SEEMOUS 2008/3

#1

Έστω $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ το σύνολο των πραγματικών $n \times n$ πινάκων. Να βρεθούν όλες οι επί συναρτήσεις $f:\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \to \{0,1,\ldots,n\}$ οι οποίες ικανοποιούν $f(XY) \leqslant \min\{f(X),f(Y)\}$ για κάθε $X,Y \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .

Υ.Γ. Και αυτήν μάλλον την ξανασυζητήσαμε.

Nick1990 · #2

Για να εξιλεωθώ από την ανοησία που έγραψα στο 2, βάζω λύση εδώ:

Θα δείξουμε ότι η

παίρνει την ίδια τιμή σε κάθε 2 ισοδύναμους πίνακες. Πράγματι, αν $Y \sim X$ , τότε Y = AXB

για κατάλληλους A,B

αντιστρέψημους, οπότε:

$\displaystyle{f(Y) = f(AXB) \leq min\{f(A), f(XB)\} \leq f(XB) \leq min\{f(B),f(X)\} \leq f(X)}$

και αφού τότε είναι και $X \sim Y$ ομοίως προκύπτει και $f(X) \leq f(Y)$

Άρα f(X) = f(Y)

.

ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ: Κάθε $n \times n$ πίνακας είναι ισοδύναμος με ακριβώς έναν $n \times n$ πίνακα $J_k = \begin{pmatrix} I_k & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, 0 \leq k \leq n$

Με βάση τον παραπάνω ισχυρισμό, οι τιμές της

σε όλους τους $n \times n$ πίνακες είναι ακριβώς οι τιμές στους πίνακες J_k

, και πρέπει πάνω σε αυτούς η

να παίρνει όλες τις τιμές $\{0,1,...,n\}$ , ενώ ισχύει $J_kJ_{k+1} = j_{k} \forall k \in \{0,1,...,n-1\}$ , οπότε:
$f(J_k) = f(J_kj_{k+1}) \leq min\{f(J_k), f(J_{k+1})\} \leq f(J_{k+1})$
και αφού οι πίνακες J_k

είναι

το πλήθος, αυτό είναι εφικτό μόνο αν
$f(J_k) = k \forall k \in \{0,1,...,n\}$ .
Αυτό σε συνδιασμό με το ότι η

παίρνει την ίδια τιμή σε όλους τους ισοδύναμους πίνακες, μας λέει ότι πρέπει f(X) = rank(X)

για κάθε $n \times n$ πινάκα

, ενώ η συνάρτηση αυτή ικανοποιεί όλες τις υποθέσεις του προβλήματος (βλ. βασικές ιδιότητες βαθμού πίνακα).

Απόδειξη του Ισχυρισμού για την ισοδυναμία όλων των $n \times n$ πινάκων με κάποιον J_k

:

Έστω

πίνακας $n \times n$ με βαθμό

και έστω $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ η αντίστοιχη γραμμική απεικόνιση, έστω ακόμα $\{x_1, x_2, ..., x_{n-k}\}$ μια βάση του πυρίνα του που επεκτείνουμε σε μια βάση $x = \{x_1,...,x_n\}$ του $\mathbb{R}^n$ .
Είναι γνωστό και εύκολο να δειχτεί ότι $\{f(x_{n-k+1}), ... f(x_n)\}$ είναι μια βάση της εικόνας του

την οποία πάλι επεκτείνουμε σε μια βάση $v = \{v_1,...,v_{n-k}, f(x_{n-k+1}),...,f(x_n)\}$ του $\mathbb{R}^n$ .
Αν A,B

είναι οι αντιστρέψιμοι $n \times n$ πίνακες αλλαγής βάσης από την

στην κανονική, και από την κανονική στην

αντίστοιχα, τότε έχουμε
BXA = J_k

, καθώς και οι 2 πίνακες στέλνουν το τυχαίο στοιχείο της βάσης

γραμμένο ως προς αυτήν, στην εικόνα του μέσω της

γραμμένο ως προς
τη βάση

, οπότε τελειώσαμε.

SEEMOUS 2008/3

SEEMOUS 2008/3

Re: SEEMOUS 2008/3

Μέλη σε σύνδεση