Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1984

parmenides51 · #1

1. Να βρείτε τις πραγματικές τιμές του

, για τις οποίες ισχύει η σχέση : $\displaystyle{\sqrt [3x-1]{\displaystyle\sqrt [8-3x]{(-x)^x}}=\sqrt [5x]{2x}}$

2. Το υποσύνολο $\displaystyle{A}$ των πραγματικών αριθμών έχει τις ιδιότητες :
α) $\displaystyle{\mathbb{Z}\subset A}$ όπου $\displaystyle{ \mathbb{Z}}$ το σύνολο των ακεραίων αριθμών
β) $\displaystyle{\sqrt2+ \sqrt3\in A}$
γ) Αν $\displaystyle{ \alpha,\beta \in A}$ τότε $\displaystyle{ \alpha+ \beta \in A}$ και $\displaystyle{ \alpha\cdot \beta \in A}$
Να δειχτεί ότι $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt2+ \sqrt3}\in A}$

3. Στο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ φέρνουμε τη διάμεσο $\displaystyle{\Gamma M}$ και τη χωρίζουμε σε 4 ίσα μέρη : $\displaystyle{\Gamma\Gamma_1=\Gamma_1\Gamma_2=\Gamma_2\Gamma_3=\Gamma_3M}$ .
Φέρνουμε επίσης τις ευθείες $\displaystyle{A\Gamma_1,A\Gamma_2,A\Gamma_3}$ που τέμνουν την πλευρά $\displaystyle{B\Gamma}$ στα σημεία $\displaystyle{\Delta_1,\Delta_2,\Delta_3}$ αντίστοιχα.
Να υπολογίσετε τα μήκη των $\displaystyle{\Gamma\Delta_1,\Delta_1\Delta_2,\Delta_2\Delta_3,\Delta_3B}$ αν γνωρίζετε ότι $\displaystyle{B\Gamma=\alpha}$ .

4. Σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{\widehat{A}=120^o}$ φέρνουμε τις διχοτόμους $\displaystyle{AA_1,BB_1,\Gamma\Gamma_1}$ των γωνιών του.

Να υπολογίσετε την γωνία $\displaystyle{\widehat{B_1A_1\Gamma_1}}$ .

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:1. Να βρείτε τις πραγματικές τιμές του , για τις οποίες ισχύει η σχέση : $\displaystyle{\sqrt [3x-1]{\displaystyle\sqrt [8-3x]{(-x)^x}}=\sqrt [5x]{2x}}$

εδώ

parmenides51 έγραψε:2. Το υποσύνολο $\displaystyle{A}$ των πραγματικών αριθμών έχει τις ιδιότητες :
α) $\displaystyle{\mathbb{Z}\subset A}$ όπου $\displaystyle{ \mathbb{Z}}$ το σύνολο των ακεραίων αριθμών
β) $\displaystyle{\sqrt2+ \sqrt3\in A}$
γ) Αν $\displaystyle{ \alpha,\beta \in A}$ τότε $\displaystyle{ \alpha+ \beta \in A}$ και $\displaystyle{ \alpha\cdot \beta \in A}$
Να δειχτεί ότι $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt2+ \sqrt3}\in A}$

η ίδια και μια παρόμοια

parmenides51 έγραψε:4. Σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{\widehat{A}=120^o}$ φέρνουμε τις διχοτόμους $\displaystyle{AA_1,BB_1,\Gamma\Gamma_1}$ των γωνιών του.

Να υπολογίσετε την γωνία $\displaystyle{\widehat{B_1A_1\Gamma_1}}$ .

Η παραπάνω άσκηση είναι cult στο

κρίνοντας από το πόσο συχνά προτείνεται.
Ξανάπεσε πάλι στον Ευκλείδη 2002-3 σαν 3ο στην Α' Λυκείου( εδώ).

Συνοψίζοντας λύσεις έχουμε:
γεωμετρικές: εδώ, εδώ,εδώ, εδώ, εδώ, εδώ (με το ενδεχόμενο της επανάληψης)
μια τριγωνομετρική: εδώ
και άλλες στον Ευκλείδη της ΕΜΕ σχετικά εδώ

#3

parmenides51 έγραψε:3. Στο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ φέρνουμε τη διάμεσο $\displaystyle{\Gamma M}$ και τη χωρίζουμε σε 4 ίσα μέρη : $\displaystyle{\Gamma\Gamma_1=\Gamma_1\Gamma_2=\Gamma_2\Gamma_3=\Gamma_3M}$ .
Φέρνουμε επίσης τις ευθείες $\displaystyle{A\Gamma_1,A\Gamma_2,A\Gamma_3}$ που τέμνουν την πλευρά $\displaystyle{B\Gamma}$ στα σημεία $\displaystyle{\Delta_1,\Delta_2,\Delta_3}$ αντίστοιχα.
Να υπολογίσετε τα μήκη των $\displaystyle{\Gamma\Delta_1,\Delta_1\Delta_2,\Delta_2\Delta_3,\Delta_3B}$ αν γνωρίζετε ότι $\displaystyle{B\Gamma=\alpha}$ .

(Θα ακολουθήσει το σχήμα από τον Parmenides).

Έστω ότι $\displaystyle{\Gamma \Gamma _1 =\Gamma _1 \Gamma _2 =\Gamma _2 \Gamma _3 =\Gamma _3 M=u}$ και

$\displaystyle{G\Delta _1 =x , \Delta _1 \Delta _2 =y , \Delta _2 \Delta _3 =w , \Delta _3 B=z}$ . Ζητάμε να βρούμε τα $\displaystyle{x,y,w,z}$

συναρτήσει του $\displaystyle{a=B\Gamma}$ .

Φέρνουμε την $\displaystyle{MN//B\Gamma}$ , η οποία τέμνει τις ευθείες $\displaystyle{A\Delta _1 , A\Delta _2 , A\Delta _3}$ , στα σημεία

$\displaystyle{K , S , P}$ αντιστοίχως, τα οποία προφανώς είναι και τα μέσα των τμημάτων αυτών.

*** Από τα όμοια τρίγωνα $\displaystyle{\Gamma _1 \Gamma \Delta _1 , \Gamma _1 KM}$ , έχουμε:

$\displaystyle{\frac{\Gamma \Delta _1}{KM}=\frac{\Gamma \Gamma _1}{\Gamma _1 M}=\frac{u}{3u}=\frac{1}{3}\Rightarrow}$

$\displaystyle{\frac{x}{KM}=\frac{1}{3}\Rightarrow 3x=\frac{\Delta _1 B}{2}\Rightarrow 6x=y+w+z}$ , (1)

*** Aπό τα όμοια τρίγωνα $\displaystyle{\Gamma _2 \Gamma \Delta _2 , \Gamma _2 SM}$ , με τον ίδιο όπως πριν τρόπο, έχουμε:

$\displaystyle{2x+2y=w+z}$ , (2)

*** Από τα όμοια τρίγωνα τρίγωνα $\displaystyle{\Gamma _3 \Gamma \Delta _3 , \Gamma _3 PM}$ , πάλι με τον ίδιο τρόπο, έχουμε:

$\displaystyle{2x+2y+2w=3z}$ , (3).

Ενώ δίδεται επί πλέον και ότι $\displaystyle{x+y+w+z=a}$ , (4)

Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (1) , (2) , (3) , (4) βρίσκουμε:

$\displaystyle{x=\frac{1}{7}a , y=\frac{4}{21}a , w=\frac{4}{15}a , z=\frac{2}{5}a}$

Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1984

Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1984

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1984

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Β' Λυκείου 1984

Μέλη σε σύνδεση