Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1983 B΄+Δ' Δέσμη

parmenides51 · #1

1. α) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\begin{vmatrix} 1-x & 2 & 3 & 4\\ 2 & 3-x & 4 & 1\\ 3 & 4 & 1-x & 2\\ 4 & 1 & 2 & 3-x \end{vmatrix}=0}$ .

β) Να βρείτε τις τιμές του $\displaystyle{x}$ για τις οποίες $\displaystyle{\begin{vmatrix} x & x+1 & x+2 & 0\\ 0 & x+1 & x+2 & 0\\ 0 & 0 & x+2 & x+3\\ x & 0 & 0 & x+3 \end{vmatrix}\ge \frac{9}{16}}$ .

2. Να δείξετε ότι $\displaystyle{\begin{pmatrix} \nu \\ 0 \end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} \nu \\ 1 \end{pmatrix}+3\begin{pmatrix} \nu \\ 2 \end{pmatrix}+...+(\nu +1)\begin{pmatrix} \nu \\ \nu \end{pmatrix}=(\nu +2)\cdot 2^{\nu -1}}$ για κάθε $\displaystyle{\nu \in \mathbb{N}^*}$

3. Σ' ένα ορθογώνιο φύλλο χαρτί φέρνουμε μια οριζόντια ευθεία $\displaystyle{\varepsilon_1}$ και μια κάθετη ευθεία $\displaystyle{\varepsilon_2}$ .
Διπλώνουμε το φύλλο πρώτα κατά μήκος της $\displaystyle{\varepsilon_1}$ και μετά κατά μήκος της $\displaystyle{\varepsilon_2}$ .
Τρυπάμε το χαρτί σε $\displaystyle{2}$ σημεία και μετά διπλώνουμε το χαρτί.
Στο ξεδιπλωμένο χαρτί υπάρχουν τώρα $\displaystyle{6}$ τρύπες.
Να βρείτε πόσες ευθείες ορίζονται, αν θεωρήσουμε τις τρύπες σαν σημεία.

4. α) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\frac{1}{\begin{pmatrix} x \\ 4 \end{pmatrix}}- \frac{1}{\begin{pmatrix} x \\ 5 \end{pmatrix}}= \frac{1}{\begin{pmatrix} x \\ 6 \end{pmatrix}}}$ , $\displaystyle{ x \in \mathbb{Z}^*}$

β) Πόσους διαιρέτες έχει ο αριθμός $\displaystyle{A=2^2\cdot 3^3\cdot 4^4\cdot 5^4\cdot 6^6\cdot 7^7}$ ;
Να βρείτε το άθροισμα των διαιρετών του $\displaystyle{A}$ .
(Εδώ σαν διαιρέτες, εννοούμε τους θετικούς διαιρέτες του $\displaystyle{A}$ )

Ιστοσελίδα · #2

Ξεκινάμε με το πρώτο θέμα το α ερώτημα όπου στην ορίζουσα αντικαθιστούμε την πρώτη της γραμμή με το άθροισμα όλων των στηλών της και έχουμε ισοδύναμα:
$\displaystyle{ \left| {\begin{array}{*{20}c} {10 - x} & {10 - x} & {10 - x} & {10 - x} \\ 2 & {3 - x} & 4 & 1 \\ 3 & 4 & {1 - x} & 2 \\ 4 & 1 & 2 & {3 - x} \\ \end{array}} \right| = 0 }$
και με την εξαγωγή κοινού παράγοντα:
$\displaystyle{ (10 - x)\left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & {3 - x} & 4 & 1 \\ 3 & 4 & {1 - x} & 2 \\ 4 & 1 & 2 & {3 - x} \\ \end{array}} \right| = 0 }$
Μηδενίζοντας τα στοιχεία της πρώτης γραμμής εκτός του πρώτου με την αντικατάσταση των στηλών με την διαφορά τους από την πρώτη έχουμε:
$\displaystyle{ (10 - x)\left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & { - 1 + x} & { - 2} & 1 \\ 3 & { - 1} & {2 + x} & 1 \\ 4 & 3 & 2 & {1 + x} \\ \end{array}} \right| = 0 }$
Αναπτύσσοντας την ορίζουσα ως προς την πρώτη γραμμή έχουμε:
$\displaystyle{ (10 - x)\left| {\begin{array}{*{20}c} { - 1 + x} & { - 2} & 1 \\ { - 1} & {2 + x} & 1 \\ 3 & 2 & {1 + x} \\ \end{array}} \right| = 0 }$
Αναπτύσσοντας την ορίζουσα που προκύπτει με την μέθοδο Surrus ή διαφορετικά προκύπτει η εξίσωση
$\displaystyle{ (10 - x)( x^3 + 2x^2 -8x- 16) = 0 }$
Από όπου έχουμε τις ρίζες $\displaystyle{ x = 10\,\,\,\,\,\,x = - 2,\,\,\,\,\,\,x = \pm 2\sqrt 2 }$

edit Ευχαριστώ τον συνάδελφο και φίλο apotin που βρήκε το λάθος μου η πρώτη ρίζα είναι η $\displaystyle{ x = 10 }$
μετά τις σχετικές διορθώσεις στην ορίζουσα

#3

parmenides51 έγραψε: 2. Να δείξετε ότι $\displaystyle{\begin{pmatrix} \nu \\ 0 \end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} \nu \\ 1 \end{pmatrix}+3\begin{pmatrix} \nu \\ 2 \end{pmatrix}+...+(\nu +1)\begin{pmatrix} \nu \\ \nu \end{pmatrix}=(\nu +2)\cdot 2^{\nu -1}}$ για κάθε $\displaystyle{\nu \in \mathbb{N}^*}$

Ζητείται να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{\rm \sum_{k=0}^{n}(k+1)\binom{n}{k}=n2^{n-1}+2^n}$

Είναι

$\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}(k+1)\binom{n}{k}=\sum_{k=0}^{n}k\binom{n}{k}+\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}}$

Από το διωνυμικό ανάπτυγμα έχουμε

$\displaystyle{\boxed{\boxed{(x+1)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k}}}$ ( $\displaystyle{\color{red}\spadesuit}$ )

σχέση από την οποία με παραγώγιση βρίσκουμε

$\displaystyle{\boxed{\boxed{n(x+1)^{n-1}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}kx^{k-1}}}}$ ( $\displaystyle{\color{red}\spadesuit \spadesuit}$ )

Θέτοντας στις σχέσεις ( $\displaystyle{\color{red}\spadesuit}$ ), ( $\displaystyle{\color{red}\spadesuit \spadesuit}$ ) $\displaystyle{x=1}$ προκύπτει η ζητούμενη.

#4

: Διπλωση 1.PNG (71.64 KiB) Προβλήθηκε 928 φορές

: Δίπλωση 2.PNG (75.58 KiB) Προβλήθηκε 928 φορές

: Δίπλωση 3.PNG (78.53 KiB) Προβλήθηκε 928 φορές

: Δίπλωση 4.PNG (69.74 KiB) Προβλήθηκε 928 φορές

Λύση της 3ης άσκησης.

Μέσα από τα τέσσερα αυτά σχέδια φαίνεται το ξεδίπλωμα του χαρτιού αυτού.

Οι δύο τελίτσες που τρυπήθηκε το διπλωμένο χαρτί κατά τις διευθύνσεις των καθέτων $\displaystyle{(e_1), (e_2)}$

φαίνονται με δύο χρώματα. Κίτρινες αυτές που τρυπήθηκαν στο "τριπλό" τμήμα του διπλωμένου χαρτιού

και με κόκκινο αυτές που τρυπήθηκαν στο "διπλό" τμήμα του διπλωμένου χαρτιού.

Έτσι κατά το ξεδίπλωμα του χαρτιού αυτού προκύπτουν 2 κόκκινες και 4 κίτρινες τελίτσες.

Για να προκύψουν τελικά έξι σημεία(τρύπες) θα πρέπει οπωσδήποτε να τρυπηθεί μια φορά το τριπλό τμήμα

και μια φορά το ένα από τα δύο διπλά τμήματα.(Δεν πρέπει να τρυπηθεί το μονό τμήμα).

Σε ότι αφορά τις ευθείες αυτές θα είναι το πολύ $\displaystyle{\frac{6(6-1)}{2}=15}$

και το λιγότερο 11 στην περίπτωση που οι δύο αρχικές τελίτσες ισαπέχουν από την $\displaystyle{(e_1)}$ ,

(ή από την $\displaystyle{(e_2)}$ στην περίπτωση που τρυπηθεί μια φορά το άλλο διπλό τμήμα.)

Παραθέτω και το δυναμικό σχήμα για όσους δουλεύουν το Cabri 3D

Figure1.cg3: (83.31 KiB) Μεταφορτώθηκε 27 φορές

Κώστας Δόρτσιος

apotin · #5

parmenides51 έγραψε:1.
β) Να βρείτε τις τιμές του $\displaystyle{x}$ για τις οποίες $\displaystyle{\begin{vmatrix} x & x+1 & x+2 & 0\\ 0 & x+1 & x+2 & 0\\ 0 & 0 & x+2 & x+3\\ x & 0 & 0 & x+3 \end{vmatrix}\ge \frac{9}{16}}$ .

Έχουμε

$\displaystyle{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} x&{x + 1}&{x + 2}&0\\ 0&{x + 1}&{x + 2}&0\\ 0&0&{x + 2}&{x + 3}\\ x&0&0&{x + 3} \end{array}} \right| \ge \frac{9}{{16}} \Leftrightarrow x\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 1}&{x + 2}&0\\ 0&{x + 2}&{x + 3}\\ 0&0&{x + 3} \end{array}} \right| - x\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 1}&{x + 2}&0\\ {x + 1}&{x + 2}&0\\ 0&{x + 2}&{x + 3} \end{array}} \right| \ge \frac{9}{{16}} \Leftrightarrow }$

Στην δεύτερη ορίζουσα $\displaystyle{{\Gamma _1} \leftarrow {\Gamma _1} - {\Gamma _2}}$

$\displaystyle{x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) - x\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0\\ {x + 1}&{x + 2}&0\\ 0&{x + 2}&{x + 3} \end{array}} \right| \ge \frac{9}{{16}} \Leftrightarrow \left[ {x\left( {x + 3} \right)} \right]\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} \right] \ge \frac{9}{{16}} \Leftrightarrow }$ $\displaystyle{\left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) \ge \frac{9}{{16}}}$

Θέτουμε $\displaystyle{x^2+3x=y}$ και έχουμε

$\displaystyle{y\left( {y + 2} \right) \ge \frac{9}{{16}} \Leftrightarrow {y^2} + 2y - \frac{9}{{16}} \ge 0 \Leftrightarrow y \le - \frac{9}{4} \vee y \ge \frac{1}{4}}$

Τότε

$\bullet$ $\displaystyle{{x^2} + 3x + \frac{9}{4} \le 0 \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{3}{2}} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow x = - \frac{3}{2}}$

και

$\bullet$ $\displaystyle{{x^2} + 3x - \frac{1}{4} \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ,\,\,\frac{{ - 3 - \sqrt {10} }}{2}} \right] \cup \left[ {\frac{{ - 3 + \sqrt {10} }}{2},\,\, + \infty } \right)}$

apotin · #6

parmenides51 έγραψε: 4. β) Πόσους διαιρέτες έχει ο αριθμός $\displaystyle{A=2^2\cdot 3^3\cdot 4^4\cdot 5^4\cdot 6^6\cdot 7^7}$ ;
Να βρείτε το άθροισμα των διαιρετών του $\displaystyle{A}$ .
(Εδώ σαν διαιρέτες, εννοούμε τους θετικούς διαιρέτες του $\displaystyle{A}$ )

Έχουμε $\displaystyle{A = {2^2} \cdot {3^3} \cdot {4^4} \cdot {5^5} \cdot {6^6} \cdot {7^7} = {2^2} \cdot {3^3} \cdot {2^8} \cdot {5^5} \cdot {2^6} \cdot {3^6} \cdot {7^7} = {2^{16}} \cdot {3^9} \cdot {5^5} \cdot {7^7}}$

Κάθε διαιρέτης του $\displaystyle{A}$ είναι της μορφής $\displaystyle{B = {2^x}{3^y}{5^z}{7^s}}$ με $\displaystyle{x \in \left\{ {0,\,1,\,2,\,...,\,16} \right\}}$ , $\displaystyle{y \in \left\{ {0,\,1,\,2,\,...,\,9} \right\}}$ , $\displaystyle{z \in \left\{ {0,\,1,\,2,\,...,\,5} \right\}}$ και $\displaystyle{s \in \left\{ {0,\,1,\,2,\,...,\,7} \right\}}$ .

Άρα στο πλήθος είναι $\displaystyle{17 \cdot 10 \cdot 6 \cdot 8 = 8160}$

Το άθροισμα των παραπάνω διαιρετών είναι: $\displaystyle{\frac{{{2^{17}} - 1}}{{2 - 1}} \cdot \frac{{{3^{10}} - 1}}{{3 - 1}} \cdot \frac{{{5^6} - 1}}{{5 - 1}} \cdot \frac{{{7^8} - 1}}{{7 - 1}} = ...}$

Για να γίνει κατανοητό δίνω ένα παράδειγμα με μικρότερα νούμερα

Αν έχουμε πχ τον αριθμό $\displaystyle{X = {2^1} \cdot {3^2}}$ , τότε οι διαιρέτες του είναι οι παρακάτω:

$\displaystyle{{Y_1} = {2^0} \cdot {3^0},\,\,{Y_2} = {2^0} \cdot {3^1},\,\,{Y_3} = {2^0} \cdot {3^2},\,\,{Y_4} = {2^1} \cdot {3^0},\,\,{Y_5} = {2^1} \cdot {3^1},\,\,{Y_6} = {2^1} \cdot {3^2}}$

με άθροισμα $\displaystyle{{Y_1} + {Y_2} + {Y_3} + {Y_4} + {Y_5} + {Y_6} = {2^0} \cdot {3^0} + {2^0} \cdot {3^1} + {2^0} \cdot {3^2} + {2^1} \cdot {3^0} + {2^1} \cdot {3^1} + {2^1} \cdot {3^2} = \left( {{2^0} + {2^1}} \right)\left( {{3^0} + {3^1} + {3^2}} \right) = \frac{{{2^2} - 1}}{{2 - 1}} \cdot \frac{{{3^3} - 1}}{{3 - 1}}}$

Παρατήρηση: στους παραπάνω διαιρέτες συμπεριλαμβάνεται και ο $\displaystyle{A}$ τόσο στο πλήθος όσο και στο άθροισμα.

apotin · #7

parmenides51 έγραψε: 4. α) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{\frac{1}{\begin{pmatrix} x \\ 4 \end{pmatrix}}- \frac{1}{\begin{pmatrix} x \\ 5 \end{pmatrix}}= \frac{1}{\begin{pmatrix} x \\ 6 \end{pmatrix}}}$ , $\displaystyle{ x \in \mathbb{Z}^*}$

Έχουμε

$\displaystyle{\frac{1}{{\left( \begin{array}{l} x\\ 4 \end{array} \right)}} - \frac{1}{{\left( \begin{array}{l} x\\ 5 \end{array} \right)}} = \frac{1}{{\left( \begin{array}{l} x\\ 6 \end{array} \right)}} \Leftrightarrow \frac{{4!\left( {x - 4} \right)!}}{{x!}} - \frac{{5!\left( {x - 5} \right)!}}{{x!}} = \frac{{6!\left( {x - 6} \right)!}}{{x!}} \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x - 5} \right) - 5\left( {x - 5} \right) = 30 \Leftrightarrow {x^2} - 14x + 15 = 0}$

Η τελευταία εξίσωση έχει διακρίνουσα $\displaystyle{\Delta = 136}$ , οπότε η εξίσωση είναι αδύνατη στο $\displaystyle{ \mathbb{Z}^*}$

Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1983 B΄+Δ' Δέσμη

Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1983 B΄+Δ' Δέσμη

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1983 B΄+Δ' Δέσμη

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1983 B΄+Δ' Δέσμη

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1983 B΄+Δ' Δέσμη

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1983 B΄+Δ' Δέσμη

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1983 B΄+Δ' Δέσμη

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1983 B΄+Δ' Δέσμη

Μέλη σε σύνδεση