Π.Μ.Δ.Μ. 1964-65 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

parmenides51 · #1

1. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{2^{2x}-(2^{2\nu}+3^{2\nu})2^{x-\nu}3^{x-\nu}+3^{2x}=0}$

2. Δίνεται κανονικό τετράεδρο $\displaystyle{AB\Gamma \Delta}$ και το ύψος του $\displaystyle{AA'}$ .
Να αποδειχθεί οτι η τρίεδρος γωνία που έχει κορυφή το μέσον $\displaystyle{M}$ του ύψους $\displaystyle{AA'}$
και της οποίας οι ακμές διέρχονται $\displaystyle{B,\Gamma, \Delta}$ είναι τρισορθογώνια.

3. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu x \sigma \upsilon \nu 2x=\frac{1}{4}}$

edit's
διόρθωση τυπογραφικού, θενξ Ορέστη
μετονομασία από ''κλασικό''' σε ''κλασική'' (κατεύθυνση) και μετά πάλι σε ''κλασικό''

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

3. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu x \sigma \upsilon \nu 2x=\frac{1}{4}}$

Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα

$\sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu 2x=\frac{1}{4}$

και με χρήση του $\sigma \upsilon \nu 2x=2\sigma \upsilon \nu ^{2}x-1$

η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα

με εκτέλεση πράξεων

$8\sigma \upsilon \nu ^{3}x-4\sigma \upsilon \nu x-1=0 \Leftrightarrow$

$\left( 2\sigma\upsilon\nu x+1 \right)\left(4\sigma\upsilon\nu^{2}x-2\sigma\upsilon\nu x-1 \right)=0$

Από εδώ προκύπτει ότι

$\sigma \upsilon \nu x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow$

$\sigma \upsilon \nu x=\sigma \upsilon \nu\frac{2\pi }{3}\Leftrightarrow$

$x=2k\pi \pm \frac{2\pi }{3}$ με

ακέραιο.

Από τη δευτεροβάθμια ως προς $\sigma \upsilon \nu x$ προκύπτουν οι λύσεις $\frac{\sqrt{5}+1}{4}$ , $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$ που είναι αντίστοιχα τα συνιμήτονα των $\frac{\pi }{5}$ , $\frac{2\pi }{5}$

Τώρα θα σκεφτείτε : '' Πού το ΄ξερε αυτό ένα παιδί ; '' . Εκείνα τα χρόνια , όπως μπορούν να σας διαβεβαιώσουν μαθηματικοί πιο μεγάλοι από μένα σε ηλικία, οι τριγωνομετρικοί αριθμοί αυτών των τόξων υπολογίζονταν με ακρίβεια κατά τη διδασκαλία της θεωρίας . Όποιος αμφιβάλλει ας ρίξει μια ματιά στην '' Τριγωνομετρία '' του Πανάκη . Ο διαβασμένος μαθητής -αν δεν τα θυμόταν απ΄ έξω - ήξερε να τα υπολογίζει εκ νέου από μόνος του.

Έτσι οι άλλες λύσεις της εξίσωσης δίνονται $x=2k\pi \pm \frac{\pi }{5}$ , $x=2k\pi \pm \frac{2\pi }{5}$ με

ακέραιο.

#3

parmenides51 έγραψε:3. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu x \sigma \upsilon \nu 2x=\frac{1}{4}}$

Αλλιώς:

Προφανώς $x\ne \kappa \pi$ οπότε

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu x \sigma \upsilon \nu 2x=\frac{1}{4} \iff \eta \mu x=\eta \mu 4x}$ με λύσεις όπως παραπάνω...

orestisgotsis · #4

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #5

ΠΕΡΙΤΤΑ

Π.Μ.Δ.Μ. 1964-65 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Π.Μ.Δ.Μ. 1964-65 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1964-65 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1964-65 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1964-65 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1964-65 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Μέλη σε σύνδεση