Ποτέ προσεταιριστική

#1

Έστω

ένα πεπερασμένο σύνολο με τουλάχιστον δύο στοιχεία. Να εξεταστεί αν μπορούμε να ορίσουμε μια διμελή πράξη $\ast$ στο

ώστε για κάθε $x,y,z \in X$ να ισχύουν τα εξής
(α) $x \ast z = y \ast z \Rightarrow x = y$
(β) $x \ast (y \ast z) \neq (x \ast y) \ast z$ .

#2

Η απάντηση είναι καταφατική.

Έστω $\displaystyle{f:X \to X}$ μια συνάρτηση 1-1 και επί τέτοια, ώστε $\displaystyle{f\left( x \right) \ne x}$ για κάθε $\displaystyle{x \in X.}$

(Για παράδειγμα, αν $\displaystyle{X = \left\{ {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right\}}$ με $\displaystyle{n \ge 2}$ , ορίζουμε $\displaystyle{f\left( {{x_i}} \right) = {x_{i + 1}}}$ για $\displaystyle{i = 1,2, \ldots ,n - 1}$ και $\displaystyle{f\left( {{x_n}} \right) = {x_1}}$ ).

Για $\displaystyle{x,y \in X}$ ορίζουμε $\displaystyle{x * y: = f\left( x \right).}$

Τότε για $\displaystyle{x,y,z \in X}$ ισχύουν

$\displaystyle{x * z = y * z \Rightarrow f\left( x \right) = f\left( y \right) \Rightarrow x = y}$

και

$\displaystyle{x * \left( {y * z} \right) = f\left( x \right) \ne f\left( {f\left( x \right)} \right) = f\left( {x * y} \right) = \left( {x * y} \right) * z.}$

#3

Ήταν το πρόβλημα Β3 του 1984 από τον διαγωνισμό Putnam.

Ποτέ προσεταιριστική

Ποτέ προσεταιριστική

Re: Ποτέ προσεταιριστική

Re: Ποτέ προσεταιριστική

Μέλη σε σύνδεση