ΘΑΛΗΣ 2012 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης $\displaystyle{K=\frac{x^2 \cdot y^4 \cdot z^6\cdot 2^{182}}{3\cdot (13\cdot 2^2\cdot 3^3+4^2\cdot 9^3)^{-1}}}$
αν είναι $\displaystyle{x=2^{-10},y=4^{-8},z=8^{-6}}$ και να αποδείξετε ότι είναι τέλειο τετράγωνο ρητού αριθμού.

2. Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού $\displaystyle{\alpha}$ οι αριθμοί $\displaystyle{3}$ και $\displaystyle{-3}$ είναι λύσεις της ανίσωσης
$\displaystyle{4x-5\alpha + 2 <\alpha (x -3) + 2(\alpha -1)}$ .

3. Αν το εμβαδόν $\displaystyle{E}$ του χωρίου $\displaystyle{AB\Delta \Gamma}$ του διπλανού σχήματος ισούται με το $\displaystyle{\frac{1}{12}}$ του εμβαδού
του κυκλικού δακτυλίου που ορίζεται από τους κύκλους $\displaystyle{(O,\alpha )}$ και $\displaystyle{(O,\beta ),0 < \beta <\alpha}$ ,
να βρείτε τη γωνία $\displaystyle{\omega =\widehat{AOB}}$ και την τιμή της παράστασης : $\displaystyle{\Sigma=\left(2\eta \mu^2\omega-\frac{3}{4}\sigma \upsilon \nu 2\omega\right)^3}$ .

: 8alis 2012 3o gg.PNG (22.47 KiB) Προβλήθηκε 2295 φορές

4. Δίνεται ορθογώνιο $\displaystyle{AB\Gamma \Delta }$ με $\displaystyle{A\Delta =\alpha}$ cm και $\displaystyle{AB < A\Delta}$ .
Η κάθετη από την κορυφή $\displaystyle{B}$ προς τη διαγώνιο $\displaystyle{A\Gamma}$ την τέμνει στο σημείο $\displaystyle{E}$ .
Αν ισχύει ότι $\displaystyle{E\Gamma = 2\cdot AE}$ , να βρείτε:
(i) το μήκος της πλευράς $\displaystyle{ AB}$ .
(ii) Το εμβαδόν του κύκλου που περνάει και από τις τέσσερις κορυφές του ορθογωνίου $\displaystyle{AB\Gamma \Delta }$ .

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:1. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης $\displaystyle{K=\frac{x^2 \cdot y^4 \cdot z^6\cdot 2^{182}}{3\cdot (13\cdot 2^2\cdot 3^3+4^2\cdot 9^3)^{-1}}}$
αν είναι $\displaystyle{x=2^{-10},y=4^{-8},z=8^{-6}}$ και να αποδείξετε ότι είναι τέλειο τετράγωνο ρητού αριθμού.

εδώ

parmenides51 · #3

parmenides51 έγραψε:2. Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού $\displaystyle{\alpha}$ οι αριθμοί $\displaystyle{3}$ και $\displaystyle{-3}$ είναι λύσεις της ανίσωσης
$\displaystyle{4x-5\alpha + 2 <\alpha (x -3) + 2(\alpha -1)}$ .

$\displaystyle{4x-5\alpha + 2 <\alpha (x -3) + 2(\alpha -1)}$ για $\displaystyle{x=3}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 4\cdot 3-5\alpha + 2 <\alpha (3 -3) + 2(\alpha -1)}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 12 -5\alpha + 2 <\alpha \cdot 0 + 2\alpha -2}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 12 -5\alpha + 2 <0+ 2\alpha -2}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow -5\alpha -2\alpha <-12-2 -2}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow -7\alpha <-16}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{-7\alpha}{-7} > \frac{-16}{-7}}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \alpha >\frac{16}{7}}$

$\displaystyle{4x-5\alpha + 2 <\alpha (x -3) + 2(\alpha -1)}$ για $\displaystyle{x=-3}$

$\displaystyle{4(-3)-5\alpha + 2 <\alpha (-3 -3) + 2(\alpha -1)}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow -12-5\alpha + 2 <-6\alpha + 2\alpha -2}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow -5\alpha -6\alpha -2\alpha <12-2 -2}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow -13\alpha <8}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{-13\alpha}{-13} > \frac{8}{-13}}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \alpha >-\frac{8}{13}}$

άρα $\displaystyle{-\frac{8}{13} <\alpha <\frac{16}{7}}$

κι επειδή ο $\displaystyle{\alpha}$ είναι ακέραιος , τότε $\displaystyle{\alpha =0}$ ή $\displaystyle{1}$ ή $\displaystyle{2}$

pito · #4

3. Αν το εμβαδόν $\displaystyle{E}$ του χωρίου $\displaystyle{AB\Delta \Gamma}$ του διπλανού σχήματος ισούται με το $\displaystyle{\frac{1}{12}}$ του εμβαδού
του κυκλικού δακτυλίου που ορίζεται από τους κύκλους $\displaystyle{(O,\alpha )}$ και $\displaystyle{(O,\beta ),0 < \beta <\alpha}$ ,
να βρείτε τη γωνία $\displaystyle{\omega =\widehat{AOB}}$ και την τιμή της παράστασης : $\displaystyle{\Sigma=\left(2\eta \mu^2\omega-\frac{3}{4}\sigma \upsilon \nu 2\omega\right)^3}$ .

Είναι $(AB\Gamma \Delta )=(O\overset{\frown}{AB})-(O\overset{\frown}{\Gamma \Delta })=\frac{\pi a^{2}\omega }{360^{0}}-\frac{\pi \beta ^{2}\omega }{360^{0}}=\frac{\pi \omega }{360^{0}}(a^{2}-\beta ^{2})$ , όπου $\widehat{AOB}=\omega$

Ακόμη $(AB\Gamma \Delta )=\frac{1}{12}(\pi a^{2}-\pi \beta ^{2})\Leftrightarrow \frac{\pi \omega }{360^{0}}(a^{2}-\beta ^{2})=\frac{\pi }{12}(a^{2}-\beta ^{2})\Leftrightarrow \omega =\frac{360^{0}}{12}=30^{0}$ ( αφού $a^{2}-\beta ^{2}>0$ )

Έτσι $\Sigma =(\frac{2}{4}-\frac{3}{8})^{3}=(\frac{1}{8})^{3}=\frac{1}{512}$

hlkampel · #5

parmenides51 έγραψε:4. Δίνεται ορθογώνιο $\displaystyle{AB\Gamma \Delta }$ με $\displaystyle{A\Delta =\alpha}$ cm και $\displaystyle{AB < A\Delta}$ .
Η κάθετη από την κορυφή $\displaystyle{B}$ προς τη διαγώνιο $\displaystyle{A\Gamma}$ την τέμνει στο σημείο $\displaystyle{E}$ .
Αν ισχύει ότι $\displaystyle{E\Gamma = 2\cdot AE}$ , να βρείτε:
(i) το μήκος της πλευράς $\displaystyle{ AB}$ .
(ii) Το εμβαδόν του κύκλου που περνάει και από τις τέσσερις κορυφές του ορθογωνίου $\displaystyle{AB\Gamma \Delta }$ .

(i) Είναι $A\Gamma = AE + E\Gamma \mathop \Rightarrow \limits^{E\Gamma = 2AE} A\Gamma = 3AE$ (1)

Από Πυθ. θεώρημα στο τρίγωνο AEB

είναι $A{E^2} = A{B^2} - B{E^2}$ (2)

Από Πυθ. θεώρημα στο τρίγωνο $BE\Gamma$ είναι $\displaystyle{E{\Gamma ^2} = B{\Gamma ^2} - B{E^2}\mathop \Rightarrow \limits^{{\rm B}\Gamma = \alpha } E{\Gamma ^2} = {\alpha ^2} - B{E^2}}$ (3)

Αφαιρώντας τη σχέση (2) από την (3) έχω:

$E{\Gamma ^2} - A{E^2} = {\alpha ^2} - A{B^2}\mathop \Rightarrow \limits^{E\Gamma = 2AE} 3A{E^2} = {\alpha ^2} - A{B^2}\mathop \Rightarrow \limits^{ \cdot 3}$

$9A{E^2} = 3{\alpha ^2} - 3A{B^2}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} A{\Gamma ^2} = 3{\alpha ^2} - 3A{B^2}$ (4)

Από Πυθ. θεώρημα στο τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι :

$A{B^2} = A{\Gamma ^2} - B{\Gamma ^2}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 4 \right)} A{B^2} = 3{\alpha ^2} - 3A{B^2} - {\alpha ^2} \Rightarrow$

$4A{B^2} = 2{\alpha ^2} \Rightarrow AB = \frac{{\alpha \sqrt 2 }}{2}cm$

(ii) Με $\displaystyle AB = \frac{{\alpha \sqrt 2 }}{2}$ από την σχέση (4) παίρνουμε ότι

$\displaystyle A{\Gamma ^2} = 3{\alpha ^2} - \frac{{3{\alpha ^2}}}{2} \Rightarrow A{\Gamma ^2} = \frac{{3{\alpha ^2}}}{2} \Rightarrow {\rm A}\Gamma = \frac{{\alpha \sqrt 6 }}{2}cm$

Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του ορθογωνίου είναι $\displaystyle R = \frac{{A\Gamma }}{2} = \frac{{\alpha \sqrt 6 }}{4}$ , οπότε το εμβαδόν του κύκλου είναι:

$\displaystyle E = \pi {R^2} = \pi \frac{{6{\alpha ^2}}}{{16}} \Rightarrow E = \frac{{3\pi {\alpha ^2}}}{8}c{m^2}$

parmenides51 · #6

ξέθαψα μια λύση που είχα κάνει τότε σαν επιτηρητής

parmenides51 έγραψε:4. Δίνεται ορθογώνιο $\displaystyle{AB\Gamma \Delta }$ με $\displaystyle{A\Delta =\alpha}$ cm και $\displaystyle{AB < A\Delta}$ .
Η κάθετη από την κορυφή $\displaystyle{B}$ προς τη διαγώνιο $\displaystyle{A\Gamma}$ την τέμνει στο σημείο $\displaystyle{E}$ .
Αν ισχύει ότι $\displaystyle{E\Gamma = 2\cdot AE}$ , να βρείτε:
(i) το μήκος της πλευράς $\displaystyle{ AB}$ .
(ii) Το εμβαδόν του κύκλου που περνάει και από τις τέσσερις κορυφές του ορθογωνίου $\displaystyle{AB\Gamma \Delta }$ .

: 8alis 2012 4o gg.png (13.11 KiB) Προβλήθηκε 2120 φορές

$\displaystyle{\widehat{ABE}=\widehat{A\GammaB}}$ (ως συμπληρωματικές της γωνίας $\displaystyle{\widehat{BAE}}$ στα ορθογώνια τρίγωνα $\displaystyle{A\Delta\Gamma}$ και $\displaystyle{AB\Gamma}$ )

Θέτω $\displaystyle{\widehat{ABE}=\widehat{A\GammaB}=\omega}$ ,

$\displaystyle{AE=x, \,\, E\Gamma=2x, \,\, AB=\Delta\Gamma=y, \,\, A\Delta=B\Gamma=\alpha}$

Στο τρίγωνο $\displaystyle{A\Delta\Gamma}$ έχουμε πως $\displaystyle{\eta\mu\omega=\frac{y}{3x}}$ (1)

Στο τρίγωνο $\displaystyle{A\Delta E}$ έχουμε πως $\displaystyle{\eta\mu\omega=\frac{x}{y}}$ (2)

Από (1),(2) έχουμε πως $\displaystyle{\frac{y}{3x}=\frac{x}{y} \Leftrightarrow y^2=3x^2}$ (3)

Με Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο $\displaystyle{A\Delta\Gamma}$ έχουμε : $\displaystyle{AB^2=AE^2+BE^2}$

οπότε $\displaystyle{(3x)^2=y^2+\alpha^2 \Leftrightarrow 9x^2=y^2+\alpha^2 \limits{_{\Longleftrightarrow}^{(3)}}9x^2=3x^2+\alpha^2}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 9x^2-3x^2=\alpha^2 \Leftrightarrow 6x^2=\alpha^2 \Leftrightarrow x^2=\frac{\alpha^2}{6}}$ (4)

οπότε από (3) λόγω (4) έχουμε $\displaystyle{y^2=3x^2=3\frac{\alpha^2}{6}=\frac{\alpha^2}{2}}$ οπότε

$\displaystyle{y=\sqrt{\frac{\alpha^2}{2} }=\frac{\sqrt\alpha^2}{\sqrt2}=\frac{\alpha}{\sqrt2}=\frac{\alpha\sqrt2}{\sqrt2\sqrt2}=\frac{\alpha\sqrt2}{\sqrt2^2}=\frac{\alpha\sqrt2}{2}}$ .

Η ακτίνα $\displaystyle{\rho}$ του περιγεγραμμένου κύκλου είναι $\displaystyle{\rho=\frac{A\Gamma}{2}=\frac{3x}{2}}$

οπότε ο κύκλος έχει εμβαδόν $\displaystyle{E=\pi \rho^2=\pi \left(\frac{3x}{2}\right)^2=\pi \frac{3^2x^2}{2^2}=\pi \frac{9x^2}{4}\limits{_{=}^{(3)}}\pi \frac{9}{4}\frac{\alpha^2}{6}=\pi\frac{9\alpha^2}{24}=\frac{3\pi\alpha^2}{8}}$

ΘΑΛΗΣ 2012 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 2012 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2012 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2012 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2012 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2012 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2012 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση