(xy-1)^{-m+n}{({y}^{2})^{-m}}} }{x^{-n+m}}}\cdot {{y}^{m+n}}}({x}^{2})^{+n}} {{ y^{m-n}} }} {{x}^{-m-n}}$

$\displaystyle{A = ({x}^{2}{y}^{2}-1)^{m}({x}^{2}{y}^{2}-1)^{-n}(xy+1)^{n-m}(xy-1)^{-m+n}{{y}^{-2m}}} } {{y}^{m+n}}}{{ y^{m-n}} }} {x^{-n+m}}}{x}^{2n}} {{x}^{-m-n}}$

$\displaystyle{A = ({x}^{2}{y}^{2}-1)^{m-n}[(xy+1)(xy-1)]^{-m+n}y^{-2m+m+n+m-n} x^{-n+m+2n-m-n}}$

$\displaystyle{A = ({x}^{2}{y}^{2}-1)^{m-n}({x}^{2}{y}^{2}-1)^{-m+n}y^{0} x^{0}}$

$\displaystyle{A = ({x}^{2}{y}^{2}-1)^{m-n-m+n}\cdot 1\cdot 1}$

$\displaystyle{A = ({x}^{2}{y}^{2}-1)^{0}}$

$\displaystyle{A = 1}$

#3

parmenides51 έγραψε:2. Να βρεθούν οι ακέραιοι αριθμοί $\displaystyle{\alpha,\beta}$ αν γνωρίζετε ότι ισχύουν: $\displaystyle{\left| \alpha-\beta \right| = \left| \alpha \right| + \left| \beta \right|}$ και $\displaystyle{\alpha^3\beta^2 +\alpha ^2\beta^3 + 2\alpha^2\beta^2 - \alpha- \beta = 37}$ .

Έχουμε:

$\displaystyle{a(a^2 \beta ^2 -1)+\beta (a^2 \beta ^2 -1)+a^2 \beta ^2 -2=35\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{(a^2 \beta ^2 -1)(a+\beta )+2(a^2 \beta ^2 -1)=35\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{(a^2 \beta ^2 -1)(a+\beta +2)=35\Leftrightarrow (a\beta -1)(a\beta +1)(a+\beta +2)=35}$ , (1)

Αλλά από την υπόθεση έχουμε $\displaystyle{|a-\beta |=|a|+|\beta |}$ και με ύψωση στο τετράγωνο, εύκολα βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{|a\beta |=-a\beta}$ . Από εδώ συμπεραίνουμε ότι $\displaystyle{a\beta \leq 0}$

Άρα για να αληθεύει η (1), θα πρέπει $\displaystyle{a\beta -1=-7 , a\beta +1=-5 , a+\beta +2=1}$ , δηλαδή:

$\displaystyle{a\beta =-6 , a+\beta =-1}$ . Λύνοντας το σύστημα αυτό, βρίσκουμε $\displaystyle{a=2 , \beta =-3}$ , ή $\displaystyle{a=-3 , \beta =2}$

parmenides51 · #4

parmenides51 έγραψε:4. Να προσδιορίσετε τριψήφιο θετικό ακέραιο $\displaystyle{\overline{\alpha bc} = 100a + 10b + c }$ όπου $\displaystyle{a, b, c}$ ψηφία με $\displaystyle{a \ne 0}$ , ο οποίος ικανοποιεί την ισότητα: $\displaystyle{\overline{\alpha bc}= (a + b^2 + c^3)^2}$ .

εδώ

#5

parmenides51 έγραψε:3. Δίνεται τετράγωνο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ πλευράς $\displaystyle{3\alpha}$ . Πάνω στις πλευρές $\displaystyle{B\Gamma}$ και $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ λαμβάνουμε σημεία $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{Z}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{E\Gamma = Z\Delta=\alpha}$ . Τα ευθύγραμμα τμήματα $\displaystyle{BZ}$ και $\displaystyle{\Delta E}$ τέμνονται στο σημείο $\displaystyle{K}$ . Αν η ευθεία $\displaystyle{AK}$ τέμνει την ευθεία $\displaystyle{EZ}$ στο σημείο $\displaystyle{\Lambda}$ , τότε:
(α) Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{A\Lambda \perp EZ}$ .
(β) Να υπολογίσετε το μήκος της $\displaystyle{A\Lambda}$ συναρτήσει του $\displaystyle{\alpha}$

(α) Φέρνουμε τις

και

.Tα ορθογώνια τρίγωνα ABE

kαι $BZ\Gamma$ είναι προφανώς ίσα και άρα $\widehat{BAE}=\widehat{ZB\Gamma}$
Αλλά $\widehat{ZB\Gamma}+\widehat{ABZ}=90^{o}\Rightarrow \widehat{BAE}+\widehat{ABZ}=90^{o}$
Άρα

κάθετη στην

. Δηλαδή στο τρίγωνο AZE

, τo

είναι ύψος , όπου

είναι το σημείο τομής των AE , BZ

. Με τον ίδιο τρόπο, δείχνουμε ότι στο ίδιο τρίγωνο ,το

είναι το δεύτερο ύψος (όπου

είναι το σημείο τομής των

και $E\Delta)$ . Άρα το σημείο

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου AZE

, οπότε το ευθύγραμμο τμήμα $A\Lambda$ θα είναι το τρίτο ύψος. Άρα $A\Lambda$ κάθετο στην

.

(β) Από το Πυθαγόρειο θεώρημα, έχουμε: $ZE=a\sqrt{5} , BZ=AE=a\sqrt{13}$ Επίσης: $(ABE)=\frac{1}{2}AE.BN=\frac{1}{2}a.BN.\sqrt{13}$ , (1)

Και $(ABE)=\frac{1}{2}AB.BE=\frac{1}{2}3a.2a=3a^2$ ,(2)

Από τις σχέσεις (1) και (2), παίρνουμε: $BN=\frac{6a\sqrt{13}}{13}$ . Συνεπώς $ZN=BZ-BN=a\sqrt{13}-\frac{6a\sqrt{13}}{13}=\frac{7a\sqrt{13}}{13}$ . Tώρα: $(AZE)=\frac{1}{2}ZE.A\Lambda =\frac{1}{2}a.A\Lambda \sqrt{5}$ . Και: $(AZE)=\frac{1}{2}AE.ZN=\frac{1}{2}.a\sqrt{13}.\frac{7a\sqrt{13}}{13}=\frac{7a^2}{2}$ . Συνεπώς $\frac{1}{2}a\sqrt{5}.A\Lambda =\frac{7a^2}{2}\Rightarrow A\Lambda =\frac{7a\sqrt{5}}{5}$

parmenides51 · #6

parmenides51 έγραψε:3. Δίνεται τετράγωνο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ πλευράς $\displaystyle{3\alpha}$ . Πάνω στις πλευρές $\displaystyle{B\Gamma}$ και $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ λαμβάνουμε σημεία $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{Z}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{E\Gamma = Z\Delta=\alpha}$ . Τα ευθύγραμμα τμήματα $\displaystyle{BZ}$ και $\displaystyle{\Delta E}$ τέμνονται στο σημείο $\displaystyle{K}$ . Αν η ευθεία $\displaystyle{AK}$ τέμνει την ευθεία $\displaystyle{EZ}$ στο σημείο $\displaystyle{\Lambda}$ , τότε:
(α) Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{A\Lambda \perp EZ}$ .
(β) Να υπολογίσετε το μήκος της $\displaystyle{A\Lambda}$ συναρτήσει του $\displaystyle{\alpha}$

: Eykleidhs 2008 3o al.png (20.01 KiB) Προβλήθηκε 1579 φορές

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:(α) Φέρνουμε τις και .Tα ορθογώνια τρίγωνα kαι $BZ\Gamma$ είναι προφανώς ίσα και άρα $\widehat{BAE}=\widehat{ZB\Gamma}$
Αλλά $\widehat{ZB\Gamma}+\widehat{ABZ}=90^{o}\Rightarrow \widehat{BAE}+\widehat{ABZ}=90^{o}$
Άρα κάθετη στην . Δηλαδή στο τρίγωνο , τo είναι ύψος , όπου είναι το σημείο τομής των . Με τον ίδιο τρόπο, δείχνουμε ότι στο ίδιο τρίγωνο ,τοείναι το δεύτερο ύψος (όπου είναι το σημείο τομής των και $E\Delta)$ . Άρα το σημείοείναι το ορθόκεντρο του τριγώνου , οπότε το ευθύγραμμο τμήμα $A\Lambda$ θα είναι το τρίτο ύψος. Άρα $A\Lambda$ κάθετο στην .

(β) Από το Πυθαγόρειο θεώρημα, έχουμε: $ZE=a\sqrt{5} , BZ=AE=a\sqrt{13}$ Επίσης: $(ABE)=\frac{1}{2}AE.BN=\frac{1}{2}a.BN.\sqrt{13}$ , (1)

Και $(ABE)=\frac{1}{2}AB.BE=\frac{1}{2}3a.2a=3a^2$ ,(2)

Από τις σχέσεις (1) και (2), παίρνουμε: $BN=\frac{6a\sqrt{13}}{13}$ . Συνεπώς $ZN=BZ-BN=a\sqrt{13}-\frac{6a\sqrt{13}}{13}=\frac{7a\sqrt{13}}{13}$ . Tώρα: $(AZE)=\frac{1}{2}ZE.A\Lambda =\frac{1}{2}a.A\Lambda \sqrt{5}$ . Και: $(AZE)=\frac{1}{2}AE.ZN=\frac{1}{2}.a\sqrt{13}.\frac{7a\sqrt{13}}{13}=\frac{7a^2}{2}$ . Συνεπώς $\frac{1}{2}a\sqrt{5}.A\Lambda =\frac{7a^2}{2}\Rightarrow A\Lambda =\frac{7a\sqrt{5}}{5}$

Για το (β) διαφορετικά αφού υπολογιστούν με πυθαγόρεια θεωρήματα οι πλευρές του τριγώνου $\displaystyle{AEZ}$ , υπολογίζεται εύκολα το ύψος από τον τύπο $\displaystyle{A\Lambda=U_{a}=\frac{2}{\alpha}\sqrt{\tau (\tau -a)(\tau -b)(\tau -c)}}$ όπου $\displaystyle{\tau}$ η ημιπερίμετρος του τριγώνου με πλευρές $\displaystyle{a,b,c}$ (εδώ $\displaystyle{a=EZ, b=AE, c=AZ}$ )

parmenides51 · #7

parmenides51 έγραψε:3. Δίνεται τετράγωνο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ πλευράς $\displaystyle{3\alpha}$ . Πάνω στις πλευρές $\displaystyle{B\Gamma}$ και $\displaystyle{\Gamma\Delta}$ λαμβάνουμε σημεία $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{Z}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{E\Gamma = Z\Delta=\alpha}$ . Τα ευθύγραμμα τμήματα $\displaystyle{BZ}$ και $\displaystyle{\Delta E}$ τέμνονται στο σημείο $\displaystyle{K}$ . Αν η ευθεία $\displaystyle{AK}$ τέμνει την ευθεία $\displaystyle{EZ}$ στο σημείο $\displaystyle{\Lambda}$ , τότε:
(α) Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{A\Lambda \perp EZ}$ .
(β) Να υπολογίσετε το μήκος της $\displaystyle{A\Lambda}$ συναρτήσει του $\displaystyle{\alpha}$ .

(α) εδώ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2008 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2008 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2008 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2008 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2008 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2008 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2008 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2008 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση