Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Γυμνασίου 1990

parmenides51 · #1

1. Να γραφεί κύκλος που περνά από τα μέσα των τριών πλευρών του ορθογωνίου τριγώνου.
Να αποδειχθεί ότι το τόξο του κύκλου, το εξωτερικό της υποτείνουσας, ισούται με τη διαφορά των εξωτερικών τόξων του κύκλου στις δυο κάθετες πλευρές του τριγώνου.

2. Να αναλυθεί σε γινόμενο η παράσταση $\displaystyle{\alpha^7- \alpha}$ . Αν το $\displaystyle{\alpha}$ είναι φυσικός αριθμός, η παράσταση αυτή είναι πάντα διαιρετή με το $\displaystyle{42}$ .

3. Υπάρχουν άνθρωποι πάνω στη Γη που έχουν γεννηθεί την ίδια χρονολογία, ημερομηνία, ώρα και λεπτό;
Η απάντηση να δικαιολογηθεί και να εξεταστεί αν ισχύει για τους κατοίκους της Ελλάδας ( $\displaystyle{10.000.000}$ ).

4. Να παραγοντοποιηθούν τα πολυώνυμα :
$\displaystyle{A = x^4 - x^2 +16}$
$\displaystyle{B = x^4 - 7x^2 + 10}$

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:4. Να παραγοντοποιηθούν τα πολυώνυμα :
$\displaystyle{A = x^4 - x^2 +16}$
$\displaystyle{B = x^4 - 7x^2 + 10}$

$\displaystyle{A = x^4 - x^2 +16}$
$\displaystyle{A = x^4 +8x^2-8x^2- x^2 +16}$
$\displaystyle{A = (x^2)^2 +2\cdot 4 x^2+4^2-8x^2- x^2 }$
$\displaystyle{A = (x^2+4)^2-9x^2 }$
$\displaystyle{A = (x^2+4)^2-(3x)^2 }$
$\displaystyle{A = (x^2+4-3x)(x^2+4+3x) }$
$\displaystyle{A = (x^2-3x+4)(x^2+3x+4) }$
Δεν παραγοντοποιείται περαιτέρω γιατί κάθε παρένθεση αποτελείται από τριώνυμο με αρνητική διακρίνουσα.

$\displaystyle{B = x^4 - 7x^2 + 10}$
θέτω $\displaystyle{x^2=w}$
$\displaystyle{B = w^2 - 7w + 10=(w-2)(w-5)}$
άρα $\displaystyle{B = (x^2-2)(x^2-5)=(x^2-\sqrt2^2)(x^2-\sqrt5^2)}$
$\displaystyle{B =(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)(x+\sqrt5)(x-\sqrt5)}$

perpant · #3

parmenides51 έγραψε: 3. Υπάρχουν άνθρωποι πάνω στη Γη που έχουν γεννηθεί την ίδια χρονολογία, ημερομηνία, ώρα και λεπτό;
Η απάντηση να δικαιολογηθεί και να εξεταστεί αν ισχύει για τους κατοίκους της Ελλάδας ( $\displaystyle{10.000.000}$ ).

Με την παραδοχή ότι κανείς πάνω στη γη δεν είναι πάνω από 120

ετών και στη γη υπάρχουν περίπου 6,5

διςεκατομμύρια άνθρωποι η απάντηση είναι καταφατική, αφού τα 120

χρόνια είναι περίπου 120*365*24*60=63072000

λεπτά. Λέω περίπου γιατί δεν υπολόγισα δίσεκτα έτη. Για την Ελλάδα η απάντηση είναι αρνητική.

#4

parmenides51 έγραψε:2. Να αναλυθεί σε γινόμενο η παράσταση $\displaystyle{\alpha^7- \alpha}$ . Αν το $\displaystyle{\alpha}$ είναι φυσικός αριθμός, η παράσταση αυτή είναι πάντα διαιρετή με το $\displaystyle{42}$ .

$\displaystyle{a^7 -a=a(a^6 -1)=a(a^3 -1)(a^3 +1)=a(a-1)(a^2 +a+1)(a+1)(a^2 -a+1)}$

Αφού ο αριθμός $\displaystyle{A=(a-1)a(a+1)(a^2 +a+1)(a^2 -a+1)}$ , περιέχει παράγοντα τον $\displaystyle{(a-1)a(a+1)}$ , άρα διαιρείται με το

$\displaystyle{3!}$ , δηλαδή με το $\displaystyle{6}$ . Αρκεί επομένως να δείξουμε ότι ο $\displaystyle{A}$ διαιρείται και με το $\displaystyle{7}$ (δεδομένου ότι οι αριθμοί

$\displaystyle{6}$ και $\displaystyle{7}$ είναι πρώτοι μεταξύ τους.

Έστω λοιπόν $\displaystyle{a=7n+u}$ , όπου $\displaystyle{u\in \{0,1,2,3,4,5,6\}}$ . Τότε $\displaystyle{A=a^7 -a=(u+7n)^7 -(u+7n)=u^7 +7m-u-7n=}$

$\displaystyle{=u(u^6 -1)+7(m-n)}$ . Άρα:

Αν $\displaystyle{u=0\Rightarrow A=7(m-n)}$ , άρα ο $\displaystyle{A}$ διαιρείται με το $\displaystyle{7}$
Αν $\displaystyle{u=1\Rightarrow A=7(m-n)}$ , άρα διαιρείται με το $\displaystyle{7}$
Αν $\displaystyle{u=2\Rightarrow A=2(2^6 -1)+7(m-n)=2(8^2 -1)+7(m-n)=2.7.9+7(m-n)=7(18+m-n)}$ , άρα διαιρείται με το $\displaystyle{7}$
Aν $\displaystyle{u=3\Rightarrow A=3(3^6 -1)+7(m-n)=3(27^2 -1)+7(m-n)=3.28.26+7(m-n)=7(12.26 +m-n)}$ , άρα διαιρείται με το $\displaystyle{7}$
Αν $\displaystyle{u=4\Rightarrow A=4(4^6 -1)+7(m-n)=4(64^2 -1)+7(m-n)=4.63.65+7(m-n)=7(36.65+m-n)}$ , άρα διαιρείται με το $\displaystyle{7}$
Αν $\displaystyle{u=5\Rightarrow A=5(5^6 -1)+7(m-n)=5(125^2 -1)+7(m-n)=5.126.124+7(m-n)=7(5.18.124+m-n)}$ , άρα διαιρ. με το $\displaystyle{7}$
Αν $\displaystyle{u=6\Rightarrow A=6(6^6 -1)+7(m-n)=6(216^2 -1)+7(m-n)=6.217.215+7(m-n)=7(6.31.215+m-n)}$ , άρα διαιρ. με το $\displaystyle{7}$

Δείξαμε λοιπόν ότι ο $\displaystyle{A}$ διαιρείται με το $\displaystyle{6}$ και με το $\displaystyle{7}$ και άρα διαιρείται και με το $\displaystyle{42}$ .

#5

parmenides51 έγραψε:1. Να γραφεί κύκλος που περνά από τα μέσα των τριών πλευρών του ορθογωνίου τριγώνου.
Να αποδειχθεί ότι το τόξο του κύκλου, το εξωτερικό της υποτείνουσας, ισούται με τη διαφορά των εξωτερικών τόξων του κύκλου στις δυο κάθετες πλευρές του τριγώνου.

Έστω $\displaystyle{ABC}$ ορθογώνιο τρίγωνο με $\displaystyle{\widehat A=90^{o}}$ . Έστω επίσης

$\displaystyle{E , Z , D}$ τα μέσα των πλευρών $\displaystyle{AB , BC , CA}$ αντιστοίχως. Το τετράπλευρο $\displaystyle{AEZD}$ είναι ορθογώνιο και άρα

το σημείο τομής των διαγωνίων του είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του ορθογωνίου και άρα και του τριγώνου

$\displaystyle{DEZ}$ .

Έστω τώρα $\displaystyle{H}$ το δεύτερο σημείο στο οποίο ο πιο πάνω κύκλος τέμνει την υποτείνουσα. Θα αποδείξουμε ότι:

τοξ $\displaystyle{ZH}$ =τοξ $\displaystyle{AE-}$ τοξ $\displaystyle{AD}$ . Αρκεί να δείξουμε ότι: $\displaystyle{\widehat{ZKH}=\widehat{AKE}-\widehat{AKD}}$ , όπου

$\displaystyle{K}$ είναι το κέντρο του κύκλου.

Πράγματι, έχουμε $\displaystyle{\widehat{AHZ}=90^{o}}$ (γωνία εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο) και αφού $\displaystyle{DE//BC}$ ,

άρα η $\displaystyle{AH}$ είναι κάθετη στην $\displaystyle{DE}$ και άρα $\displaystyle{\widehat{AKD}=\widehat{DKH}}$ . (1)

Έχουμε τώρα:

$\displaystyle{\widehat{ZKH}+\widehat{HKD}+\widehat{AKD}=\widehat{ZKE}+\widehat{AKE}\Rightarrow}$

$\displaystyle{\widehat{ZKH}+\widehat{AKD}+\widehat{AKD}=\widehat{AKD}+\widehat{AKE}\Rightarrow }$

$\displaystyle{\widehat{ZKH}=\widehat{AKE}-\widehat{AKD}}$

και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Γυμνασίου 1990

Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Γυμνασίου 1990

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Γυμνασίου 1990

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Γυμνασίου 1990

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Γυμνασίου 1990

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Γυμνασίου 1990

Μέλη σε σύνδεση