ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1993 - ΛΥΚΕΙΟ

#1

Θέμα 1ο
Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός 2(1991m^2+1993mn+1995n^2)

όπου

θετικοί ακέραιοι, δεν είναι ποτέ τετράγωνο ακεραίου αριθμού.

Θέμα 2ο
Για ποιες τιμές του $\lambda$ έχει το πολυώνυμο $x^3+1995x^2-1994x+\lambda$ και τις τρεις ρίζες του ακέραιες;

Θέμα 3ο
Αν a^2+b^2+c^2+d^2=1

να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-d)^2+(a-c)^2+(a-d)^2+(b-d)^2\leq 4}$ . Πότε ισχύει η ισότητα;

Θέμα 4ο
Πόσα αθροίσματα $x_1+x_2+x_3, \ \ 1\leq x_j\leq 300, \ j=1,2,3$ είναι πολλαπλασια του 3;

Θέμα 5ο
Τρεις κύκλοι με κέντρα $O_1, \ O_2, \ O_3$ και ακτίνες $r_1, \ r_2, \ r_3$ εφάπτονται ανα δύο εξωτερικώς. Αν

είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου O_1O_2O_3

να αποδειχθεί ότι $r=\sqrt{\dfrac{r_1r_2r_3}{r_1+r_2+r_3}}$ .

Αλέξανδρος

#2

cretanman έγραψε: Θέμα 3ο
Αν να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-d)^2+(a-c)^2+(a-d)^2+(b-d)^2\leq 4}$ . Πότε ισχύει η ισότητα;

Η αποδεικτέα γράφεται

$\displaystyle{4(a^2+b^2+c^2+d^2)\geq (a-b)^2+(b-c)^2+(c-d)^2+(a-c)^2+(a-d)^2+(b-d)^2,}$

η οποία, αφού εκτελεστούν οι πράξεις, γράφεται

$\displaystyle{(a+b+c+d)^2\geq 0.}$

#3

cretanman έγραψε:Θέμα 1ο
Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός όπου θετικοί ακέραιοι, δεν είναι ποτέ τετράγωνο ακεραίου αριθμού.

Με εις άτοπον!

Έστω ότι υπάρχουν τέτοιοι θετικοί ακέραιοι. Τότε ο $\displaystyle{1991m^2+1993mn+1995n^2}$ πρέπει να είναι άρτιος. Αυτό, εύκολα βλέπουμε ότι συμβαίνει, μόνο αν οι $\displaystyle{m,n}$ είναι άρτιοι.
Ας είναι λοιπόν $\displaystyle{m=2a, n=2b}$ με $\displaystyle{a,b\in \mathbb{Z}_+.}$

Τότε, ο αρχικός αριθμός γίνεται

$\displaystyle{8(1991a^2+1993ab+1995b^2)}$ και για να είναι τέλειο τετράγωνο, το ίδιο πρέπει να συμβαίνει και με τους $\displaystyle{a,b.}$

Να τη η κάθοδος και το άτοπο!

#4

cretanman έγραψε: Θέμα 2ο
Για ποιες τιμές του $\lambda$ έχει το πολυώνυμο $x^3+1995x^2-1994x+\lambda$ και τις τρεις ρίζες του ακέραιες;

Για καμία τιμή του $\displaystyle{\lambda}$ !

Αν υπήρχε τέτοια τιμή, τότε θα είχαμε

$\displaystyle{a+b+c=-1995, ~\wedge ~ab+bc+ca=-1994,}$

όπου $\displaystyle{a,b,c}$ οι ακέραιες ρίζες του πολυωνύμου.

Από την πρώτη σχέση προκύπτει ότι και οι τρεις είναι περιττοί (αντίκειται στη δεύτερη σχέση) ή ακριβώς ένας είναι περιττός.
Ας είναι λοιπόν

$\displaystyle{a=2x+1,~b=2y,~c=2z, ~x,y,z\in \mathbb{Z}.}$

Με αντικατάσταση στις σχέσεις, βρίσκουμε

$\displaystyle{x+y+z=-998, ~ (y+z)(2x+1)+2yz=-997.}$

Από την πρώτη από τις παραπάνω σχέσεις έχουμε πως οι $\displaystyle{x,y,z}$ είναι άρτιοι (αντίκειται στη δεύτερη) ή υπάρχει ακριβώς ένας άρτιος. Αυτό όμως έρχεται σε αντίφαση με τη δεύτερη σχέση.

Υ.Γ. Αλέξανδρε Καλά Χριστούγεννα.

asxetos · #5

cretanman έγραψε: Θέμα 4ο
Πόσα αθροίσματα $x_1+x_2+x_3, \ \ 1\leq x_j\leq 300, \ j=1,2,3$ είναι πολλαπλασια του 3;

Λύση:

Αρχικά παρατηρούμε πως υπάρχουν ακριβώς 100 αριθμοί, μικρότεροι ή ίσοι του 300, που διαιρούνται με το 3,ακριβώς 100 που όταν διαιρεθούν με το 3 δίνουν υπόλοιπο 1 και 100 που δίνουν υπόλοιπο 2.
Ακόμη υπάρχουν συνολικά 300 αριθμοί.

Παρατηρούμε πως το x_3

είναι ο αριθμός που θα κάνει το άθροισμα διαιρετό με το 3,όποιοι και να είναι οι άλλοι 2 αριθμοί.Επομένως το x_1

μπορεί να πάρει 300 πιθανές τιμές,το x_2

επίσης 300 ενώ το x_3

100.Έτσι απο την πολλαπλασιαστική αρχή υπάρχουν ακριβώς $300 \cdot 300 \cdot 100=9 \cdot 10^6$ τέτοια αθροίσματα.

Σχόλιο:Αξίζει να σημειωθεί η ομοιότητα αυτού του θέματος με το 4ο αυτού(viewtopic.php?p=117173)

#6

cretanman έγραψε:Θέμα 5ο
Τρεις κύκλοι με κέντρα $O_1, \ O_2, \ O_3$ και ακτίνες $r_1, \ r_2, \ r_3$ εφάπτονται ανα δύο εξωτερικώς. Αν είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου να αποδειχθεί ότι $r=\sqrt{\dfrac{r_1r_2r_3}{r_1+r_2+r_3}}$ .

Αλέξανδρος

Μια λύση είναι:

Το

βρίσκεται από τον τύπο $r=\frac{E}{\tau }$ με τις παρατηρήσεις:

1. Το έγκεντρο του τριγώνου O_1O_2O_3

είναι το ριζικό κέντρο των κύκλων, οπότε

2. τα $\tau -\alpha ,\tau -\beta ,\tau -\gamma$ του τύπου του Ήρωνα είναι τα $r_1, \ r_2, \ r_3$ και το $\tau =r_1+r_2+r_3$

#7

cretanman έγραψε: Θέμα 5ο
Τρεις κύκλοι με κέντρα $O_1, \ O_2, \ O_3$ και ακτίνες $r_1, \ r_2, \ r_3$ εφάπτονται ανα δύο εξωτερικώς. Αν είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου να αποδειχθεί ότι $r=\sqrt{\dfrac{r_1r_2r_3}{r_1+r_2+r_3}}$ .

Είναι $(O_1O_2O_3)=sr \ \ (1)$ , όπου

η ημιπερίμετρος του τριγώνου O_1O_2O_3

. Προφανώς s=r_1+r_2+r_3

.

: Αρχιμήδης 93 Prob5.PNG (15.61 KiB) Προβλήθηκε 1898 φορές

Από τον τύπο του Ήρωνα έχουμε $(O_1O_2O_3)=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{(r_1+r_2+r_3)r_1r_2r_3}$ όπου $a=r_2+r_3, \ b=r_3+r_1, \ c=r_1+r_2$ .

Αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουμε τελικά $sr=\sqrt{(r_1+r_2+r_3)r_1r_2r_3}$ δηλαδή $(r_1+r_2+r_3)r=\sqrt{(r_1+r_2+r_3)r_1r_2r_3}$ απ' όπου έχουμε το ζητούμενο.

Υ.Γ. Θάνο επίσης! Καλά Χριστούγεννα σε όλους...

Αλέξανδρος

parmenides51 · #8

cretanman έγραψε:Θέμα 2ο
Για ποιες τιμές του $\lambda$ έχει το πολυώνυμο $x^3+1995x^2-1994x+\lambda$ και τις τρεις ρίζες του ακέραιες;

διαφορετικά εδώ (aops)

cretanman έγραψε:Θέμα 1ο
Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός όπου θετικοί ακέραιοι, δεν είναι ποτέ τετράγωνο ακεραίου αριθμού.

διαφορετικά στην απόκρυψη εδώ (aops)

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1993 - ΛΥΚΕΙΟ

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1993 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1993 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1993 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1993 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1993 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1993 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1993 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1993 - ΛΥΚΕΙΟ

Μέλη σε σύνδεση