SEEMOUS 2007/3

#1

Έστω σώμα

και συνάρτηση $P:F \times F \to F$ ώστε για κάθε $x_0 \in F$ η συνάρτηση P(x_0,y)

είναι πολυώνυμο στο

και για κάθε $y_0 \in F$ η συνάρτηση P(x,y_0)

είναι πολυώνυμο στο

. Αληθεύει ότι η

είναι απαραίτητα πολυώνυμο στα

και

όταν
(α) $F = \mathbb{Q}$ , το σώμα τον ρητών αριθμών,
(β) το

είναι ένα πεπερασμένο σώμα.
Να αποδειχθούν οι ισχυρισμοί σας.

#2

Δίνω την απάντηση που βρήκα:

(α) Δεν ισχύει. Έστω $q_1,q_2,\ldots$ μια απαρίθμηση των ρητών και έστω $\displaystyle{ P(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty}(x-q_1) \cdots (x-q_n)(y-q_1) \cdots (y-q_n).}$ Αν $y_0 \in \mathbb{Q}$ , έστω y = q_r

τότε $\displaystyle{ P(x,y_0) = \sum_{n=1}^{\infty}(x-q_1) \cdots (x-q_n)(q_r-q_1) \cdots (q_r-q_n) = \sum_{n=1}^{r-1}(x-q_1) \cdots (x-q_n)(q_r-q_1) \cdots (q_r-q_n)}$ το οποίο είναι πολυώνυμο στο

βαθμού (το πολύ) r-1

. Ομοίως αν $x_0 \in \mathbb{Q}$ τότε το P(x_0,y)

είναι πολυώνυμο στο

. Όμως το

δεν είναι πολυώνυμο στα x,y

. Πράγματι ας υποθέσουμε πως είναι. Τότε μπορούμε να το γράψουμε στην μορφή $P(x,y) = P_0(y) + P_1(y)x + \cdots + P_m(y)x^m$ για κάποιο θετικό ακέραιο

και κάποια πολυώνυμα $P_0,\ldots,P_m$ . Όμως τότε το $P(x,q_{m+2})$ είναι πολυώνυμο του

βαθμού το πολύ

, άτοπο αφού ο συντελεστής του $x^{m+1}$ του $P(x,q_{m+2})$ ισούται με $(q_{m+2}-q_1) \cdots (q_{m+2}-q_{m+1}) \neq 0$ .

(β) Ισχύει. Θα δείξουμε μάλιστα ότι κάθε συνάρτηση $P:F\times F \to F$ είναι πολυωνυμική. Πράγματι αν |F| =q

τότε υπάρχουν ακριβώς q^3

συναρτήσεις $P:F\times F \to F$ . (

επιλογές για την πρώτη μεταβλητή,

για την δεύτερη και

για την τιμή του

σε αυτές τις μεταβλητές.) Θεωρούμε τα πολυώνυμα $\displaystyle{ \sum_{n=0}^{q-1}\sum_{m=0}^{q-1}a_{m,n}x^my^n}$ για $a_{m,n} \in F$ . Υπάρχουν ακριβώς q^3

τέτοια πολυώνυμα. Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι οι πολυωνυμικές συναρτήσεις που ορίζουν είναι όλες διαφορετικές. Επειδή η διαφορά δυο πολυωνύμων αυτής της μορφής είναι πολυώνυμο της ίδιας μορφής αρκεί να δείξουμε ότι αν $\displaystyle{ \sum_{n=0}^{q-1}\sum_{m=0}^{q-1}a_{m,n}x^my^n = 0}$ για κάθε $x,y\in F$ τότε απαραίτητα $a_{m,n} = 0$ για κάθε m,n

. Για κάθε $y_0 \in F$ το πολυώνυμο $\displaystyle{\sum_{n=0}^{q-1}\sum_{m=0}^{q-1}a_{m,n}x^my_0^n}$ είναι βαθμού το πολύ q-1

και έχει ρίζες όλα τα

στοιχεία του

. Επειδή βρισκόμαστε σε σώμα αυτό είναι αδύνατον εκτός και αν το πολυώνυμο είναι ταυτοτικά 0. Δηλαδή για κάθε $y_0 \in F$ και κάθε $0 \leqslant n \leqslant q-1$ έχουμε ότι $\displaystyle{ \sum_{n=0}^{q-1}a_{m,n}y_0^n = 0.}$ Άρα κάθε ένα από τα πολυώνυμα $\displaystyle{P_m(y) = \sum_{n=0}^{q-1}a_{m,n}y^n}$ έχει ρίζες όλα τα

στοιχεία του

και με την ίδια απόδειξη όπως προηγουμένως βλέπουμε ότι κάθε ένα από τα P_m

είναι ταυτοτικά 0 και άρα όλα τα $a_{m,n}$ ισούνται με 0 όπως θέλαμε να δείξουμε.

SEEMOUS 2007/3

SEEMOUS 2007/3

Re: SEEMOUS 2007/3

Μέλη σε σύνδεση