ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Η ακολουθία $\displaystyle{\alpha_n n \in \mathbb{N}^*}$ ορίζεται αναδρομικά από τις σχέσεις $\displaystyle{\alpha_{n+1}=\alpha_n+kn ,n\in \mathbb{N}^*}$ όπου $\displaystyle{k}$ θετικός ακέραιος και $\displaystyle{\alpha_1 =1}$ .
Να βρείτε για ποια τιμή του $\displaystyle{k}$ ο αριθμός $\displaystyle{2011}$ είναι όρος της ακολουθίας $\displaystyle{\alpha_n ,n \in \mathbb{N}^*}$ .

2. Δίνεται οξυγώνιο και σκαληνό τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και έστω $\displaystyle{M_1 , M_2, M_3}$ τυχόντα σημεία των πλευρών του $\displaystyle{BC, AC, AB}$ αντίστοιχα. Έστω ακόμη τα ύψη του $\displaystyle{ AH_1 , BH_2 , CH_3}$ . Να αποδείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $\displaystyle{AH_2H_3 , BM_1H_3, CM_1H_2}$ περνάνε από το ίδιο σημείο (έστω $\displaystyle{K_1}$ ), οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $\displaystyle{BH_1H_3 , AM_2H_3, CM_2H_1}$ περνάνε από το ίδιο σημείο (έστω $\displaystyle{K_2}$ ) και οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $\displaystyle{CH_1H_2 , AM_3H_2, BM_3H_1}$ περνάνε από το ίδιο σημείο (έστω $\displaystyle{K_3}$ ). Στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι οι ευθείες $\displaystyle{AK_1 , BK_2 , CK_3}$ συντρέχουν (δηλαδή, περνάνε από το ίδιο σημείο), αν, και μόνο αν, οι ευθείες $\displaystyle{AM_1 , BM_2 , CM_3}$ συντρέχουν.

3. Αν $\displaystyle{a,b, x, y \in \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{(a,b) \ne (0,0)}$ και $\displaystyle{(x, y) \ne (0,0)}$ και ισχύουν $\displaystyle{\begin{cases} a(x^2-y^2)-2bxy=x(a^2-b^2)-2aby \\ b(x^2-y^2)+2axy=y(a^2-b^2)+2abx \end{cases}}$
να αποδείξετε ότι $\displaystyle{x = a}$ και $\displaystyle{y = b}$ .

4. Σημείο $\displaystyle{M}$ βρίσκεται στο εσωτερικό κύκλου $\displaystyle{C(O, r)}$ , όπου $\displaystyle{r =15}$ cm , σε απόσταση $\displaystyle{9}$ cm από το κέντρο του κύκλου. Να βρείτε τον αριθμό των χορδών του κύκλου $\displaystyle{C(O, r)}$ που περνάνε από το σημείο $\displaystyle{M}$ και το μήκος τους είναι ακέραιος αριθμός.

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:1. Η ακολουθία $\displaystyle{\alpha_n n \in \mathbb{N}^*}$ ορίζεται αναδρομικά από τις σχέσεις $\displaystyle{\alpha_{n+1}=\alpha_n+kn ,n\in \mathbb{N}^*}$ όπου $\displaystyle{k}$ θετικός ακέραιος και $\displaystyle{\alpha_1 =1}$ .
Να βρείτε για ποια τιμή του $\displaystyle{k}$ ο αριθμός $\displaystyle{2011}$ είναι όρος της ακολουθίας $\displaystyle{\alpha_n ,n \in \mathbb{N}^*}$ .

εδώ

parmenides51 έγραψε:3. Αν $\displaystyle{a,b, x, y \in \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{(a,b) \ne (0,0)}$ και $\displaystyle{(x, y) \ne (0,0)}$ και ισχύουν $\displaystyle{\begin{cases} a(x^2-y^2)-2bxy=x(a^2-b^2)-2aby \\ b(x^2-y^2)+2axy=y(a^2-b^2)+2abx \end{cases}}$
να αποδείξετε ότι $\displaystyle{x = a}$ και $\displaystyle{y = b}$ .

εδώ με πίνακες

(στην απόκρυψη) και μια ισχυρή υπόδειξη εδώ

parmenides51 έγραψε:4. Σημείο $\displaystyle{M}$ βρίσκεται στο εσωτερικό κύκλου $\displaystyle{C(O, r)}$ , όπου $\displaystyle{r =15}$ cm , σε απόσταση $\displaystyle{9}$ cm από το κέντρο του κύκλου. Να βρείτε τον αριθμό των χορδών του κύκλου $\displaystyle{C(O, r)}$ που περνάνε από το σημείο $\displaystyle{M}$ και το μήκος τους είναι ακέραιος αριθμός.

εδώ

#3

parmenides51 έγραψε:
2. Δίνεται οξυγώνιο και σκαληνό τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και έστω $\displaystyle{M_1 , M_2, M_3}$ τυχόντα σημεία των πλευρών του $\displaystyle{BC, AC, AB}$ αντίστοιχα. Έστω ακόμη τα ύψη του $\displaystyle{ AH_1 , BH_2 , CH_3}$ . Να αποδείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $\displaystyle{AH_2H_3 , BM_1H_3, CM_1H_2}$ περνάνε από το ίδιο σημείο (έστω $\displaystyle{K_1}$ ), οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $\displaystyle{BH_1H_3 , AM_2H_3, CM_2H_1}$ περνάνε από το ίδιο σημείο (έστω $\displaystyle{K_2}$ ) και οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $\displaystyle{CH_1H_2 , AM_3H_2, BM_3H_1}$ περνάνε από το ίδιο σημείο (έστω $\displaystyle{K_3}$ ). Στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι οι ευθείες $\displaystyle{AK_1 , BK_2 , CK_3}$ συντρέχουν (δηλαδή, περνάνε από το ίδιο σημείο), αν, και μόνο αν, οι ευθείες $\displaystyle{AM_1 , BM_2 , CM_3}$ συντρέχουν.

Ας είναι ${K_1}$ το σημείο τομής των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $\vartriangle A{H_2}{H_3},\vartriangle B{M_1}{H_3}$ .Τότε

$\angle A{H_2}{K_1}\mathop = \limits^{\varepsilon \sigma \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa \eta \,\, - \,\,\alpha \pi \varepsilon \nu \alpha \nu \tau \iota \,\,\varepsilon \sigma \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa \eta \,\,\sigma \tau o\,\,\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu o\,\,A{H_2}{K_1}{H_3}} \angle {K_1}{H_3}B$ $\mathop = \limits^{\varepsilon \sigma \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa \eta \,\, - \,\,\alpha \pi \varepsilon \nu \alpha \nu \tau \iota \,\,\varepsilon \sigma \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa \eta \,\,\sigma \tau o\,\,\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu o\,\,B{M_1}{K_1}{H_3}} \angle {K_1}{M_1}C \Rightarrow C{H_2}{K_1}{M_1}$

είναι εγγράψιμο σε κύκλο, δηλαδή και ο περίκυκλος του τριγώνου $\vartriangle C{M_1}{H_2}$ διέρχεται από το σημείο ${K_1}$ .

Με όμοιο τρόπο δείχνουμε ότι οι περίκυκλοι των τριγώνων $\vartriangle B{H_1}{H_3},\vartriangle A{M_2}{H_3},\vartriangle C{M_2}{H_1}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο ${K_2}$ ,

καθώς επίσης και οι περίκυκλοι των τριγώνων $\vartriangle C{H_1}{H_2},\vartriangle A{M_3}{H_2},\vartriangle B{M_3}{H_1}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο ${K_3}$ .

[attachment=0]1.png[/attachment]
Με $\angle C{H_3}B = \angle B{H_2}C = {90^0} \Rightarrow BC{H_2}{H_3}$ είναι εγγράψιμο άρα $\angle {H_2}{K_1}A\mathop = \limits^{A{H_2}{K_1}{H_3}\,\,\varepsilon \gamma \gamma \rho \alpha \psi \iota \mu o} \angle {H_2}{H_3}A\mathop = \limits^{BC{H_2}{H_3}\,\,\varepsilon \gamma \gamma \rho \alpha \psi \iota \mu o}$

$\angle AC{M_1}\mathop = \limits^{C{H_2}{K_1}{M_1}\,\,\varepsilon \gamma \gamma \rho \alpha \psi \iota \mu o} {180^0} - \angle {M_1}{K_1}{H_2} \Rightarrow$ $\angle {H_2}{K_1}A + \angle {M_1}{K_1}{H_2} = {180^0} \Rightarrow \angle {M_1}{K_1}A = {180^0}$ $\Rightarrow A,{K_1},{M_1}$ συνευθειακά.

Με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι τα $B,{K_2},{M_2}$ καθώς και τα σημεία $C,{K_3},{M_3}$ είναι συνευθειακά, δηλαδή τα ζεύγη $\left( {A{M_1},A{K_1}} \right),\left( {B{M_2},B{K_2}} \right),\left( {C{M_3},C{K_3}} \right)$ έχουν

τον ίδιο φορέα που σημαίνει ότι η σύγκλιση των ευθειών $A{M_1},B{M_2},C{M_3}$ (έστω σε σημείο ) θα οδηγεί στην σύγκλιση και των $A{K_1},B{K_2},C{K_3}$

στο ίδιο σημείο και αντιστρόφως και τα δύο ερωτήματα του προβλήματος έχουν αποδειχθεί.

Στάθης

parmenides51 · #4

parmenides51 έγραψε:2. Δίνεται οξυγώνιο και σκαληνό τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ και έστω $\displaystyle{M_1 , M_2, M_3}$ τυχόντα σημεία των πλευρών του $\displaystyle{BC, AC, AB}$ αντίστοιχα. Έστω ακόμη τα ύψη του $\displaystyle{ AH_1 , BH_2 , CH_3}$ . Να αποδείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $\displaystyle{AH_2H_3 , BM_1H_3, CM_1H_2}$ περνάνε από το ίδιο σημείο (έστω $\displaystyle{K_1}$ ), οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $\displaystyle{BH_1H_3 , AM_2H_3, CM_2H_1}$ περνάνε από το ίδιο σημείο (έστω $\displaystyle{K_2}$ ) και οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $\displaystyle{CH_1H_2 , AM_3H_2, BM_3H_1}$ περνάνε από το ίδιο σημείο (έστω $\displaystyle{K_3}$ ). Στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι οι ευθείες $\displaystyle{AK_1 , BK_2 , CK_3}$ συντρέχουν (δηλαδή, περνάνε από το ίδιο σημείο), αν, και μόνο αν, οι ευθείες $\displaystyle{AM_1 , BM_2 , CM_3}$ συντρέχουν.

το παραπάνω θέμα αποτελεί γενίκευση του 1ου θέματος ΙΜΟ 2008 όπως αναφέρεται και λύνεται εδώ

parmenides51 έγραψε:3. Αν $\displaystyle{a,b, x, y \in \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{(a,b) \ne (0,0)}$ και $\displaystyle{(x, y) \ne (0,0)}$ και ισχύουν $\displaystyle{\begin{cases} a(x^2-y^2)-2bxy=x(a^2-b^2)-2aby \\ b(x^2-y^2)+2axy=y(a^2-b^2)+2abx \end{cases}}$
να αποδείξετε ότι $\displaystyle{x = a}$ και $\displaystyle{y = b}$ .

εδώ (aops)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2009 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση