SEEMOUS 2007/2

#1

Για $x = (x_1,\ldots,x_n)^T \in \mathbb{R}^n$ ορίζουμε $f(x) = \max\limits_{1 \leqslant i \leqslant n}|x_i|$ . Έστω

ένας $n \times n$ πραγματικός πίνακας ώστε f(Ax) = f(x)

για κάθε $x \in \mathbb{R}^n$ . Να δειχθεί ότι υπάρχει θετικός ακέραιος

ούτως ώστε ο A^m

να είναι ο ταυτοτικός πίνακας I_n

.

Υ.Γ. Στο αρχείο pdf από όπου πήρα την άσκηση δεν φαίνεται ξεκάθαρα αν το σώμα που δουλεύουμε είναι το $\mathbb{R}$ ή όχι, και δεν λέει ότι ο

είναι απαραίτητα πραγματικός. Νομίζω όμως πως αυτή η συνθήκη είναι απαραίτητη για την ισχύ της άσκησης.

peter · #2

Γράφουμε

για τον γραμμικό τελεστή που αντιστοιχεί στον πίνακα

. Επίσης, γράφουμε $\ell_\infty^n$ για τον $\mathbb R^n$ εφοδιασμένο με την supremum νόρμα $\|\cdot\|_\infty$ και $B_\infty^n$ για τη μοναδιαία μπάλα αυτού του χώρου, δηλαδή τον

-διάστατο κύβο [-1,1]^n

.

Η υπόθεση μας λέει ότι ο $T:\ell_\infty^n\to \ell_\infty^n$ είναι γραμμική ισομετρία (κι άρα επί). Σκοπός μας είναι να δείξουμε ότι υπάρχει $m\in \mathbb N$ ώστε ο T^m

να είναι ο ταυτοτικός. Παρατηρούμε το εξής:

Ισχυρισμός. Αν το

είναι κορυφή του $B_\infty^n$ (δηλαδή $v\in \{-1,1\}^n$ ), τότε το

είναι επίσης κορυφή.

Αν δεχθούμε το παραπάνω τότε τελειώσαμε: ο

είναι μετάθεση του συνόλου ${\cal V}=\{v \mid v\in \{-1,1\}^n\}$ των κορυφών του $B_\infty^n$ , άρα υπάρχει $m\leq 2^n$ ώστε ο T^m

να είναι η ταυτοτική μετάθεση, δηλαδή T^mv=v

για κάθε $v\in \{-1,1\}^n$ . Τότε, για κάθε $x\in B_\infty^n$ ισχύει T^mx=x

.

Πράγματι, αν $x\in B_\infty^n$ υπάρχει $k\in \mathbb N$ (μάλιστα $k\leq n+1$ ), $v_1,\ldots,v_k\in \{-1,1\}^n$ και $\lambda_1,\ldots,\lambda_k\geq 0$ με $\sum_{j=1}^k\lambda_j=1$ ώστε $x=\sum_{j=1}^k \lambda_j v_j$ . Έπεται ότι
$T^mx=T^m\left(\sum_{j=1}^k\lambda_jv_j\right)=\sum_{j=1}^k\lambda_j T^m(v_j)=\sum_{j=1}^k\lambda_j v_j=x$ , αφού ο T^m

δρα ταυτοτικά στο $\{-1,1\}^n$ .
Συμπεραίνουμε ότι T^m=I

.

Απόδειξη του ισχυρισμού. Έστω

κορυφή. Καθώς $\|Tv\|_\infty=\|v\|_\infty=1$ έπεται ότι το

κείται σε κάποια έδρα του κύβου. Αν δεν είναι κορυφή, τότε υπάρχουν $N\geq 2$ , $t_1,\ldots,t_N>0$ με $\sum_{j=1}^Nt_j=1$ και διακεκριμένες κορυφές $u_1,\ldots,u_N$ (απ' αυτές που βρίσκονται στην έδρα) ώστε $Τv=\sum_{j=1}^Nt_ju_j$ . Έπεται ότι $v=\sum_{j=1}^Nt_jw_j$ , όπου $w_j=T^{-1}(u_j)$ και $\|w_j\|_\infty=1$ . Δηλαδή έχουμε γράψει την κορυφή, ως (γνήσιο) κυρτό συνδυασμό τουλάχιστον δυο σημείων του κύβου. Καθώς, το

είναι ακραίο σημείο, έπεται ότι $v=w_1=\ldots=w_N$ κι έχουμε άτοπο.

Δημήτρη γνωρίζεις την προτεινόμενη λύση του διαγωνισμού;

#3

Πέτρο, πολύ ωραία λύση. Έχω να προτείνω κάτι λιγότερο εκλεπτυσμένο. Θα πάω ψάχνοντας για τον "προσδιορισμό" του $A=(a_{ij})$ .
Αν x=e_1,...,e_n

τότε παίρνουμε ότι $\max_{i} a_{ij}=1$ για κάθε j. Παίρνοντας τώρα για

τις γραμμές του

και τις στήλες (εκμεταλλεύομαι ότι $f(x)\leq 1$ και την παραπάνω) παίρνω ότι $n\leq\sum_{i,j} a_{ij}^2\leq n$
Άρα σε κάθε στήλη έχουμε ακριβώς ένα μη μηδενικό στοιχείο, με μέτρο 1. Αυτό σημαίνει ότι σε κάποια δύναμή του ο

έχει στοιχεία στη διαγώνιό του με μέτρο 1, άρα αυτή η δύναμη είναι ο ταυτοτικός.

peter · #4

Ωραίος Σιλουανέ. Κομψός και σύντομος!

SEEMOUS 2007/2

SEEMOUS 2007/2

Re: SEEMOUS 2007/2

Re: SEEMOUS 2007/2

Re: SEEMOUS 2007/2

Μέλη σε σύνδεση