Π.Μ.Δ.Μ. 1938-39 Ε' ΠΡΑΚΤΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Σε ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ (με ορθή γωνία $\displaystyle{ \widehat{A}}$ ) δίνονται οι τρεις πλευρές $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ .
Να βρεθεί πάνω στην υποτείνουσα $\displaystyle{B\Gamma}$ σημείο $\displaystyle{M}$ τέτοιο ώστε ο λόγος $\displaystyle{\frac{(AM)^2}{(BM)(M\Gamma)}}$ να είναι ίσος με $\displaystyle{2}$ . (Διερεύνηση)

2. Αν από καθένα από τα τέσσερα κέντρα των περιγεγραμμένων στις έδρες τριγωνικής πυραμίδας κύκλων αχθεί κάθετη
προς την αντίστοιχη έδρα, οι κάθετες αυτές θα τέμνονται στο ίδιο σημείο.

#2

parmenides51 έγραψε:1. Σε ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ (με ορθή γωνία $\displaystyle{ \widehat{A}}$ ) δίνονται οι τρεις πλευρές $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ .
Να βρεθεί πάνω στην υποτείνουσα $\displaystyle{B\Gamma}$ σημείο $\displaystyle{M}$ τέτοιο ώστε ο λόγος $\displaystyle{\frac{(AM)^2}{(BM)(M\Gamma)}}$ να είναι ίσος με $\displaystyle{2}$ . (Διερεύνηση)

Υπάρχουν πάντα δύο λύσεις.
Από το θεώρημα Stewart έχουμε $c^2MC+b^2MB=BC\cdot AM^2+BM\cdot MC\cdot BC$
Είναι λοιπόν $AM^2=2BM\cdot MC$ αν και μόνο αν
$c^2\left(a-MB\right)+\left(a^2-c^2\right) MB=3a\cdot MB\cdot \left(a-MB \right)$
$3aMB^2-2\left(a^2+c^2 \right)MB+ac^2=0$
Βρίσκουμε διακρίνουσα $4\left(a^4+c^4-a^2c^2 \right)>0$ οπότε $MB=\dfrac{a^2+c^2\pm \sqrt{a^4+c^4-a^2c^2}}{3a}.$ Και οι δύο αυτές λύσεις είναι θετικές και μικρότερες της υποτείνουσας αφού $\dfrac{a^2+c^2+ \sqrt{a^4+c^4-a^2c^2}}{3a}<a\Leftrightarrow c<a$ που ισχύει.
Οι λύσεις αυτές είναι κατασκευάσιμες με κανόνα και διαβήτη αφού $\sqrt{a^4+c^4-a^2c^2}=\sqrt{a^2+c^2+\sqrt{3}ac}\sqrt{a^2+c^2-\sqrt{3}ac}$

: 1938.png (5.29 KiB) Προβλήθηκε 922 φορές

Al.Koutsouridis · #3

parmenides51 έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 21, 2013 12:09 pm
2. Αν από καθένα από τα τέσσερα κέντρα των περιγεγραμμένων στις έδρες τριγωνικής πυραμίδας κύκλων αχθεί κάθετη
προς την αντίστοιχη έδρα, οι κάθετες αυτές θα τέμνονται στο ίδιο σημείο.

Θεωρούμε μια έδρα της τριγωνικής πυραμίδας και μια πλευρά αυτής της έδρας. Φέρουμε επίπεδο κάθετο προς αυτήν την έδρα που τέμνει την έδρα πάνω στην μεσοκάθετο αυτής της πλευράς. Από την κατασκευή αυτού του κάθετου επιπέδου συμπεραίνουμε ότι περιέχει το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας της τριγωνικής πυραμίδας.

Ομοίως κατασκευάζουμε τα άλλα δυο κάθετα επίπεδα στις υπόλοιπες πλευρές της έδρας. Και αυτά περιέχουν το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας της τριγωνικής πυραμίδας. Άρα το κέντρο αυτό είναι κοινό σημείο των τριών αυτών κάθετων επιπέδων. Τα κοινά σημεία όμως αυτών των επιπέδων ορίζουν την αχθείσα κάθετη της εκφώνησης. Άρα αυτή η κάθετη ευθεία διέρχεται από το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας της πυραμίδας.

Ομοίως και οι αχθείσες κάθετες στις υπόλοιπες έδρες. Άρα όλες αυτές τέμνονται στο ίδιο σημείο.

Π.Μ.Δ.Μ. 1938-39 Ε' ΠΡΑΚΤΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Π.Μ.Δ.Μ. 1938-39 Ε' ΠΡΑΚΤΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1938-39 Ε' ΠΡΑΚΤΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1938-39 Ε' ΠΡΑΚΤΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση