ΘΑΛΗΣ 2010 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Έστω $\displaystyle{x = 3^2 - 4 \cdot 2^3 : 4 + 2^5}$ και $\displaystyle{y = 4 \cdot 5^2 - 4^3 + 7 \cdot 3^2}$ .
(α) Να βρεθούν οι αριθμοί $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ .
(β) Να προσδιορίσετε το μεγαλύτερο ακέραιο $\displaystyle{A}$ του οποίου οι αριθμοί $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ είναι πολλαπλάσια.

2. Έστω $\displaystyle{\alpha,\beta}$ φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον $\displaystyle{\alpha}$ και διαιρέτη τον $\displaystyle{\beta}$ δίνει πηλίκο $\displaystyle{6}$ .
Να βρεθεί ο αριθμός $\displaystyle{\alpha}$ , αν επιπλέον γνωρίζετε ότι ο $\displaystyle{\alpha}$ είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{7}$ ,
ενώ ο αριθμός $\displaystyle{\beta}$ είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των αριθμών $\displaystyle{16, 32}$ και $\displaystyle{248}$ .

3. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ . Οι διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle{\widehat{B}}$ και $\displaystyle{\widehat{\Gamma }}}$ τέμνονται στο σημείο $\displaystyle{I}$ .
Η παράλληλη από το σημείο $\displaystyle{I}$ προς την πλευρά $\displaystyle{AB}$ τέμνει την πλευρά $\displaystyle{B\Gamma}$ στο $\displaystyle{\Delta}$
ενώ η παράλληλη από το σημείο $\displaystyle{I}$ προς την πλευρά $\displaystyle{A\Gamma}$ τέμνει την πλευρά $\displaystyle{B\Gamma}$ στο σημείο $\displaystyle{E}$ .
Αν είναι $\displaystyle{\widehat{I \Delta \Gamma}= 70^o}$ και $\displaystyle{\widehat{IE\Gamma} = {\color{red}1}30^o}$ , να βρεθούν:
α) η γωνία $\displaystyle{\widehat{A}}$ του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ .
β) oι γωνίες $\displaystyle{\widehat{BI \Delta}}$ και $\displaystyle{\widehat{EI \Gamma}}$ .

4. Ένας αγρότης καλλιέργησε δύο κτήματα με ελαιόδεντρα.
Το ένα κτήμα είναι δικό του και έχει $\displaystyle{80}$ ελαιόδεντρα, ενώ το άλλο το μισθώνει και έχει $\displaystyle{120}$ ελαιόδεντρα.
Η συνολική παραγωγή λαδιού ήταν $\displaystyle{2600}$ κιλά λάδι.
Αν είχε συμφωνήσει να δώσει στον ιδιοκτήτη του μισθωμένου κτήματος το $\displaystyle{10\%}$ της παραγωγής λαδιού του μισθωμένου κτήματος,
πόσα κιλά λάδι θα πάρει ο ιδιοκτήτης του μισθωμένου κτήματος σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις:
α. Καθένα από τα ελαιόδεντρα των δύο κτημάτων παράγει τα ίδια κιλά λάδι.
β. Κάθε ελαιόδεντρο του μισθωμένου κτήματος έχει απόδοση σε λάδι ίση με το $\displaystyle{150\%}$ της απόδοσης σε λάδι κάθε ελαιόδεντρου του κτήματος του αγρότη.

edit
Διόρθωση αριθμού στο 3ο θέμα

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:1. Έστω $\displaystyle{x = 3^2 - 4 \cdot 2^3 : 4 + 2^5}$ και $\displaystyle{y = 4 \cdot 5^2 - 4^3 + 7 \cdot 3^2}$ .
(α) Να βρεθούν οι αριθμοί $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ .
(β) Να προσδιορίσετε το μεγαλύτερο ακέραιο $\displaystyle{A}$ του οποίου οι αριθμοί $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ είναι πολλαπλάσια.

α) $\displaystyle{x = 3^2 - 4 \cdot 2^3 : 4 + 2^5}$
$\displaystyle{x = 9 - 4 \cdot 8 : 4 + 32}$
$\displaystyle{x = 9 - 32 : 4 + 32}$
$\displaystyle{x = 9 - 8 + 32}$
$\displaystyle{x = 9 + 32 -8}$
$\displaystyle{x = 41-8}$
$\displaystyle{x = 33}$

$\displaystyle{y = 4 \cdot 5^2 - 4^3 + 7 \cdot 3^2}$
$\displaystyle{y = 4 \cdot 25 - 64 + 7 \cdot 9}$
$\displaystyle{y = 100 - 64 + 63}$
$\displaystyle{y = 100 + 63 - 64}$
$\displaystyle{y = 163 - 64}$
$\displaystyle{y =99}$

β) Ο μεγαλύτερος ακέραιος $\displaystyle{A}$ του οποίου οι αριθμοί $\displaystyle{x=33}$ και $\displaystyle{y=99}$ είναι πολλαπλάσια είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους που ειναι το $\displaystyle{33}$ .

ΦΕΡΡΑΙΟΣ · #3

parmenides51 έγραψε:
3. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ . Οι διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle{\widehat{B}}$ και $\displaystyle{\widehat{\Gamma }}}$ τέμνονται στο σημείο $\displaystyle{I}$ .
Η παράλληλη από το σημείο $\displaystyle{I}$ προς την πλευρά $\displaystyle{AB}$ τέμνει την πλευρά $\displaystyle{B\Gamma}$ στο $\displaystyle{\Delta}$
ενώ η παράλληλη από το σημείο $\displaystyle{I}$ προς την πλευρά $\displaystyle{A\Gamma}$ τέμνει την πλευρά $\displaystyle{B\Gamma}$ στο σημείο $\displaystyle{E}$ .
Αν είναι $\displaystyle{\widehat{I \Delta \Gamma}= 70^o}$ και $\displaystyle{\widehat{IE\Gamma = 30^o}$ , να βρεθούν:
α) η γωνία $\displaystyle{\widehat{A}}$ του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ .
β) oι γωνίες $\displaystyle{\widehat{BI \Delta}}$ και $\displaystyle{\widehat{EI \Gamma}}$ .
$\displaystyle{}$

Νομίζω πως η γωνία $\displaystyle{\widehat{IE\Gamma}$ είναι 130^o

parmenides51 · #4

δίκιο έχεις, το διορθώνω , θενξ

ΦΕΡΡΑΙΟΣ · #5

parmenides51 έγραψε: 2. Έστω $\displaystyle{\alpha,\beta}$ φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον $\displaystyle{\alpha}$ και διαιρέτη τον $\displaystyle{\beta}$ δίνει πηλίκο $\displaystyle{6}$ .
Να βρεθεί ο αριθμός $\displaystyle{\alpha}$ , αν επιπλέον γνωρίζετε ότι ο $\displaystyle{\alpha}$ είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{7}$ ,
ενώ ο αριθμός $\displaystyle{\beta}$ είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των αριθμών $\displaystyle{16, 32}$ και $\displaystyle{248}$ .
$\displaystyle{}$

$\displaystyle{\alpha =6\beta +\upsilon}$ με τη γνωστή διαδικασία βρίσκουμε το ΜΚΔ των αριθμών $\displaystyle{16}$ , $\displaystyle{32}$ και $\displaystyle{248}$ που είναι το $\displaystyle{8}$
Άρα $\displaystyle{\beta =8}$ και έχουμε $\displaystyle{\alpha =6\cdot8+\upsilon}$
οι τιμές τιμές του $\displaystyle{\upsilon}$ είναι από $\displaystyle{0}$ μέχρι και το $\displaystyle{7}$ με δοκιμές βρίσκουμε ότι μόνο για $\displaystyle{\upsilon}$ $\displaystyle{ =1}$ , ο αριθμός $\displaystyle{\alpha}$ που προκύπτει, είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{7}$ .
Άρα έχουμε $\displaystyle{\alpha=49}$ και $\displaystyle{ \beta = 8}$

parmenides51 · #6

parmenides51 έγραψε:4. Ένας αγρότης καλλιέργησε δύο κτήματα με ελαιόδεντρα.
Το ένα κτήμα είναι δικό του και έχει $\displaystyle{80}$ ελαιόδεντρα, ενώ το άλλο το μισθώνει και έχει $\displaystyle{120}$ ελαιόδεντρα.
Η συνολική παραγωγή λαδιού ήταν $\displaystyle{2600}$ κιλά λάδι.
Αν είχε συμφωνήσει να δώσει στον ιδιοκτήτη του μισθωμένου κτήματος το $\displaystyle{10\%}$ της παραγωγής λαδιού του μισθωμένου κτήματος,
πόσα κιλά λάδι θα πάρει ο ιδιοκτήτης του μισθωμένου κτήματος σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις:
α. Καθένα από τα ελαιόδεντρα των δύο κτημάτων παράγει τα ίδια κιλά λάδι.
β. Κάθε ελαιόδεντρο του μισθωμένου κτήματος έχει απόδοση σε λάδι ίση με το $\displaystyle{150\%}$ της απόδοσης σε λάδι κάθε ελαιόδεντρου του κτήματος του αγρότη.

α) Αφού κάθε χωράφι παράγει τα ίδια κιλά λάδι, η ποσότητα παραγωγής σε κιλά θα είναι ανάλογη του αριθμού των ελαιοδέντρων που έχει

οπότε με $\displaystyle{120}$ ελαιόδεντρα παράγει $\displaystyle{x}$ κιλά λάδι
με $\displaystyle{80+120=200}$ θα παράγει $\displaystyle{2600}$ κιλά λάδι

άρα $\displaystyle{\frac{120}{200} =\frac{x}{2600} \Leftrightarrow 20x =2600 \cdot 12 \Leftrightarrow 20x =31200 \Leftrightarrow \frac{20x}{20} =\frac{31200}{20} \Leftrightarrow x=1560}$ κιλά λάδι , παράγει το μισθωμένο κτήμα

άρα θα δώσει στον ιδιοκτήτη του μισθωμένου κτήματος $\displaystyle{10\% x= \frac{10}{100}\cdot 1560= \frac{15600}{100}=156}$ κιλά λάδι.

β) Αφού το ένα ελαιόδεντρο του μισθωμένου κτήματος έχει $\displaystyle{150\%}$ της απόδοσης του ενός ελαιόδεντρου του μη μισθωμένου

αν ονομάσουμε $\displaystyle{y}$ την απόδοση σε κιλά του ενός ελαιοδέντρου του μη μισθωμένου , το άλλο ελαιόδεντρο θα έχει απόδοση $\displaystyle{150\%y= \frac{150}{100}y=1,5y}$

οπότε το μη μισθωμένο χωράφι έχει παράγει συνολικά $\displaystyle{80 \cdot y =80 y}$ κιλά λάδι και το μισθωμένο έχει απόδοση $\displaystyle{120\cdot 1,5y =180y }$ κιλά λάδι

και αφού μαζί παράγουν $\displaystyle{2600}$ κιλά λάδι, θα ισχύει πως

$\displaystyle{80 y+180y=2600 \Leftrightarrow 260y= 2600 \Leftrightarrow \frac{260y}{260} =\frac{2600}{260} \Leftrightarrow y =10}$ κιλά λάδι παράγει το ένα ελαιόδεντρο του μη μισθωμένου

οπότε το μισθωμένο κτήμα παράγει συνολικά $\displaystyle{180y =180 \cdot 10=1800}$ κιλά λάδι

άρα θα δώσει στον ιδιοκτήτη του μισθωμένου κτήματος $\displaystyle{10\% \cdot 1800= \frac{10}{100}\cdot 1800= \frac{18000}{100}=180}$ κιλά λάδι.

pito · #7

3. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ . Οι διχοτόμοι των γωνιών $\displaystyle{\widehat{B}}$ και $\displaystyle{\widehat{\Gamma }}}$ τέμνονται στο σημείο $\displaystyle{I}$ .
Η παράλληλη από το σημείο $\displaystyle{I}$ προς την πλευρά $\displaystyle{AB}$ τέμνει την πλευρά $\displaystyle{B\Gamma}$ στο $\displaystyle{\Delta}$
ενώ η παράλληλη από το σημείο $\displaystyle{I}$ προς την πλευρά $\displaystyle{A\Gamma}$ τέμνει την πλευρά $\displaystyle{B\Gamma}$ στο σημείο $\displaystyle{E}$ .
Αν είναι $\displaystyle{\widehat{I \Delta \Gamma}= 70^o}$ και $\displaystyle{\widehat{IE\Gamma} = {\color{red}1}30^o}$ , να βρεθούν:
α) η γωνία $\displaystyle{\widehat{A}}$ του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ .
β) oι γωνίες $\displaystyle{\widehat{BI \Delta}}$ και $\displaystyle{\widehat{EI \Gamma}}$ .

Eίναι $\widehat{I\Delta B}=180^{0}-70^{0}=110^{0}$ .

Ακόμη $\widehat{\Delta IB}=\widehat{ABI}=\frac{\widehat{B}}{2}$ ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων $I\Delta ,AB$ με τέμνουσα την

. Έτσι $\widehat{\Delta IB}=\widehat{IB\Delta }=\frac{\widehat{B}}{2}$ και το τρίγωνο $BI\Delta$ είναι ισοσκελές με
$\widehat{BI\Delta }=-\widehat{IB\Delta }=\frac{180^{0}-110^{0}}{2}=35^{0}\rightarrow \widehat{B}=70^{0}$

Όμοια είναι $\widehat{EI\Gamma }=\widehat{A\Gamma I}=\frac{\widehat{\Gamma }}{2}$ ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων $A\Gamma , IE$
με τέμνουσα την

.
Έτσι και $\widehat{EI\Gamma }=\widehat{I\Delta E}=\frac{\widehat{\Gamma }}{2}$ και το τρίγωνο $IE\Gamma$ είναι ισοσκελές με
$\widehat{EI\Gamma }=\widehat{I\Gamma E}=\frac{180^{0}-130^{0}}{2}=25^{0}\rightarrow \widehat{\Gamma }=50^{0}$

Τελικά και $\widehat{A}=180^{o}-\widehat{B}-\widehat{\Gamma }=60^{o}$

ΘΑΛΗΣ 2010 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 2010 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2010 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2010 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2010 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2010 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2010 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2010 - B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση