IMC 2012/2/1

#1

Θεωρούμε το πολυώνυμο $\displaystyle{f(x)=x^{2012}+a_{2011}x^{2011}+\dots+a_1x+a_0.}$

Ο Albert Einstein και ο Homer Simpson παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι. Με τη σειρά, επιλέγουν ένα συντελεστή $a_0,a_1,\dots,a_{2011}$ και του δίνουν μια πραγματική τιμή. Ο Albert παίζει πρώτος. Κάθε συντελεστής δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί δεύτερη φορά. Το παιχνίδι τελειώνει όταν έχουν δοθεί τιμές σε όλους τους συντελεστές.
Ο στόχος του Homer είναι να κάνει το f(x)

να διαιρείται από ένα καθορισμένο πολυώνυμο m(x)

και του Albert να το αποτρέψει.
(α) Ποιος από τους δύο έχει στρατηγική νίκης αν m(x)=x-2012

;
(b) Ποιος αν m(x)=x^2+1

;

#2

Και στις δύο περιπτώσεις κερδίζει ο Όμηρος (αρκεί να παίξει σωστά).

(α) Θέλουμε να επιλεχθούν τα a_i

με τέτοιο τρόπο ώστε f(2012) = 0

. Ο Όμηρος παίζει τελευταίος οπότε αν στην τελευταία του κίνηση έχει να επιλέξει το a_k

επιλέγει $\displaystyle{a_k = -\frac{1}{2012^k}\left(2012^{2012} + \sum_{i \neq k}a_i(2012)^i \right)}$

(β) Επειδή επιλέγουμε πραγματικούς πρέπει και αρκεί να ισχύει f(i) = 0

. Θέλουμε λοιπόν να ικανοποιούνται οι εξισώσεις $\displaystyle{ a_0 + a_4 + \cdots + a_{2008} + 1 = a_2 + a_6 \cdots + a_{2010}}$ και $a_1 + a_5 + \cdots + a_{2009} = a_3 + a_7 + \cdots + a_{2011}$ . Ο Όμηρος χωρίς τους συντελεστές στα ζεύγη $\{a_k,a_{k+2}\}$ για $k \equiv 0,1 \bmod 4$ . Κάθε φορά που ο Αλβέρτος επιλέγει τον ένα από αυτούς ο Όμηρος επιλέγει στην αμέσως επόμενη κίνηση τον άλλο με ακριβώς την ίδια τιμή. Μόνη εξαίρεση το ζεύγος $\{a_0,a_2\}$ όπου ο Όμηρος κάνει τέτοια επιλογή ώστε a_0 + 1 = a_2

.

Σχετικά εύκολη και αυτή νομίζω. Μόνο προσοχή θέλει στο (α). Η πρώτη σκέψη που έκανα ήταν ότι κερδίζει ο Αλβέρτος επιλέγοντας a_0=1

. Τότε θα είχαμε $f(2012) \equiv 1 \not \equiv 0 \bmod 2012$ . Μετά διάβασα πιο προσεκτικά πως οι συντελεστές είναι πραγματικοί, είπα ένα d'oh και προχώρησα στην σωστή λύση.

IMC 2012/2/1

IMC 2012/2/1

Re: IMC 2012/2/1

Μέλη σε σύνδεση