ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

parmenides51 · #1

1. Αν ο αριθμός $\displaystyle{K = \frac {9{{n}^{2}} + 31}{{{n}^{2}} + 7}}$ είναι ακέραιος,να προσδιορίσετε τις τιμές του ακέραιου αριθμού $\displaystyle{n}$

2. Από την κορυφή $\displaystyle{A}$ ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ φέρνουμε ημιευθεία $\displaystyle{Ax}$ τεμνει την πλευρά $\displaystyle{B\Gamma}$ στο $\displaystyle{\Delta}$ .
Πάνω στην $\displaystyle{Ax}$ παίρνουμε σημείο $\displaystyle{E}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{BA=BE}$ . Να υπολογίσετε τη γωνία $\displaystyle{\widehat{AE\Gamma}}$ .

3. Θεωρουμε τους αριθμούς $\displaystyle{{\rm A}=\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{5}{8}\cdot ...\cdot\frac{{595}}{{598}}\cdot\frac{{597}}{{600}}\,}$ , $\displaystyle{{\rm B}=\frac{2}{5}\cdot\frac{4}{7}\cdot\frac{6}{9}\cdot ...\cdot\frac{{596}}{{599}}\cdot\frac{{598}}{{601}}}$
Να αποδείξετε ότι :
(α) $\displaystyle{A<B}$
(β) $\displaystyle{{\rm A} < \frac{1} {{5990}}}$

4. Το διπλανό σχεδιάγραμμα παρουσιάζει τους δρόμους που συνδέουν τη πλατεία μιας πόλης (σημείο $\displaystyle{\Pi}$ ) με το σχολείο (σημείο $\displaystyle{\Sigma}$ ).
Στη πλατεία βρίσκονται $\displaystyle{k}$ μαθητές και ξεκινούν με προορισμό το σχολείο έχοντας δυνατότητα να κινούνται (στο σχεδιάγραμμα) μόνο προς τα δεξιά και προς τα πάνω.
Αν οι μαθητές είναι ελεύθεροι να επιλέξουν οποιαδήποτε διαδρομή (με σκοπό να φτάσουν στο σχολείο) να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{k}$ έτσι ώστε δυο τουλάχιστον μαθητές να ακολουθήσουν οπωσδήποτε την ίδια διαδρομή.

: Arximhdhs mikroi 2008.PNG (3.49 KiB) Προβλήθηκε 3016 φορές

Υπενθύμιση
Στο

για τα παλιά θέματα των διαγωνισμών πχ. της σχολικής χρονιάς 2007-2008 υιοθετείται η ονομασία ''Θαλής 2007,Ευκλείδης 2007, Αρχιμήδης 2007, Προκριματικός 2007'', πάντοτε βάζουμε στο όνομα την πρώτη χρονιά του σχολικού έτους κι όχι την χρονιά διεξαγωγής του εκάστοτε διαγωνισμού.

hlkampel · #2

parmenides51 έγραψε:2. Από την κορυφή $\displaystyle{A}$ ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ φέρνουμε ημιευθεία $\displaystyle{Ax}$ τεμνει την πλευρά $\displaystyle{B\Gamma}$ στο $\displaystyle{\Delta}$ .
Πάνω στην $\displaystyle{Ax}$ παίρνουμε σημείο $\displaystyle{E}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{BA=BE}$ . Να υπολογίσετε τη γωνία $\displaystyle{\widehat{AE\Gamma}}$ .

Έστω $\widehat {{\rm A}{\rm E}\Gamma } = x$ .

Από το ισοσκελές τρίγωνο ABE

είναι $\widehat {BAE} = \widehat {BEA} = \omega$

Από το ισοσκελές τρίγωνο $\Gamma BE$ είναι $\widehat {B\Gamma E} = \widehat {BE\Gamma } = \omega + x$

Από το τρίγωνο $A\Gamma E$ είναι: $\displaystyle{\widehat {EA\Gamma } = 180^\circ - x - (60^\circ + \omega + x) \Rightarrow \widehat {EA\Gamma } = 120^\circ - 2x - \omega }$

Όμως $\displaystyle{\widehat {EA\Gamma } + \widehat {BAE} = \widehat A \Rightarrow 120^\circ - 2x - \omega + \omega = 60^\circ \Rightarrow x = 30^\circ }$

Άρα $\widehat {{\rm A}{\rm E}\Gamma } = 30^\circ$

p_gianno · #3

parmenides51 έγραψε:2. Από την κορυφή $\displaystyle{A}$ ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ φέρνουμε ημιευθεία $\displaystyle{Ax}$ τεμνει την πλευρά $\displaystyle{B\Gamma}$ στο $\displaystyle{\Delta}$ .
Πάνω στην $\displaystyle{Ax}$ παίρνουμε σημείο $\displaystyle{E}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{BA=BE}$ . Να υπολογίσετε τη γωνία $\displaystyle{\widehat{AE\Gamma}}$ .

.
Είναι $\angle AE \Gamma=0,5 AB \Gamma=0,5 \tau o \xi A \Gamma=0,5 \cdot 60^0=30^0$

mathfinder · #4

parmenides51 έγραψε:1. Αν ο αριθμός $\displaystyle{K = \frac {9{{n}^{2}} + 31}{{{n}^{2}} + 7}}$ είναι ακέραιος,να προσδιορίσετε τις τιμές του ακέραιου αριθμού $\displaystyle{n}$

Είναι $K=\frac{9n^{2}+31}{n^{2}+7}=\frac{9n^{2}+63-32}{n^{2}+7}=\frac{9\left(n^{2}+7 \right)-32}{n^{2}+7}=9-\frac{32}{n^{2}+7}$ .
Επειδή ο

είναι ακέραιος πρέπει ο $n^{2}+7$ να είναι διαιρέτης του

, δηλαδή $n^{2}+7=8$ ή $n^{2}+7=16$ ή $n^{2}+7=32$ , αφού $n^{2}+7\geq 7$ . Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει n=1

ή

.

Αθ. Μπεληγιάννης

gavrilos · #5

parmenides51 έγραψε:3. Θεωρουμε τους αριθμούς $\displaystyle{{\rm A}=\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{5}{8}\cdot ...\cdot\frac{{595}}{{598}}\cdot\frac{{597}}{{600}}\,}$ , $\displaystyle{{\rm B}=\frac{2}{5}\cdot\frac{4}{7}\cdot\frac{6}{9}\cdot ...\cdot\frac{{596}}{{599}}\cdot\frac{{598}}{{601}}}$
Να αποδείξετε ότι :
(α) $\displaystyle{A<B}$

α) Ο καθένας από τους $\displaystyle{2}$ αριθμούς αποτελείται από $\displaystyle{299}$ παράγοντες . Αν ο κάθε παράγοντας του $\displaystyle{A}$ συμβολίζεται με $\displaystyle{\frac{x}{x+3}$ , ο αντίστοιχος του $\displaystyle{B}$ συμβολίζεται ως $\displaystyle{\frac{x+1}{x+4}$ και είναι μεγαλύτερος από τον αντίστοιχό του καθώς ισχύει η ανισότητα

$\displaystyle{\frac{x}{x+3} < \frac{x+1}{x+4}}$

$\displaystyle{x^2+4x<x^2+4x+3}$

Άρα αφού και οι $\displaystyle{299}$ παράγοντες του $\displaystyle{B}$ είναι μεγαλύτεροι από τους αντιστοίχους τους στον $\displaystyle{A}$ ισχύει ότι $\displaystyle{A<B}$ .

gavrilos · #6

parmenides51 έγραψε:2. Από την κορυφή $\displaystyle{A}$ ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ φέρνουμε ημιευθεία $\displaystyle{Ax}$ τεμνει την πλευρά $\displaystyle{B\Gamma}$ στο $\displaystyle{\Delta}$ .
Πάνω στην $\displaystyle{Ax}$ παίρνουμε σημείο $\displaystyle{E}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{BA=BE}$ . Να υπολογίσετε τη γωνία $\displaystyle{\widehat{AE\Gamma}}$ .

Μια σύντομη λύση που σκέφτηκα :

Ονομάζουμε $\displaystyle{x}$ τη ζητούμενη γωνία , $\displaystyle{\kappa}$ τις ίσες $\displaystyle{\widehat{AEB},{\widehat{EAB}}$ , ως $\displaystyle{\omega}$ τις ίσες $\displaystyle{\widehat{BE\Gamma},\widehat{B\Gamma E}}$ και ως $\displaystyle{\phi}$ την $\displaystyle{\widehat{EBA}}$ .Οπότε η ζητούμενη γωνία είναι ίση με $\displaystyle{\omega - \kappa}$

Στο τρίγωνο $\displaystyle{EB\Gamma}$ έχουμε $\displaystyle{\phi + 2\omega=180}$ και $\displaystyle{\phi = 180-2\omega}$ .Παράλληλα στο τρίγωνο $\displaystyle{ABE}$ έχουμε $\displaystyle{60+\phi+2\kappa=180}$ οπότε $\displaystyle{\phi = 120-2\kappa}$ . Άρα $\displaystyle{180-2\omega=120-2\kappa}\Leftrightarrow {2\omega-2\kappa=60}\Leftrightarrow{\omega-\kappa=30}$ και η ζητούμενη γωνία είναι ίση με $\displaystyle{30^{\circ} }$ .

parmenides51 · #7

parmenides51 έγραψε:3. Θεωρουμε τους αριθμούς $\displaystyle{{\rm A}=\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{5}{8}\cdot ...\cdot\frac{{595}}{{598}}\cdot\frac{{597}}{{600}}\,}$ , $\displaystyle{{\rm B}=\frac{2}{5}\cdot\frac{4}{7}\cdot\frac{6}{9}\cdot ...\cdot\frac{{596}}{{599}}\cdot\frac{{598}}{{601}}}$
Να αποδείξετε ότι :
(α) $\displaystyle{A<B}$
(β) $\displaystyle{{\rm A} < \frac{1} {{5990}}}$

παρόμοια

parmenides51 · #8

parmenides51 έγραψε:4. Το διπλανό σχεδιάγραμμα παρουσιάζει τους δρόμους που συνδέουν τη πλατεία μιας πόλης (σημείο $\displaystyle{\Pi}$ ) με το σχολείο (σημείο $\displaystyle{\Sigma}$ ).
Στη πλατεία βρίσκονται $\displaystyle{k}$ μαθητές και ξεκινούν με προορισμό το σχολείο έχοντας δυνατότητα να κινούνται (στο σχεδιάγραμμα) μόνο προς τα δεξιά και προς τα πάνω.
Αν οι μαθητές είναι ελεύθεροι να επιλέξουν οποιαδήποτε διαδρομή (με σκοπό να φτάσουν στο σχολείο) να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{k}$ έτσι ώστε δυο τουλάχιστον μαθητές να ακολουθήσουν οπωσδήποτε την ίδια διαδρομή.

: arximides 2008 mikroi 4o.png (7.34 KiB) Προβλήθηκε 2717 φορές

Οι δυνατές διαδρομές είναι οι :
$\displaystyle{\Pi ABCDK \Sigma$
$\displaystyle{\Pi ABEDK \Sigma, \Pi ABEJK \Sigma, \Pi ABEJL \Sigma$
$\displaystyle{\Pi AFEDK \Sigma , \Pi AFEJK \Sigma, \Pi AFEJL \Sigma$
$\displaystyle{\Pi AFIJK \Sigma , \Pi AFIJL \Sigma, \Pi AFIML \Sigma$
$\displaystyle{\Pi GFEDK \Sigma, \Pi GFEJK \Sigma, \Pi GFEJL \Sigma$
$\displaystyle{\Pi GFIJK \Sigma, \Pi GFIJL \Sigma ,\Pi GFIML \Sigma$
$\displaystyle{\Pi GHIJK \Sigma, \Pi GHIJL \Sigma, \Pi GHIML \Sigma$
$\displaystyle{\Pi GHNML \Sigma}$

συνολικά $\displaystyle{20}$ διαδρομές.

Ο ελάχιστος αριθμός των ατόμων που απαιτούνται για να διανύσουν δυο τουλάχιστον μαθητές την ίδια διαδρομή είναι $\displaystyle{21}$ ,
γιατί αν όλοι διανύσουν διαφορετικές διαδρομές τότε ο μέγιστος αριθμός ατόμων είναι ακριβώς $\displaystyle{20}$ ,
και αν προσθέσουμε ένα άτομο στα $\displaystyle{20}$ τότε αναγκαστικά δυο θα διανύσουν την ίδια διαδρομή.

#9

parmenides51 έγραψε:4. Το διπλανό σχεδιάγραμμα παρουσιάζει τους δρόμους που συνδέουν τη πλατεία μιας πόλης (σημείο $\displaystyle{\Pi}$ ) με το σχολείο (σημείο $\displaystyle{\Sigma}$ ).
Στη πλατεία βρίσκονται $\displaystyle{k}$ μαθητές και ξεκινούν με προορισμό το σχολείο έχοντας δυνατότητα να κινούνται (στο σχεδιάγραμμα) μόνο προς τα δεξιά και προς τα πάνω.
Αν οι μαθητές είναι ελεύθεροι να επιλέξουν οποιαδήποτε διαδρομή (με σκοπό να φτάσουν στο σχολείο) να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιμή του $\displaystyle{k}$ έτσι ώστε δυο τουλάχιστον μαθητές να ακολουθήσουν οπωσδήποτε την ίδια διαδρομή.

Μια σύντομη λυσή νομίζω είναι η ακόλουθη. Για να φτάσουμε στην πλατεία πρέπει γενικά να πάμε 3 φορές πάνω και 3 φορές δεξιά.
Όμως αν φιξάρουμε τις φορές που πάμε πάνω τότε καθορίζεται μονοσήμαντα η διαδρομή μας.
Επομένως από τις 6 κινήσεις που έχουμε αρκεί να διαλέξουμε τις 3 που θα πάμε πάνω. Άρα το πλήθος είναι $\binom{6}{3}=20$

#10

parmenides51 έγραψε: Οι δυνατές διαδρομές είναι οι :
$\displaystyle{\Pi ABCDK \Sigma$
$\displaystyle{\Pi ABEDK \Sigma, \Pi ABEJK \Sigma, \Pi ABEJL \Sigma$
$\displaystyle{\Pi AFEDK \Sigma , \Pi AFEJK \Sigma, \Pi AFEJL \Sigma$
$\displaystyle{\Pi AFIJK \Sigma , \Pi AFIJL \Sigma, \Pi AFIML \Sigma$
$\displaystyle{\Pi GFEDK \Sigma, \Pi GFEJK \Sigma, \Pi GFEJL \Sigma$
$\displaystyle{\Pi GFIJK \Sigma, \Pi GFIJL \Sigma ,\Pi GFIML \Sigma$
$\displaystyle{\Pi GHIJK \Sigma, \Pi GHIJL \Sigma, \Pi GHIML \Sigma$
$\displaystyle{\Pi GHNML \Sigma}$

συνολικά $\displaystyle{20}$ διαδρομές.

Σωστά.

Ένα ερώτημα που προκύπτει με τη απαρίθμηση όλων των περιπτώσεων είναι πώς θα πείσουμε τον άλλον ότι δεν ξεχάσαμε καμία διαδρομή. Ιδίως αν το τετράγωνο δεν είναι μικρό, όπως εδώ $3\times 3$ αλλά πιο μεγάλο. Π.χ. αν ήταν $10\times 10$ υπάρχουν 670442572800 διαδρομές, που εννοείται δεν μπορούμε να τις απαριθμήσουμε.

Εκτός από την σύντομη λύση του Σιλουανού (smar) παραπάνω βλέπε και
εδώ για μία άλλη κομψή μέθοδο όπου "γράφουμε αριθμούς σε κάθε κόμβο".

Φιλικά,

Μιχάλης

parmenides51 · #11

parmenides51 έγραψε:
parmenides51 έγραψε:3. Θεωρουμε τους αριθμούς $\displaystyle{{\rm A}=\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{5}{8}\cdot ...\cdot\frac{{595}}{{598}}\cdot\frac{{597}}{{600}}\,}$ , $\displaystyle{{\rm B}=\frac{2}{5}\cdot\frac{4}{7}\cdot\frac{6}{9}\cdot ...\cdot\frac{{596}}{{599}}\cdot\frac{{598}}{{601}}}$
Να αποδείξετε ότι :
(α) $\displaystyle{A<B}$
(β) $\displaystyle{{\rm A} < \frac{1} {{5990}}}$
παρόμοια

λίγο διαφορετικά γραμμένη η απάντηση για το (β)

$\displaystyle{AB=\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 598}{4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot ... \cdot 601}=\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 598 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot ... \cdot 598 \cdot 599 \cdot 600 \cdot 601}}$

$\displaystyle{AB=\frac{1\cdot 2\cdot 3}{599 \cdot 600 \cdot 601}=\frac{1}{599 \cdot 100 \cdot 601}<\frac{1}{599 \cdot 100 \cdot 599}}$

$\displaystyle{AB<\frac{1}{5990 \cdot 5990}=\left(\frac{1}{5990}\right)^2}}$

$\displaystyle{\Rightarrow \sqrt{AB}<\sqrt{\left(\frac{1}{5990}\right)^2}}=\frac{1}{5990}}$

κι επειδή $\displaystyle{A=\sqrt{A^2}=\sqrt{A}\sqrt{A}<\sqrt{A}\sqrt{B}=\sqrt{AB}}$ αφού $\displaystyle{0<A<B}$

θα ισχύει πως $\displaystyle{A<\sqrt{AB}<\frac{1}{5990}}$

Orestisss · #12

parmenides51 έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 15, 2012 10:25 am
1. Αν ο αριθμός $\displaystyle{K = \frac {9{{n}^{2}} + 31}{{{n}^{2}} + 7}}$ είναι ακέραιος,να προσδιορίσετε τις τιμές του ακέραιου αριθμού $\displaystyle{n}$

Πρέπει

. Αφού

έπεται ότι $n^2+7|9n^2+63-(9n^2+31)\Rightarrow n^2+7|32$
$\Rightarrow n^2+7\in \left \{1,2,4,8,16,32 \right \}$
$\Rightarrow n^2+7\in\left \{ 8,16,32 \right \}$ $\Leftrightarrow n\in\left \{ \pm1,\pm3,\pm5\right \}$ .

#13

Orestisss έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 14, 2024 1:43 am
... επεται ότι

.
Ωραιότατα αλλά για διόρθωσε παρακαλώ μία απροσεξία στο παραπάνω.

Όταν το διορθώσεις, δες το κρυμμένο σχόλιο που ακολουθεί:
.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Orestisss · #14

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 14, 2024 1:51 am

Orestisss έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 14, 2024 1:43 am
... επεται ότι
.
Ωραιότατα αλλά για διόρθωσε παρακαλώ μία απροσεξία στο παραπάνω.

Όταν το διορθώσεις, δες το κρυμμένο σχόλιο που ακολουθεί:
.
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Κοίτα τώρα την λύση του mathfinder στο ποστ #4

Παρόμοια λυση, ίδια λογική. Απλώς ήθελα να αναφέρω μια αντιμετώπιση με ιδιότητα διαρετότητας. Θα παρακαλούσα να επισημάνετε το σφάλμα μου, δεν μπορώ να το εντοπίσω..

#15

Orestisss έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 14, 2024 1:43 am
... επεται ότι $n^2+7|9n^2+63-(9n^2+31) {\color {red} =} n^2+7|32$

...Θα παρακαλούσα να επισημάνετε το σφάλμα μου δεν μπορω να το εντοπίσω..

.
Η ισότητα $9n^2+63-(9n^2+31) {\color {red} =} n^2+7$ που γράφεις, δεν ισχύει. Για παράδειγμα αν πάρουμε το n=3

(που είναι μία από τις απαντήσεις σου) τότε το μεν αριστερό μέλος είναι 9n^2+63-(9n^2+31)= 63-31 = 32

ενώ το δεξί μέλος είναι n^2+7=3^2+7=16

που δεν είναι ίσο με το

που βρήκες πριν. Όμως εσύ έγραψες ότι τα δύο μέλη είναι ίσα, οπότε κάτι δεν πάει καλά.

Προσπάθησε να ξεκαθαρίσεις στο μυαλό σου ποια είναι η απροσεξία που σου ζήτησα να εντοπίσεις.

Orestisss · #16

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 14, 2024 2:31 am

Orestisss έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 14, 2024 1:43 am
... επεται ότι $n^2+7|9n^2+63-(9n^2+31) {\color {red} =} n^2+7|32$

...Θα παρακαλούσα να επισημάνετε το σφάλμα μου δεν μπορω να το εντοπίσω..
.
Η ισότητα $9n^2+63-(9n^2+31) {\color {red} =} n^2+7$ που γράφεις, δεν ισχύει. Για παράδειγμα αν πάρουμε το (που είναι μία από τις απαντήσεις σου) τότε το μεν αριστερό μέλος είναι ενώ το δεξί μέλος είναι που δεν είναι ίσο με το που βρήκες πριν. Όμως εσύ έγραψες ότι τα δύο μέλη είναι ίσα, οπότε κάτι δεν πάει καλά.

Προσπάθησε να ξεκαθαρίσεις στο μυαλό σου ποια είναι η απροσεξία που σου ζήτησα να εντοπίσεις.

Ίσως να είναι λάθος διατύπωση. Με την ισότητα εκφράζω όλη την έννοια της διαρετότητας, και όχι μόνο το ένα μέλος. Ίσως η αντικατάσταση της ισότητας με ισοδυναμία, ή καλύτερα συνεπαγωγή, να βοηθούσε. Ορίστε λοιπόν:
$n^2+7|9n^2+63-(9n^2+31)\Rightarrow n^2+7|32$
Πείτε μου εάν έτσι ολοκληρώνεται η απάντηση μου, ώστε να μπορώ να διορθώσω τον αρχικό μου ισχυρισμό. Ευχαριστώ για την βοήθεια.

#17

Orestisss έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 14, 2024 12:07 pm
Οριστε λοιπόν:
$n^2+7|9n^2+63-(9n^2+31)\Rightarrow n^2+7|32$
Πείτε μου αν ετσι ολοκληρώνεται η απάντηση ώστε να μπορω να διορθώσω τον αρχικό μου ισχυρισμό.Ευχαριστω για την βοήθεια.

.
Ωραιότατα.

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2008 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Μέλη σε σύνδεση