IMC 1998/2/3

#1

Έστω

και έστω $\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \frac{x}{c} & \textnormal{\gr αν } x \in [0,c], \\ \frac{1-x}{1-c} & \textnormal{\gr αν } x \in [c,1].\end{cases}}$

Λέμε ότι το

είναι

-περιοδικό αν $\displaystyle{ \underbrace{f(f(\cdots f}_{n \, \textnormal{\gr φορές}}(x))) = x}$ και ο

είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος με αυτήν την ιδιότητα. Να δειχθεί ότι για κάθε $n \geqslant 1$ , το σύνολο των

-περιοδικών σημείων είναι πεπερασμένο και μη κενό.

#2

Επειδή $\displaystyle{f\left( 0 \right) = 0}$ και $\displaystyle{f\left( {\frac{1}{{2 - c}}} \right) = \frac{{1 - 1/\left( {2 - c} \right)}}{{1 - c}} = \frac{1}{{2 - c}}\quad \left( {\frac{1}{{2 - c}} > c} \right)}$ έχουμε ότι το σύνολο των $\displaystyle{1 - }$ περιοδικών σημείων είναι μη κενό.

Θεωρούμε το σύνολο των $\displaystyle{n + 1}$ στοιχείων $\displaystyle{{A_n} = \left\{ {{x_j} = \frac{{{c^{n - j}}}}{{1 + {c^n} - {c^{n + 1}}}}:j = 0,1,..,n} \right\}}$ . Τότε επειδή $\displaystyle{c \in \left( {0,1} \right)}$ θα έχουμε

$\displaystyle{{x_0} = \frac{{{c^n}}}{{1 + {c^n} - {c^{n + 1}}}} < \frac{{{c^{n - 1}}}}{{1 + {c^n} - {c^{n + 1}}}} < .. < \frac{1}{{1 + {c^n} - {c^{n + 1}}}} = {x_n}}$ , δηλαδή η ακολουθία $\displaystyle{{x_n}}$ είναι αύξουσα και επιπλέον ισχύει $\displaystyle{{x_n} = \frac{1}{{1 + {c^n} - {c^{n + 1}}}} > c}$

ενώ $\displaystyle{{x_{n - 1}} = \frac{c}{{1 + {c^n} - {c^{n + 1}}}} < c}$ (στοιχειώδεις πράξεις), που σημαίνει $\displaystyle{{x_0},\;{x_1},\;..,\;{x_{n - 1}} < c}$ και $\displaystyle{{x_n} > c}$ .

Τότε $\displaystyle{f\left( {{x_0}} \right) = \frac{{{x_0}}}{c} = {x_1}\;,\;f\left( {{x_1}} \right) = \frac{{{x_1}}}{c} = {x_2}\;,\;f\left( {{x_{n - 1}}} \right) = \frac{{{x_{n - 1}}}}{c} = {x_n}}$ και $\displaystyle{f\left( {{x_n}} \right) = \frac{{1 - {x_n}}}{{1 - c}} = \frac{{1 - \dfrac{1}{{1 + {c^n} - {c^{n + 1}}}}}}{{1 - c}} = .. = \frac{{{c^n}}}{{1 + {c^n} - {c^{n + 1}}}} = {x_0}}$

Δηλαδή $\displaystyle{\underbrace {f\left( {f\left( {f\left( {} \right...f\left( {{x_0}} \right)} \right)} \right)}_{n:times} = {x_0}}$ , επομένως για κάθε $\displaystyle{n \geqslant 1}$ το σύνολο των $\displaystyle{n - }$ περιοδικών αριθμών είναι μη κενό, και μάλιστα περιέχει τουλάχιστον $\displaystyle{n + 1}$ στοιχεία,

τα $\displaystyle{{x_j} = \frac{{{c^{n - j}}}}{{1 + {c^n} - {c^{n + 1}}}}:j = 0,1,..,n}$ (δεν ξέρω, πιθανόν να περιέχει κι’ άλλα).

Έστω ότι υπάρχει $\displaystyle{n \in N:}$ ώστε το σύνολο των $\displaystyle{n - }$ περιοδικών αριθμών να είναι απέραντο. Επειδή είναι φραγμένο σε συμπαγές διάστημα, (είναι στοιχεία του διαστήματος $\displaystyle{\left[ {0\;,\;1} \right]}$ ) τότε θα έχει ένα τουλάχιστον σημείο συσσώρευσης $\displaystyle{{x_\sigma }}$ , (που κατά τετριμμένο τρόπο δεν θα είναι ο αριθμός $\displaystyle{c}$ ). Επομένως σε κάποια περιοχή του σημείου $\displaystyle{{x_\sigma }}$ η συνάρτηση $\displaystyle{y\left( x \right) = \underbrace {f\left( {f\left( {f\left( {} \right...f\left( x \right)} \right)} \right)}_{n:times}}$ θα είναι παραγωγίσιμη και θα ταυτίζεται σε άπειρες θέσεις με την συνάρτηση $\displaystyle{\varphi \left( x \right) = x}$ , επομένως (σύμφωνα με κάποιο θεώρημα που δεν θυμάμαι πως λέγεται), θα ισχύει $\displaystyle{\varphi \left( x \right) = y\left( x \right)}$ , δηλαδή $\displaystyle{\underbrace {f\left( {f\left( {f\left( {} \right...f\left( x \right)} \right)} \right)}_{n:times} = x}$ , για κάθε $\displaystyle{x}$ σε κάποια περιοχή του $\displaystyle{{x_\sigma }}$ , γεγονός που δεν μπορεί να συμβαίνει λόγω της δοθείσας Μαθηματικής έκφρασης της συνάρτησης $\displaystyle{f\left( x \right)}$ , καθώς και της μονοτονίας των δυο κλάδων της $\displaystyle{f\left( x \right)}$ .

Επομένως τα σύνολα των $\displaystyle{n-}$ περιοδικών στοιχείων, με $\displaystyle{n \geqslant 1}$ , είναι μη κενά και πεπερασμένα.

#3

Σεραφείμ, μάλλον εννοείς το identity theorem. Θέλει επιπλέον η συνάρτηση να είναι μιγαδικώς παραγωγίσιμη σε αυτήν την περιοχή (το οποίο ισχύει).

Δεν βλέπω όμως γιατί δεν θα ισχύει y(x) = x

για κάθε

σε αυτό το διάστημα. H

θα είναι γραμμική σε αυτό το διάστημα αλλά δεν πρέπει να πούμε κάτι για την κλίση;

Τώρα που το ξαναβλέπω επαγωγικά (με κανόνα αλυσίδας) βλέπουμε ότι η κλίση είναι μεγαλύτερη του 1. Δεν ξέρω αν αυτό είχες υπόψη ή κάτι πιο απλό.

#4

Demetres έγραψε:Σεραφείμ, μάλλον εννοείς το identity theorem. Θέλει επιπλέον η συνάρτηση να είναι μιγαδικώς παραγωγίσιμη σε αυτήν την περιοχή (το οποίο ισχύει).

Δεν βλέπω όμως γιατί δεν θα ισχύει για κάθε σε αυτό το διάστημα. H θα είναι γραμμική σε αυτό το διάστημα αλλά δεν πρέπει να πούμε κάτι για την κλίση;

Τώρα που το ξαναβλέπω επαγωγικά (με κανόνα αλυσίδας) βλέπουμε ότι η κλίση είναι μεγαλύτερη του 1. Δεν ξέρω αν αυτό είχες υπόψη ή κάτι πιο απλό.

Νομίζω ότι πεπερασμένη σύνθεση (καθ' οιονδήποτε τρόπο) των δυο Μαθηματικών εκφράσεων του τύπου της $\displaystyle{f(x)}$ δεν μπορεί να δώσει ευθεία με κλίση ίση με $\displaystyle{1}$ . Ίσως πρέπει να αναλυθεί καλύτερα όμως.

Edit: Όντως έχεις δίκιο Δημήτρη, κάθε σύνθεση (όποια κι αν είναι) αυξάνει απολύτως την κλίση, με τελική κατάληξη $\displaystyle{\left| \lambda \right| > 1}$ .. επίσης πράγματι στο Identity Theorem αναφερόμουν .. που απαιτεί να έχουμε Αναλυτική Μιγαδική συνάρτηση ..

IMC 1998/2/3

IMC 1998/2/3

Re: IMC 1998/2/3

Re: IMC 1998/2/3

Re: IMC 1998/2/3

Μέλη σε σύνδεση