Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014/15 (ΦΙΙ τάξη 10)

Al.Koutsouridis · #1

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2014-2015

Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 10η τάξη. Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες. (*)

1. Σε μία κατασκήνωση, από το σύνολο των σκηνών, οι μισές τουλάχιστον είναι τετραθέσιες και οι υπόλοιπες τριθέσιες. Τουλάχιστον τα δυο τρίτα του συνόλου των κοριτσιών της κατασκήνωσης μένουν σε τριθέσιες σκηνές. Να αποδείξετε, ότι πάνω από 35% των παιδιών τις κατασκήνωσης είναι αγόρια. (Όλες οι σκηνές είναι πλήρης, αγόρια και κορίτσια δεν μένουν στην ίδια σκηνή.)

2. Ο σκακιστικός πεσσός «κάστορας» κινείται κατά δυο θέσεις (κελιά) οριζόντια ή κάθετα σε οποιαδήποτε κατεύθυνση. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός χρωμάτων που μπορούμε να χρωματίσουμε μια σκακιέρα $100 \times 100$ κελιών έτσι, ώστε οποιαδήποτε δυο κελιά, που απέχουν κατά μια κίνηση ίππου ή κάστορα, να είναι διαφορετικού χρώματος;

3. Οι διχοτόμοι των γωνιών

και

κυρτού τετράπλευρου ABCD

τέμνονται στο σημείο

. Οι διχοτόμοι των γωνιών

και

στο σημείο

. Να αποδείξετε, ότι

$2KL \geq |AB-BC +CD-DA|$ .

4. Ονομάζουμε τον μη μηδενικό φυσικό αριθμό

ολυμπιακό, αν μπορεί να βρεθεί δευτεροβάθμιο τριώνυμο f(x)

με ακέραιους συντελεστές τέτοιο, ώστε $f(f(\sqrt{n})) = 0$ . Να βρείτε τον μεγαλύτερο ολυμπιακό αριθμό, που δεν υπερβαίνει το 2015.

Καταληκτική αίθουσα (**)

5. Στο κυρτό πεντάπλευρο ABCDE

ισχύουν οι ισότητες

$\angle BCA = \angle BEA = \dfrac{1}{2} \angle BDA$
$\angle BDC = \angle EDA$ .

Να αποδείξετε, ότι $\angle DEB = \angle DAC$ .

6. Ακολουθία φυσικών αριθμών ορίζεται ως εξής: $a_{1} =1, a_{2}=2, a_{3}=3, a_{n} =$ - ο ελάχιστος φυσκός αριθμός, που δεν έχει εμφανιστεί πιο πριν (στην ακολουθία),σχετικά πρώτος με τον $a_{n-1}$ και σχετικά μη πρώτος με τον $a_{n-2}$ . Να αποδείξετε, ότι σε αυτή την ακολουθία εμφανίζονται ακριβώς από μια φορά όλοι οι φυσικοί αριθμοί.

7. Σε ένα κυρτό n-γωνο σημειώνουμε όλες τις πλευρές, καθώς και όλες τις διαγώνιους από μια κορυφή. Στα 2n-3

τμήματα που προκύπτουν γράφουμε θετικούς αριθμούς. Επιτρέπεται να πάρουμε ένα τετράπλευρο ABCD

τέτοιο, ώστε όλες οι πλευρές του και διαγώνιοί του είναι από τα σημειωμένα και να σβήσουμε την διαγώνιο

, να φέρουμε την διαγώνιο

και να γράψουμε σε αυτήν τον αριθμό $\dfrac{xz+yt}{w}$ , όπου x,y,z,t,w

οι αριθμοί των τμημάτων AB, BC, CD, DA, AC

αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι, αν κάποια χρονική στιγμή τα σημειωμένα τμήματα που θα προκύψουν είναι εκείνα τα 2n-3

τμήματα , που είχαμε αρχικά, τότε σε αυτά θα είναι γραμμένοι εκείνοι οι αριθμοί, που ήταν γραμμένοι και αρχικά.

(*) Η τελική φάση της ολυμπιάδας είναι προφορική.
(**) Όσοι έλυσαν δυο από τα τέσσερα αρχικά προβλήματα καλέστηκαν να λύσουν άλλα τρία σε διαφορετική αίθουσα. Ο επιπλέον χρόνος που δίνεται είναι μια ώρα.

Στατιστικά: Στον πρώτο πίνακα αναγράφεται ο αριθμός των λυτών ανά θέμα (πόσοι έλυσαν το πρώτο, δύτερο θέμα κτλ.). Στον δεύτερο πίνακα ο αριθμός των μαθητών ανά πλήθος θεμάτων που έλυσαν (πόσοι έλυσαν ένα, δυο κτλ θέματα).

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{\gr τάξη} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & \text{\gr σύνολο} &\text{\gr καταληκτική} \\ \hline 10 & 44 & 21 & 29 & 9 & 5 & 4 & 1 & 87 & 33 \\ \hline \end{tabular}$

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{\gr τάξη} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline 10 & 17 & 14 & 13 & 4 & 0 & 1 & 1 \\ \hline \end{tabular}$

Friedoon · #2

Al.Koutsouridis έγραψε:
1. Σε μία κατασκήνωση, από το σύνολο των σκηνών, οι μισές τουλάχιστον είναι τετραθέσιες και οι υπόλοιπες τριθέσιες. Τουλάχιστον τα δυο τρίτα του συνόλου των κοριτσιών της κατασκήνωσης μένουν σε τριθέσιες σκηνές. Να αποδείξετε, ότι πάνω από 35% των παιδιών τις κατασκήνωσης είναι αγόρια. (Όλες οι σκηνές είναι πλήρης, αγόρια και κορίτσια δεν μένουν στην ίδια σκηνή.)

Έστω

ο αριθμός των k-θέσιων σκηνών που αντιστοιχούν σε κορίτσια και b_k

σε αγόρια.
Τώρα από την εκφώνηση έχουμε $3g_3 \ge \frac{2(4g_4+3g_3)}{3} \Leftrightarrow g_3\ge \frac{8g_4}{3}$ .
Πάλι από τα δεδομένα έχουμε $b_4+g_4\ge b_3+g_3$ (1).
Τώρα παρατηρούμε πως για να πάρουμε το ελάχιστο ποσοστό αγοριών θα πρέπει να μηδενίσουμε το b_3

.
Άρα από τη (1) παίρνουμε $b_4\ge \frac{5g_4}{3}$
Άρα στην καλύτερη περίπτωση θα έχουμε
$4g_4+8g_4+\frac{20g_4}{3}=\frac{56g_4}{3}$ παιδιά συνολικά
από όπου τα αγόρια θα είναι τα $\frac{20}{56}>\frac{35}{100}$
και άρα το ζητούμενο αποδείχθηκε.

Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014/15 (ΦΙΙ τάξη 10)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014/15 (ΦΙΙ τάξη 10)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2014/15 (ΦΙΙ τάξη 10)

Μέλη σε σύνδεση