Π.Μ.Δ.Μ. 1968-69 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

parmenides51 · #1

1. Αν οι θετικοί αριθμοί $\displaystyle{x_1,x_2,x_3, ...,x_{\nu}}$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου , να δειχτεί οτι
$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}+\frac{1}{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_3}}+...+\frac{1}{\sqrt{x_{\nu-1}}+\sqrt{x_{\nu}}}=\frac{\nu-1}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_{\nu}}}}$ .

2. Δίνεται τόξο $\displaystyle{(AB)}$ μικρότερο ημικυκλίου και τυχαίο σημείο $\displaystyle{\Gamma}$ του τόξου.
Αν $\displaystyle{E}$ σημείο της χορδής $\displaystyle{A\Gamma}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{(AE)=\frac{2}{3}(\Gamma B)}$ , να δειχτεί οτι το $\displaystyle{E}$ κινείται σε σταθερή γραμμή.

3. Να δειχτεί οτι σε κάθε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ισχύει
$\displaystyle{\eta\mu\Gamma\sigma\upsilon\nu \left(A+\frac{\Gamma}{2}\right)-\eta\mu B\sigma\upsilon\nu \left(A+\frac{B}{2}\right)=-2\left(\eta\mu\frac{\Gamma}{2}-\eta\mu\frac{B}{2}\right)\left(\eta\mu^2\frac{A}{2}+\eta\mu\frac{B}{2}\eta\mu\frac{\Gamma}{2}\right)}$

kostas_zervos · #2

parmenides51 έγραψε:
2. Δίνεται τόξο $\displaystyle{(AB)}$ μικρότερο ημικυκλίου και τυχαίο σημείο $\displaystyle{\Gamma}$ του τόξου.
Αν $\displaystyle{E}$ σημείο της χορδής $\displaystyle{A\Gamma}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{(AE)=\frac{2}{3}(\Gamma B)}$ , να δειχτεί οτι το $\displaystyle{E}$ κινείται σε σταθερή γραμμή.

: ask129.png (11.95 KiB) Προβλήθηκε 1256 φορές

Φέρνουμε στο

ημιευθεία

(στο ημιεπίπεδο $(AB,\Gamma)$ ) κάθετη στην

και σ' αυτή παίρνουμε σημείο

ώστε $(AK)=\dfrac{2}{3}R=\dfrac{2}{3}(OA)=\dfrac{2}{3}(OB)$ .

Τότε $\overset{\triangle}{O\Gamma B}\approx\overset{\triangle}{AKE}$ γιατί $\dfrac{AE}{B\Gamma}=\dfrac{AK}{OB}=\dfrac{2}{3}$ και
$\hat{\phi}=\dfrac{180^o-\Gamma\widehat{O}B}{2}=90^o-\dfrac{\Gamma\widehat{O}B}{2}=90^o-\Gamma\widehat{A}B=\hat{\omega}$ .

Άρα $\dfrac{KE}{O\Gamma}=\dfrac{2}{3}\iff KE=\dfrac{2}{3}R$ .

Επομένως το

κινείται στον σταθερό κύκλο $\left(K,\dfrac{2R}{3}\right)$ .

(Για την ακρίβεια κινείται στο μπλε τόξο του σχήματος.)

#3

parmenides51 έγραψε:1. Αν οι θετικοί αριθμοί $\displaystyle{x_1,x_2,x_3, ...,x_{\nu}}$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου , να δειχτεί οτι
$\displaystyle{A=\frac{1}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}+\frac{1}{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_3}}+...+\frac{1}{\sqrt{x_{\nu-1}}+\sqrt{x_{\nu}}}=\frac{\nu-1}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_{\nu}}}}$ .

Έστω $x_{i+1}-x_i=w,\quad i=1,\dots ,{\nu-1}$

$A=\dfrac{\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}}{w}+\dfrac{\sqrt{x_3}-\sqrt{x_2}}{w}+...+\dfrac{\sqrt{x_{\nu}}-\sqrt{x_{\nu-1}}}{w}=\dfrac{\sqrt{x_{\nu}}-\sqrt{x_1}}{w}\Rightarrow$

$A=\dfrac{x_{\nu}-x_1}{w(\sqrt{x_{\nu}}+\sqrt{x_1})}=\dfrac{\nu-1}{\sqrt{x_{\nu}}+\sqrt{x_1}}$

orestisgotsis · #4

ΠΕΡΙΤΤΑ

Π.Μ.Δ.Μ. 1968-69 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Π.Μ.Δ.Μ. 1968-69 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1968-69 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1968-69 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1968-69 ΣΤ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Μέλη σε σύνδεση