Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1985

parmenides51 · #1

1. α) Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ με τύπο $\displaystyle{f(x)=\left(\sqrt{9+2\sqrt{20}}\right)^x+\left(\sqrt{9{\color{red}-}2\sqrt{20}}\right)^{x}-2}$ (*)
i) Να δείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι άρτια.
ii) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{f(x)=0}$ .
iii) Είναι η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ επί;

β) Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ και την εξίσωση $\displaystyle{f(x)-f(-x)=x}$ (1).
Αν η (1) έχει πεπερασμένο πλήθος λύσεων να δείξετε οτι το πλήθος των λύσεων είναι περιττός αριθμός.

2. Θεωρούμε ευθεία $\displaystyle{xx'}$ , τα σημεία της $\displaystyle{A,B}$ και ένα σημείο $\displaystyle{O}$ που δεν ανήκει στην ευθεία $\displaystyle{xx'}$ .
Να δείξετε ότι για ανήκει το σημείο $\displaystyle{\Gamma}$ στην ευθεία $\displaystyle{xx'}$ , πρέπει και αρκεί
να υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{\kappa,\lambda}$ με $\displaystyle{\kappa+\lambda=1}$ , ώστε $\displaystyle{\overrightarrow{O\Gamma}=\kappa \cdot \overrightarrow{OA}+\lambda\cdot\overrightarrow{OB}}$ .
Ακόμη να προσδιορίσετε τις τιμές των $\displaystyle{\kappa,\lambda}$ ώστε:
i) To $\displaystyle{\Gamma}$ να ανήκει στην ημιευθεία $\displaystyle{x'A}$ .
ii) To $\displaystyle{\Gamma}$ να ανήκει στο τμήμα $\displaystyle{AB}$ .
ii) To $\displaystyle{\Gamma}$ να ανήκει στην ημιευθεία $\displaystyle{Bx}$ .

3. Ας είναι $S=[(\alpha,\beta)$ με $\alpha,\beta\in \mathbb{R}]$ ένα υποσύνολο του $\mathbb{R}^2$ για το οποίο:
i) υπάρχει $(a,b)\in S$ με $ab\neq 0$ και $a\neq b$
ii) Αν $(x_1,y_1)\in S$ , $(x_2,y_2)\in S$ και $k\in \mathbb{R}$ , τότε $(x_1+x_2,y_1+y_2)\in S$ , $(x_1x_2,y_1y_2)\in S$ και $(kx_1,ky_1)\in S$ .
Να αποδείξετε ότι $S=\mathbb{R}^2$

4. Για κάθε $k \in \mathbb{R}$ συμβολίζουμε με L(k)

το πλήθος των ριζών της εξίσωσης [x]=kx-1985

( $\displaystyle{[x]}$ το ακέραιο μέρος του $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ ).

Να δείξετε ότι:

i) Αν k>2

τότε $1 \le L(k) \le 2$

ii) Αν $0<k< \frac {1}{1986}$ , τότε L(k)=0

iii) Υπάρχει $k \in \mathbb{R}$ ώστε L(k)=1985

(*) Ας κοιτάξει όποιος έχει πρόσβαση το τεύχος 04 του Ευκλείδη Β' 1985-1986 σελ. 256 γιατί δεν φαίνεται καλά ο τύπος της συνάρτησης εδώ (σελ.2)
και μάλλον δεν είναι αυτή που έγραψα με βάση το πρώτο ερώτημα , edit οκ, άλλαξε ένα πρόσημο στο 1ο θέμα

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:3. Ας είναι $S=[(\alpha,\beta)$ με $\alpha,\beta\in \mathbb{R}]$ ένα υποσύνολο του $\mathbb{R}^2$ για το οποίο:
i) υπάρχει $(a,b)\in S$ με $ab\neq 0$ και $a\neq b$
ii) Αν $(x_1,y_1)\in S$ , $(x_2,y_2)\in S$ και $k\in \mathbb{R}$ , τότε $(x_1+x_2,y_1+y_2)\in S$ , $(x_1x_2,y_1y_2)\in S$ και $(kx_1,ky_1)\in S$ .
Να αποδείξετε ότι $S=\mathbb{R}^2$

εδώ

parmenides51 έγραψε:4. Για κάθε $k \in \mathbb{R}$ συμβολίζουμε με το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ( $\displaystyle{[x]}$ το ακέραιο μέρος του $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ ).

Να δείξετε ότι:

i) Αν τότε $1 \le L(k) \le 2$

ii) Αν $0<k< \frac {1}{1986}$ , τότε

iii) Υπάρχει $k \in \mathbb{R}$ ώστε

εδώ

dr.tasos · #3

Πρεπει να ειναι ετσι $\displaystyle{f(x)=\left(\sqrt{9+2\sqrt{20}}\right)^x+\left(\sqrt{9-2\sqrt{20}}\right)^{x}-2}$

kostas_zervos · #4

parmenides51 έγραψε:1. α) Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ με τύπο $\displaystyle{f(x)=\left(\sqrt{9+2\sqrt{20}}\right)^x+\left(\sqrt{9\color{red}-\color{black}2\sqrt{20}}\right)^{x}-2}$ (*)
i) Να δείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι άρτια.
ii) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{f(x)=0}$ .
iii) Είναι η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ επί;

β) Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ και την εξίσωση $\displaystyle{f(x)-f(-x)=x}$ (1).
Αν η (1) έχει πεπερασμένο πλήθος λύσεων να δείξετε ότι το πλήθος των λύσεων είναι περιττός αριθμός.

α)i)Καταρχήν παρατηρούμε ότι $\left(\sqrt{9+2\sqrt{20}}\right)\cdot\left(\sqrt{9+2\sqrt{20}}\right)=\sqrt{81-4\cdot 20}=1$ .

Άρα $\sqrt{9-2\sqrt{20}}=\dfrac{1}{\sqrt{9+2\sqrt{20}}}$ και $f(x)=\left(\sqrt{9+2\sqrt{20}}\right)^x+\left(\sqrt{9+2\sqrt{20}}\right)^{-x}-2$ .

Το πεδίο ορισμού της είναι το $\mathbb{R}$ και για κάθε $x\in\mathbb{R}$ ισχύουν: $-x\in\mathbb{R}$ και

$f(-x)=\left(\sqrt{9+2\sqrt{20}}\right)^{-x}+\left(\sqrt{9+2\sqrt{20}}\right)^{x}=f(x)$ , άρα είναι άρτια.
ii)Έστω $\left(\sqrt{9+2\sqrt{20}}\right)^{x}=t>0$ .

Τότε $f(x)=0 \iff t+\dfrac{1}{t}-2=0 \iff t=1 \iff$
$\iff \left(\sqrt{9+2\sqrt{20}}\right)^{x}=1 \iff x=0$ .
iii)Είναι $t+\dfrac{1}{t}\geq 2\iff t+\dfrac{1}{t}-2\geq 0$ για κάθε t>0

, άρα $f(x)\geq 0\;\forall x\in\mathbb{R}$ και επομένως δεν έχει σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$ , δηλαδή δεν είναι επί.

β)Η εξίσωση έχει λύση το

, αφού $f(0)-f(-0)=0 \iff 0=0$ και αν $\rho>0$ λύση της , τότε:

$f(\rho)-f(-\rho)=\rho\;\;\;(1)$ .

Αλλά $f(-\rho)-f(-(-\rho))=f(-\rho)-f(\rho)\overet{(1)}{=}-\rho$ , δηλαδή και το $-\rho$ είναι λύσης της.

Άρα αν $\nu$ το πλήθος των θετικών λύσεων της τότε όλες οι λύσεις της είναι $2\nu+1$ (αφού έχει λύση και το

) δηλαδή το πλήθος των λύσεων είναι περιττός αριθμός.

#5

parmenides51 έγραψε:2. Θεωρούμε ευθεία $\displaystyle{xx'}$ , τα σημεία της $\displaystyle{A,B}$ και ένα σημείο $\displaystyle{O}$ που δεν ανήκει στην ευθεία $\displaystyle{xx'}$ .
Να δείξετε ότι για ανήκει το σημείο $\displaystyle{\Gamma}$ στην ευθεία $\displaystyle{xx'}$ , πρέπει και αρκεί
να υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{\kappa,\lambda}$ με $\displaystyle{\kappa+\lambda=1}$ , ώστε $\displaystyle{\overrightarrow{O\Gamma}=\kappa \cdot \overrightarrow{OA}+\lambda\cdot\overrightarrow{OB}}$ .
Ακόμη να προσδιορίσετε τις τιμές των $\displaystyle{\kappa,\lambda}$ ώστε:
i) To $\displaystyle{\Gamma}$ να ανήκει στην ημιευθεία $\displaystyle{x'A}$ .
ii) To $\displaystyle{\Gamma}$ να ανήκει στο τμήμα $\displaystyle{AB}$ .
ii) To $\displaystyle{\Gamma}$ να ανήκει στην ημιευθεία $\displaystyle{Bx}$ .

ΕΥΘΥ:

: ΣΧ1.png (3.36 KiB) Προβλήθηκε 617 φορές

Έστω ότι το σημείο $\displaystyle{\Gamma}$ , ανήκει πάνω στην ευθεία $\displaystyle{x{'}x}$ . Τότε:

$\displaystyle{\overrightarrow{O\Gamma}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{A\Gamma}}$

$\displaystyle{\overrightarrow{O\Gamma}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{B\Gamma}}$

Άρα: $\displaystyle{2\overrightarrow{O\Gamma}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{A\Gamma}+\overrightarrow{B\Gamma}}$

Αλλά $\displaystyle{\overrightarrow{A\Gamma}=m\overrightarrow{AB}}$ , όπου $\displaystyle{m\in R}$ και

$\displaystyle{\overrightarrow{B\Gamma}=n\overrightarrow{BA}}$ , όπου $\displaystyle{n\in R}$ .

Άρα έχουμε: $\displaystyle{2\overrightarrow{O\Gamma}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+m\overrightarrow{AB}-n\overrightarrow{AB}=}$

Άρα: $\displaystyle{\overrightarrow{O\Gamma}=\frac{1-m+n}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1+m-n}{2}\overrightarrow{OB}}$ , (ΣΧΕΣΗ 1)

Θέτουμε $\displaystyle{\lambda =\frac{1-m+n}{2}}$ και $\displaystyle{\mu =\frac{1+m-n}{2}}$ , και τότε έχουμε ότι :

$\displaystyle{\overrightarrow{O\Gamma}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OB}}$ , όπου προφανώς είναι $\displaystyle{\lambda +\mu =1}$ .

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ:

Έστω ότι $\displaystyle{\overrightarrow{O\Gamma}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OB}}$ , με $\displaystyle{\lambda +\mu =1}$

Τότε $\displaystyle{\lambda =1-\mu}$ και άρα: $\displaystyle{\overrightarrow{O\Gamma}=(1-\mu )\overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OB}}$

Άρα: $\displaystyle{\overrightarrow{O\Gamma}=\overrightarrow{OA}+\mu (\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB})=\overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{AB}}$

Άρα: $\displaystyle{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{A\Gamma}=\overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{AB}}$

Άρα: $\displaystyle{\overrightarrow{A\Gamma}=\mu \overrightarrow{AB}}$ και άρα τα σημεία $\displaystyle{A,B,\Gamma}$ είναι συνευθειακά.

Τώρα:

(1)

: ΣΧ2.png (4.07 KiB) Προβλήθηκε 617 φορές

Αφού το σημείο $\displaystyle{\Gamma}$ είναι στην ημιευθεία $\displaystyle{Ax{'}}$ , πρέπει $\displaystyle{m<0}$ και $\displaystyle{n>1}$ . Άρα $\displaystyle{\lambda >0}$ και

$\displaystyle{\mu <0}$

(2)

: ΣΧ3.png (4.19 KiB) Προβλήθηκε 617 φορές

Αφού το σημείο $\displaystyle{\Gamma}$ είναι στην ημιευθεία $\displaystyle{Ax}$ , πρέπει $\displaystyle{m >1}$ και $\displaystyle{n <0}$ . Άρα $\displaystyle{\lambda <0}$ και

$\displaystyle{\mu >0}$

(3)

Κοιτώντας το πρώτο σχήμα, αφού το $\displaystyle{\Gamma}$ είναι μέσα στο ευ. τμήμα $\displaystyle{AB}$ , θα πρέπει να είναι:

$\displaystyle{0<m<1}$ και $\displaystyle{0<n<1}$ , και άρα $\displaystyle{\lambda >0}$ και $\displaystyle{\mu >0}$

Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1985

Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1985

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1985

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1985

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1985

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1985

Μέλη σε σύνδεση