ΘΑΛΗΣ 1994 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

Την χρονιά 1994-5 τα θέματα του Θαλή για κάθε τάξη αποτελούνταν από 10 πολλαπλής και 3 ανάπτυξης.

ΜΕΡΟΣ Α

A1. Ο αριθμός των ζευγών των κατακορυφήν γωνιών που ορίζουν $\displaystyle{15}$ ευθείες που διέρχονται από το ίδιο σημείο είναι:

α) $\displaystyle{30}$ β) $\displaystyle{46}$ γ) $\displaystyle{60}$ δ) $\displaystyle{100}$ ε) $\displaystyle{105}$

A2. Σ' ένα τουρνουά τένις παίρνουν μέρος $\displaystyle{160}$ άτομα. Αν κάποιος χάσει σε έναν αγώνα βγαίνει από το παιχνίδι.
Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός παιχνιδιών για να ανακηρυχτεί νικητής; (ισοπαλίες δεν υπάρχουν)

α) $\displaystyle{88}$ β) $\displaystyle{200}$ γ) $\displaystyle{320}$ δ) $\displaystyle{480}$ ε) $\displaystyle{159}$

A3. Έστω $\displaystyle{\nu \in \mathbb{N}^*}$ , τότε οι αριθμοί $\displaystyle{ 3\nu +1, \, 7\nu +2 }$

α) είναι σχετικά πρώτοι για κάθε τιμή του $\displaystyle{\nu}$
β) είναι σχετικά πρώτοι, αλλά όχι πάντα
γ) δεν είναι σχετικά πρώτοι
δ) ο $\displaystyle{3\nu +1}$ διαιρεί τον $\displaystyle{7\nu +2 }$
ε) δεν ισχύει κανένα από τα παραπάνω

A4. Η ένατη ρίζα του $\displaystyle{9^{(\displaystyle 9^9)}}$ είναι:

α) $\displaystyle{9^9}$ β) $\displaystyle{9^{(\displaystyle 9^8)}}$ γ) $\displaystyle{9^{20}}$ δ) $\displaystyle{9^{\displaystyle 9^9-1}}$ ε) κανένα από τα παραπάνω

A5. Αν $\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma \in \mathbb{R}}$ και $\displaystyle{\beta=\frac{\alpha+\gamma}{2} }$ , τότε:

α) $\displaystyle{\eta\mu \beta=\frac{1}{2}(\eta\mu \alpha +\eta\mu \gamma)}$
β) $\displaystyle{\sigma \uspilon \nu \beta=\frac{1}{2}( \sigma \uspilon \nu \alpha + \sigma \uspilon \nu \gamma)}$
γ) $\displaystyle{\varepsilon \phi \beta=\frac{1}{2}(\varepsilon \phi \alpha +\varepsilon \phi \gamma)}$
δ) $\displaystyle{\eta\mu \alpha +\eta\mu \beta+\eta\mu \gamma= \sigma \uspilon \nu \alpha +\sigma \uspilon \nu \beta+ \sigma \uspilon \nu \gamma}$
ε) $\displaystyle{\frac{\eta\mu \alpha +\eta\mu \beta+\eta\mu \gamma}{ \sigma \uspilon \nu \alpha +\sigma \uspilon \nu \beta+ \sigma \uspilon \nu \gamma}=\varepsilon \phi \beta}$

A6. Αν $\displaystyle{ A=\frac{1}{\varepsilon \phi x}-\varepsilon \phi x \,\, (x \ne \frac{\kappa \pi}{2}, \kappa \in \mathbb{Z})}$ τότε

α) $\displaystyle{A=-1}$ β) $\displaystyle{A=1}$ γ) $\displaystyle{A=2\sigma \phi2 x}$ δ) $\displaystyle{A=\frac{2}{\eta \mu 2 x}}$ ε) $\displaystyle{A=\frac{1}{\sigma \uspilon \nu ^2 x}}$

A7. Αν $\displaystyle{\eta \mu 32^o\cong 0,53 \, \sigma \upsilon \nu 32^o\cong 0,85,\varepsilon \phi 32^o\cong 0,63}$ η περίμετρος του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ (σχήμα) είναι:

: bl a7.png (42.08 KiB) Προβλήθηκε 1445 φορές

α) $\displaystyle{ 15,18 \,\, cm}$ β) $\displaystyle{ 16,15 \,\, cm}$ γ) $\displaystyle{ 16,75 \,\, cm}$ δ) $\displaystyle{ 14,94 \,\, cm}$ ε) $\displaystyle{ 13,85 \,\, cm}$

A8. Στο παρακάτω σχήμα ένα τετράγωνο είναι εγγεγραμμένο σε ημικύκλιο. Ο λόγος $\displaystyle{\frac{\alpha}{\beta}}$ είναι :

: bl a8.png (32.86 KiB) Προβλήθηκε 1445 φορές

α) $\displaystyle{ \frac{\sqrt5}{2}}$ β) $\displaystyle{2}$ γ) $\displaystyle{ \frac{\sqrt5+1}{2}}$ δ) $\displaystyle{ \frac{\sqrt5-1}{2}}$ ε) $\displaystyle{ \frac{3}{2}}$

A9. Αν το $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ είναι τετράγωνο τότε έχει εμβαδόν:

: bl a9.png (48.5 KiB) Προβλήθηκε 1445 φορές

α) $\displaystyle{ \frac{\alpha \beta}{8}}$ β) $\displaystyle{ \frac{\sqrt3\alpha^2}{2}+ \frac{ \beta^2}{2}}$ γ) $\displaystyle{ \frac{(\alpha- \beta)^2}{2}}$ δ) $\displaystyle{ \frac{(\alpha +\beta)^2}{10}}$ ε) κανένα από τα παραπάνω

A10. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού $\displaystyle{ 2^{48}-2}$ είναι:

α) $\displaystyle{1}$ β) $\displaystyle{ 4}$ γ) $\displaystyle{5}$ δ) $\displaystyle{0}$ ε) $\displaystyle{6}$

ΜΕΡΟΣ Β

Β1. Να προσδιορίσετε όλους τους φυσικούς αριθμούς $\displaystyle{a,b,c (0<a<b<c)}$ για τους οποίους ισχύει $\displaystyle{abc+ab+bc+ca+a+b+c{\color{red}+2}=1996}$ .

Β2. Ένα τετράγωνο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ με πλευρά $\displaystyle{8}$ διαιρείται με ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του σε $\displaystyle{64}$ ίσα τετράγωνα με πλευρά $\displaystyle{1}$ .
Σε καθένα από τα $\displaystyle{64}$ τετράγωνα τοποθετούμε έναν θετικό αριθμό,
έτσι ώστε οι αριθμοί που είναι τοποθετημένοι σε τετράγωνα συμμετρικά ως προς μια διαγώνιο του $\displaystyle{AB\Gamma\Delta }$ να είναι ίσοι.
Το άθροισμα των αριθμών που είναι τοποθετημένοι στα $\displaystyle{64}$ τετράγωνα είναι $\displaystyle{2.000}$ ,
ενώ το άθροισμα των αριθμών που είναι τοποθετημένοι στα τετράγωνα των διαγωνίων του $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ είναι $\displaystyle{200}$ .
Να αποδείξετε οτι το άθροισμα των διαφορετικών αριθμών που είναι στα τετράγωνα $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ είναι το πολύ $\displaystyle{550}$ .

Β3. Οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $\displaystyle{C}$ .
Από τις κορυφές του $\displaystyle{A,\Gamma}$ φέρνουμε εφαπτόμενες στον κύκλο, που τέμνουν την εφαπτομένη στο $\displaystyle{B}$ στα σημεία $\displaystyle{M,N}$ .
Αν $\displaystyle{H}$ η προβολή του $\displaystyle{B}$ στην $\displaystyle{A\Gamma}$ , να αποδείξετε οτι η $\displaystyle{BH}$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\widehat{MHN}}$

Παράκληση:
Καλύτερα για τα πολλαπλής ερωτήματα να δοθεί αναλυτική λύση, σαν να ήταν ανάπτυξης.

Υ.Γ.1. Το κόκκινο κουτάκι (για να κυκλώνετε την απάντηση σας) σε $\displaystyle{\LaTeX}$ είναι {\color{red}\fbox{...}} δηλαδή το $\displaystyle{{\color{red}\fbox{...}}$
Υ.Γ.2. Για επίδοξους λύτες υπάρχουν και οι Άλυτες σε Διαγωνισμούς ΕΜΕ ανά είδος

edit
Συμπλήρωση αριθμού στο Β1, ευχαριστώ τον Κώστα (Ζερβό) που πρόσεξε οτι κάτι δεν παέι καλά

kostas_zervos · #2

parmenides51 έγραψε:Β1. Να προσδιορίσετε όλους τους φυσικούς αριθμούς $\displaystyle{a,b,c (0<a<b<c)}$ για τους οποίους ισχύει $\displaystyle{abc+ab+bc+ca+a+b+c+2=1996}$ .

Είναι $abc+ab+bc+ca+a+b+c+2=1996 \iff$
$\iff abc+ab+bc+ca+a+b+c+1=1995 \iff$
$\iff ab(c+1)+b(c+1)+a(c+1)+(c+1)=1995 \iff$
$\iff (c+1)(ab+a+b+1)=1997 \iff (a+1)(b+1)(c+1)=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 19$ .

Αλλά $0<a<b<c \iff 1<a+1<b+1<c+1$ , άρα:

$\bullet: a+1=3 \wedge b+1=5 \wedge c+1=7\cdot 19 \iff a=2 \wedge b=4 \wedge c=132$
$\bullet: a+1=3 \wedge b+1=19 \wedge c+1=7\cdot 5 \iff a=2 \wedge b=18 \wedge c=36$
$\bullet: a+1=3 \wedge b+1=7 \wedge c+1=5\cdot 19 \iff a=2 \wedge b=6 \wedge c=144$
$\bullet: a+1=5 \wedge b+1=7 \wedge c+1=3\cdot 19 \iff a=4 \wedge b=6 \wedge c=56$
$\bullet: a+1=5 \wedge b+1=19 \wedge c+1=3\cdot 7 \iff a=4 \wedge b=18 \wedge c=20$
$\bullet: a+1=7 \wedge b+1=3\cdot 15 \wedge c+1=19 \iff a=6 \wedge b=14 \wedge c=18$

Ξέχασα κανένα;

parmenides51 · #3

parmenides51 έγραψε:A4. Η ένατη ρίζα του $\displaystyle{9^{(\displaystyle 9^9)}}$ είναι:

α) $\displaystyle{9^9}$ β) $\displaystyle{{\color{red}\fbox{9^{(\displaystyle 9^8)}}}$ γ) $\displaystyle{9^{20}}$ δ) $\displaystyle{9^{\displaystyle 9^9-1}}$ ε) κανένα από τα παραπάνω

$\displaystyle{\sqrt[9]{9^{(\displaystyle 9^9)}}=9^{\left(\displaystyle \frac{9^9}{9}\right)}=9^{(\displaystyle 9^{9-1})}=9^{(\displaystyle 9^8)}}$

Orestisss · #4

parmenides51 έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 13, 2013 8:18 pm
Την χρονιά 1994-5 τα θέματα του Θαλή για κάθε τάξη αποτελούνταν από 10 πολλαπλής και 3 ανάπτυξης.

ΜΕΡΟΣ Α

A3. Έστω $\displaystyle{\nu \in \mathbb{N}^*}$ , τότε οι αριθμοί $\displaystyle{ 3\nu +1, \, 7\nu +2 }$

α) είναι σχετικά πρώτοι για κάθε τιμή του $\displaystyle{\nu}$
β) είναι σχετικά πρώτοι, αλλά όχι πάντα
γ) δεν είναι σχετικά πρώτοι
δ) ο $\displaystyle{3\nu +1}$ διαιρεί τον $\displaystyle{7\nu +2 }$
ε) δεν ισχύει κανένα από τα παραπάνω

Σωστό είναι το α). Αρχικα $7\nu +2>3\nu +1, \forall \nu \in \mathbb{N*}$ . Από τον ευκλειδειο αλγόριθμο εχουμε:
$7\nu +2=(3\nu +1) \cdot 2 +\nu$ επομένως $(7\nu +2,3\nu +1)=(3\nu +1,\nu)$ . Και αφού $3\nu +1=\nu \cdot 3 +1$ επεται ότι
$(3\nu +1,\nu)=(\nu,1)=1$ .

ΘΑΛΗΣ 1994 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 1994 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1994 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1994 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1994 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση