ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2012 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα:

$\displaystyle{\frac{(x-1)^2}{4}+\frac{|x|+x}{2}\le \frac{|x|+3+x^2}{4} \,\, , \,\,x(x^2+4)(x^2-5x+4)=0}$

2. Να απλοποιήσετε τις κλασματικές παραστάσεις

$\displaystyle{A(x, y)=\frac{(x^2+y^2)(x^3-y^3)(x^3+y^3)}{(x^2-y^2)(x^4+y^4+x^2y^2)}}$ και $\displaystyle{B(x, y)=\frac{4x^2+16y^2+16xy-25}{2x+4y+5}}$

αν $\displaystyle{y \ne \pm x}$ και $\displaystyle{2x + 4y + 5 \ne 0}$ , και να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{A(x, y) = B(x, y) }$ .

3. Δίνεται οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και σημεία $\displaystyle{\Delta,E}$ των πλευρών του $\displaystyle{A\Gamma,AB}$ αντίστοιχα, ώστε $\displaystyle{A\Delta = AE}$ .
Οι κύκλοι $\displaystyle{c_1 (B,BE)}$ και $\displaystyle{c_2 (\Gamma, \Gamma\Delta)}$ τέμνουν την ευθεία $\displaystyle{B\Gamma}$ στα σημεία $\displaystyle{B_1,B_2}$ και $\displaystyle{\Gamma_1,\Gamma_2}$ αντίστοιχα.
Το σημείο $\displaystyle{B_1}$ βρίσκεται εκτός του τμήματος $\displaystyle{B\Gamma}$ προς το μέρος του $\displaystyle{B}$ και
το σημείο $\displaystyle{\Gamma_2}$ βρίσκεται εκτός του τμήματος $\displaystyle{B\Gamma}$ προς το μέρος του $\displaystyle{\Gamma}$ .
Να αποδείξετε ότι:
α. Τα σημεία $\displaystyle{E, B_2 , \Gamma_1 , \Delta}$ βρίσκονται επάνω σε κύκλο, έστω $\displaystyle{c_3}$ .
β. Τα σημεία $\displaystyle{E, B_1 , \Gamma_2 , \Delta}$ βρίσκονται επάνω σε κύκλο, έστω $\displaystyle{c_4 }$ .
γ. Το σημείο $\displaystyle{A}$ και τα κέντρα των κύκλων $\displaystyle{c_3}$ και $\displaystyle{c_4}$ , βρίσκονται επάνω στην ίδια ευθεία.

4. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{a^2x^2 + 2a\left( \sqrt2 −1\right)x + \sqrt{x − 2} + 3− 2 \sqrt2 = 0}$ , όπου $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ άγνωστος και $\displaystyle{a \in \mathbb{R}}$ παράμετρος.
Να λύσετε την εξίσωση για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου $\displaystyle{a }$ .

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:3. Δίνεται οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και σημεία $\displaystyle{\Delta,E}$ των πλευρών του $\displaystyle{A\Gamma,AB}$ αντίστοιχα, ώστε $\displaystyle{A\Delta = AE}$ .
Οι κύκλοι $\displaystyle{c_1 (B,BE)}$ και $\displaystyle{c_2 (\Gamma, \Gamma\Delta)}$ τέμνουν την ευθεία $\displaystyle{B\Gamma}$ στα σημεία $\displaystyle{B_1,B_2}$ και $\displaystyle{\Gamma_1,\Gamma_2}$ αντίστοιχα.
Το σημείο $\displaystyle{B_1}$ βρίσκεται εκτός του τμήματος $\displaystyle{B\Gamma}$ προς το μέρος του $\displaystyle{B}$ και
το σημείο $\displaystyle{\Gamma_2}$ βρίσκεται εκτός του τμήματος $\displaystyle{B\Gamma}$ προς το μέρος του $\displaystyle{\Gamma}$ .
Να αποδείξετε ότι:
α. Τα σημεία $\displaystyle{E, B_2 , \Gamma_1 , \Delta}$ βρίσκονται επάνω σε κύκλο, έστω $\displaystyle{c_3}$ .
β. Τα σημεία $\displaystyle{E, B_1 , \Gamma_2 , \Delta}$ βρίσκονται επάνω σε κύκλο, έστω $\displaystyle{c_4 }$ .
γ. Το σημείο $\displaystyle{A}$ και τα κέντρα των κύκλων $\displaystyle{c_3}$ και $\displaystyle{c_4}$ , βρίσκονται επάνω στην ίδια ευθεία.

εδώ, εδώ, εδώ, εδώ

parmenides51 έγραψε:4. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{a^2x^2 + 2a\left( \sqrt2 −1\right)x + \sqrt{x − 2} + 3− 2 \sqrt2 = 0}$ , όπου $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ άγνωστος και $\displaystyle{a \in \mathbb{R}}$ παράμετρος.
Να λύσετε την εξίσωση για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου $\displaystyle{a }$ .

εδώ, εδώ

BAGGP93 · #3

parmenides51 έγραψε:1. Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα:

$\displaystyle{\frac{(x-1)^2}{4}+\frac{|x|+x}{2}\le \frac{|x|+3+x^2}{4} \,\, , \,\,x(x^2+4)(x^2-5x+4)=0}$

2. Να απλοποιήσετε τις κλασματικές παραστάσεις

$\displaystyle{A(x, y)=\frac{(x^2+y^2)(x^3-y^3)(x^3+y^3)}{(x^2-y^2)(x^4+y^4+x^2y^2)}}$ και $\displaystyle{B(x, y)=\frac{4x^2+16y^2+16xy-25}{2x+4y+5}}$

αν $\displaystyle{y \ne \pm x}$ και $\displaystyle{2x + 4y + 5 \ne 0}$ , και να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{A(x, y) = B(x, y) }$ .

Πρώτη άσκηση

Έστω $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ λύση του δοσμένου συστήματος. Τότε,

$\displaystyle{x\left(x^2+4\right)\left(x^2-5\,x+4\right)=0\Leftrightarrow x\left(x^2+4\right)\left(x-1\right)\left(x-4\right)=0}$ .

Συνεπώς, $\displaystyle{x\in\left\{0,1,4\right\}}$ .

Εύκολα βλέπουμε ότι από τις παραπάνω τιμές, αυτές που ικανοποιούν την ανίσωση είναι οι $\displaystyle{x=0,1}$ .

Συμπεραίνουμε ότι οι μοναδικές λύσεις του συστήματος είναι οι $\displaystyle{x\in\left\{0,1\right\}}$ .

Δεύτερη άσκηση

Για $\displaystyle{x\,,y\in\mathbb{R}}$ με $\displaystyle{y\neq \pm x\,\,\kappa \alpha \iota\,\,2\,x+4\,y+5\neq 0}$ έχουμε

$\displaystyle{\begin{aligned} A\left(x,y\right)&=\frac{(x^2+y^2)(x^3-y^3)(x^3+y^3)}{(x^2-y^2)(x^4+y^4+x^2y^2)}\\&=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(x-y\right)\left(x^2+x\,y+y^2\right)\left(x+y\right)\left(x^2-x\,y+y^2\right)}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^4+y^4+2\,x^2\,y^2-x^2\,y^2\right)}\\&=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+y^2+x\,y\right)\left(x^2+y^2-x\,y\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2-x^2\,y^2}\\&=\frac{\left(x^2+y^2\right)\left[\left(x^2+y^2\right)^2-x^2\,y^2\right]}{\left(x^2+y^2\right)^2-x^2\,y^2}\\&=x^2+y^2\end{aligned}}$

$\displaystyle{\begin{aligned} B\left(x,y\right)&=\frac{4\,x^2+16\,y^2+16\,x\,y-25}{2\,x+4\,y+5}\\&=\frac{\left(2\,x+4\,y\right)^2-25}{2\,x+4\,y+5}\\&=\frac{\left(2\,x+4\,y+5\right)\left(2\,x+4\,y-5\right)}{2\,x+4\,y+5}\\&=2\,x+4\,y-5\end{aligned}}$

$\displaystyle{A\left(x,y\right)=B\left(x,y\right)\Leftrightarrow \left(x^2-2\,x+1\right)+\left(y^2-4\,y+4\right)=0\Leftrightarrow \left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=0\Leftrightarrow x=1\,\,\kappa \alpha \iota\,\,y=2}$

τιμές, που ικανοποιούν τους περιορισμούς.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2012 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2012 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2012 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2012 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση