Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1990

parmenides51 · #1

1. Έστω $\displaystyle{AB\Gamma}$ τρίγωνο και σημείο $\displaystyle{O}$ στο εσωτερικό σημείο του . Από τυχαίο σημείο Μ θεωρούμε τα διανύσματα $\displaystyle{\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB} ,\overrightarrow{M\Gamma }}$ .
Αν $\kappa \cdot \overrightarrow{MA}+\lambda\cdot \overrightarrow{MB} +\nu \cdot \overrightarrow{M\Gamma }=\overrightarrow{MO}$ όπου $\displaystyle{\kappa +\lambda +\nu =1}$ , να δείξεις ότι $\displaystyle{\kappa >0,\lambda >0,\nu >0}$ .

2. Έστω η ακολουθία $\displaystyle{\alpha_{\nu}}$ με $\displaystyle{\alpha_1=2, \alpha_2=1, \frac{2}{\alpha_{\nu}}=\frac{1}{\alpha_{\nu-1}}+\frac{1}{\alpha_{\nu+1}}}$ με $\displaystyle{\nu \ge 2}$ .
Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\lim_{\nu \to \infty}\alpha_{\nu}}$ .

3. Έστω $\displaystyle{A}$ ένας $\displaystyle{\nu \, x \, \nu}$ πίνακας με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς, ικανοποιεί την σχέση $\displaystyle{A^2-A+\mathbb{I}=\mathbb{O} }$
όπου $\displaystyle{ \mathbb{I}}$ και $\displaystyle{\mathbb{O}}$ ο μοναδιαίος και ο μηδενικός $\displaystyle{\nu \, x \, \nu}$ πίνακας αντίστοιχα.
Ν' αποδειχτεί οτι για κάθε $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ ο πίνακας $\displaystyle{B_{\lambda}=A-\lambda \mathbb{I}}$ είναι αντιστρέψιμος και να υπολογιστεί ο αντίστροφος του.

4. Έστω $\displaystyle{\alpha_{\nu}}$ ακολουθία φυσικών αριθμών με $\displaystyle{\alpha_1=2,\alpha_{\nu+1}}=(\nu+1) \alpha_{\nu}+1}$ με $\displaystyle{\nu =1,2,...}$ .
Στο επίπεδο δίνονται $\displaystyle{\alpha_{\nu}+1 }$ διαφορετικά σημεία που ανά $\displaystyle{ 3}$ δεν είναι συνευθειακά.
Τα τμήματα που συνδέουν τα σημεία αυτά τα χρωματίζουμε με $\displaystyle{\nu}$ διαφορετικά χρώματα.
Να δείξετε οτι για κάθε $\displaystyle{\nu \in \mathbb{N}^*}$ υπάρχει τρίγωνο με κορυφές τα σημεία αυτά, που οι πλευρές του έχουν το ίδιο χρώμα.

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:1. Έστω $\displaystyle{AB\Gamma}$ τρίγωνο και σημείο $\displaystyle{O}$ στο εσωτερικό σημείο του . Από τυχαίο σημείο Μ θεωρούμε τα διανύσματα $\displaystyle{\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB} ,\overrightarrow{M\Gamma }}$ .
Αν $\kappa \cdot \overrightarrow{MA}+\lambda\cdot \overrightarrow{MB} +\nu \cdot \overrightarrow{M\Gamma }=\overrightarrow{MO}$ όπου $\displaystyle{\kappa +\lambda +\nu =1}$ , να δείξεις ότι $\displaystyle{\kappa >0,\lambda >0,\nu >0}$ .

εδώ

#3

parmenides51 έγραψε: 2. Έστω η ακολουθία $\displaystyle{\alpha_{\nu}}$ με $\displaystyle{\alpha_1=2, \alpha_2=1, \frac{2}{\alpha_{\nu}}=\frac{1}{\alpha_{\nu-1}}+\frac{1}{\alpha_{\nu+1}}}$ με $\displaystyle{\nu \ge 2}$ .
Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\lim_{\nu \to \infty}\alpha_{\nu}}$ .

Ορίζουμε την ακολουθία

$\displaystyle{b_n=\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n-1}},n\geq 2.}$

Λόγω της συνθήκης, ισχύει $\displaystyle{b_{n+1}=b_n,~\forall n\geq 2,}$ οπότε είναι σταθερή. Επειδή είναι $\displaystyle{b_2=\frac{1}{2},}$ είναι

$\displaystyle{b_n=\frac{1}{2},~\forall n\geq 2.}$

Τότε, όμως προκύπτει ότι η ακολουθία

$\displaystyle{\frac{1}{a_n}}$ είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ και πρώτο όρο $\displaystyle{\frac{1}{a_1}=\frac{1}{2}.}$

Τότε, βρίσκουμε εύκολα

$\displaystyle{a_n=\frac{2}{n}, ~\forall n\geq 1.}$

Φυσικά, τότε $\displaystyle{\lim a_n=0.}$

#4

parmenides51 έγραψε: 3. Έστω $\displaystyle{A}$ ένας $\displaystyle{\nu \, x \, \nu}$ πίνακας με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς, ικανοποιεί την σχέση $\displaystyle{A^2-A+\mathbb{I}=\mathbb{O} }$
όπου $\displaystyle{ \mathbb{I}}$ και $\displaystyle{\mathbb{O}}$ ο μοναδιαίος και ο μηδενικός $\displaystyle{\nu \, x \, \nu}$ πίνακας αντίστοιχα.
Ν' αποδειχτεί οτι για κάθε $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ ο πίνακας $\displaystyle{B_{\lambda}=A-\lambda \mathbb{I}}$ είναι αντιστρέψιμος και να υπολογιστεί ο αντίστροφος του.

Νομίζω αρκετά εύκολο θέμα για αυτόν τον διαγωνισμό.

Θέτοντας $\displaystyle{B=A-\lambda I}$ στη συνθήκη, καταλήγουμε, αφού γίνουν οι πράξεις, στην

$\displaystyle{B(B+(2\lambda -1)I)=-(\lambda ^2-\lambda +1)I,}$

οπότε ο $\displaystyle{B}$ είναι αντιστρέψιμος και

$\displaystyle{B^{-1}=-\frac{1}{\lambda ^2-\lambda +1}(B+(2\lambda -1)I).}$

#5

parmenides51 έγραψε: 4. Έστω $\displaystyle{\alpha_{\nu}}$ ακολουθία φυσικών αριθμών με $\displaystyle{\alpha_1=2,\alpha_{\nu+1}}=(\nu+1) \alpha_{\nu}+1}$ με $\displaystyle{\nu =1,2,...}$ .
Στο επίπεδο δίνονται $\displaystyle{\alpha_{\nu}+1 }$ διαφορετικά σημεία που ανά $\displaystyle{ 3}$ δεν είναι συνευθειακά.
Τα τμήματα που συνδέουν τα σημεία αυτά τα χρωματίζουμε με $\displaystyle{\nu}$ διαφορετικά χρώματα.
Να δείξετε οτι για κάθε $\displaystyle{\nu \in \mathbb{N}^*}$ υπάρχει τρίγωνο με κορυφές τα σημεία αυτά, που οι πλευρές του έχουν το ίδιο χρώμα.

Με επαγωγή στο

. Για

είναι άμεσο. Έστω ότι ισχύει για n=k

. Θα δείξουμε ότι ισχύει για n=k+1

. Έχουμε λοιπόν $a_{k+1} + 1$ σημεία. Παίρνουμε ένα από αυτά, έστω το

, και κοιτάμε τις πλευρές που το ενώνουν με τα άλλα $a_{k+1} = (k+1)a_k + 1$ σημεία. Αφού έχουμε k+1

χρώματα, θα υπάρχουν (από περιστεροφωλιά) τουλάχιστον a_k + 1

σημεία είναι ενωμένα με το

με πλευρές του ιδίου χρώματος, έστω μπλε. Κοιτάζουμε τώρα το σύνολο αυτών των a_k+1

σημείων. Αν μια από τις πλευρές που τα ενώνουν είναι μπλε, αυτά τα δύο σημεία μαζί με το

σχηματίζουν ένα μπλε τρίγωνο οπότε τελειώσαμε. Αν όχι τότε οι πλευρές μεταξύ αυτών των a_k+1

σημείων είναι χρωματισμένες μόνο με

χρώματα. Οπότε τελειώσαμε από την επαγωγική υπόθεση.

Για παρόμοια προβλήματα δείτε εδώ. Ειδικά την άσκηση 5 η οποία είναι η περίπτωση n=3

του πιο πάνω (και η οποία είχε μπει ως θέμα στην ΙΜΟ του 1964) και την άσκηση 8α η οποία είναι γενίκευση τόσο της άσκησης 5 όσο και του θέματος εδώ (με ακριβώς την ίδια απόδειξη).

Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1990

Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1990

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1990

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1990

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1990

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Λυκείου 1990

Μέλη σε σύνδεση