ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2007 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{x^2 + 2 = 3\sqrt{ 3x- 2}}$ .

2. Σε ένα “τουρνουά” ποδοσφαίρου συμμετέχουν $\displaystyle{n}$ ομάδες οι οποίες θα παίξουν όλες μεταξύ τους μία μόνο φορά. Για τη νίκη μιας ομάδας δίνονται $\displaystyle{3}$ βαθμοί, για την ισοπαλία $\displaystyle{2}$ βαθμοί και για την ήττα $\displaystyle{1}$ βαθμό. Αν στο τέλος του “τουρνουά” ο συνολικός αριθμός των βαθμών που συγκέντρωσαν όλες οι ομάδες είναι $\displaystyle{364}$ , να βρεθεί ο αριθμός $\displaystyle{n}$ των ομάδων που συμμετείχαν.

3. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{x, y, z}$ ισχύει $\displaystyle{x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 4y + 6z +13 = 0}$ ,
τότε να προσδιορίσετε το μέγιστο θετικό αριθμό $\displaystyle{m}$ που είναι τέτοιος ώστε $\displaystyle{x + y + z + m \le 0}$ .

4. Δίνεται τραπέζιο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ με $\displaystyle{\widehat{A} =\widehat{B} = 90^o , A\Delta =\alpha}$ και $\displaystyle{AB = B\Gamma = 2\alpha}$ .
(i) Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\Delta A + A\Gamma < \Delta B + B\Gamma}$ .
(ii) Να βρείτε σημείο $\displaystyle{M}$ πάνω στην $\displaystyle{AB}$ για το οποίο το άθροισμα $\displaystyle{\Delta M + M \Gamma}$ είναι το ελάχιστο δυνατό.
(iii) Για το σημείο $\displaystyle{M}$ που θα βρείτε, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{\Delta M \Gamma}$ .

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:1. Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{x^2 + 2 = 3\sqrt{ 3x- 2}}$ .

εδώ

parmenides51 έγραψε:2. Σε ένα “τουρνουά” ποδοσφαίρου συμμετέχουν $\displaystyle{n}$ ομάδες οι οποίες θα παίξουν όλες μεταξύ τους μία μόνο φορά. Για τη νίκη μιας ομάδας δίνονται $\displaystyle{3}$ βαθμοί, για την ισοπαλία $\displaystyle{2}$ βαθμοί και για την ήττα $\displaystyle{1}$ βαθμό. Αν στο τέλος του “τουρνουά” ο συνολικός αριθμός των βαθμών που συγκέντρωσαν όλες οι ομάδες είναι $\displaystyle{364}$ , να βρεθεί ο αριθμός $\displaystyle{n}$ των ομάδων που συμμετείχαν.

εδώ

parmenides51 έγραψε:3. Αν για τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{x, y, z}$ ισχύει $\displaystyle{x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 4y + 6z +13 = 0}$ ,
τότε να προσδιορίσετε το μέγιστο θετικό αριθμό $\displaystyle{m}$ που είναι τέτοιος ώστε $\displaystyle{x + y + z + m \le 0}$ .

εδώ

parmenides51 έγραψε:4. Δίνεται τραπέζιο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ με $\displaystyle{\widehat{A} =\widehat{B} = 90^o , A\Delta =\alpha}$ και $\displaystyle{AB = B\Gamma = 2\alpha}$ .
(i) Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\Delta A + A\Gamma < \Delta B + B\Gamma}$ .
(ii) Να βρείτε σημείο $\displaystyle{M}$ πάνω στην $\displaystyle{AB}$ για το οποίο το άθροισμα $\displaystyle{\Delta M + M \Gamma}$ είναι το ελάχιστο δυνατό.
(iii) Για το σημείο $\displaystyle{M}$ που θα βρείτε, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{\Delta M \Gamma}$ .

εδώ κι εδώ,

για το (ii) διαφορετικά από εδώ

Protonios έγραψε:Έστω $\displaystyle{AM = x}$

To ζητούμενο άθροισμα:

$\displaystyle{\sqrt{x^2 + a^2}+ \sqrt{(2a - x)^2 + 4a^2}}$

Αρκεί υψώνοντας στο τετράγωνο να ελαχιστοποιήσουμε το:

$\displaystyle{2x^2 + 9a^2 - 4ax + 2\sqrt{(x^2 + a^2)[(2a - x)^2 + 4a^2)}}}$

Όμως το ριζικό από Cauchy Scwarz ελαχιστοποιείται όταν $\displaystyle{\displaystyle{\frac{x}{2a-x}=\frac{a}{2a} }$ , δηλαδή $\displaystyle{x = \frac{2a}{3}}$ , το ζητούμενο.

Μετά απλά επαληθεύουμε αν φεύγουν τα $\displaystyle{x}$ από την παράσταση που όντως φεύγουν.

Υ.Γ. Ευχαριστώ τον Θάνο (matha) για μια διευκρίνηση.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2007 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2007 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2007 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση