Euler Competition 2016/3

#1

Έστω θετικοί ακέραιοι a,b,c,d

με

. Να δειχθεί ότι ο a+b+c+d

είναι σύνθετος αριθμός.

gavrilos · #2

Καλημέρα.

Ας υποθέσουμε ότι a+b+c+d=p

όπου

πρώτος.

Τότε $(a+b)^2=(p-c-d)^2\Rightarrow a^2+b^2+2ab=p^2-2p(c+d)+c^2+d^2+2cd\Rightarrow$

$c^2+d^2-a^2-b^2=p(p-2c-2d)\Rightarrow$ .

$\Rightarrow (c-a)(p-b-d)+(d-b)(b+d)=p(p-2c-2d)\Rightarrow$

$\Rightarrow(b+d)(d-b+a-c)+p(c-a)=p(p-c-d)\Rightarrow$

$\Rightarrow p\mid (b+d)(d-b+a-c)$ .

Προφανώς $p\nmid b+d$ αφού ο b+d

είναι θετικός και μικρότερός του.Άρα $p\mid d+a-b-c$ .Ισχύει |d+a-b-c|<p

,άρα θα πρέπει d+a-b-c=0

,

το οποίο όμως είναι άτοπο,αφού τότε ο

θα ήταν άρτιος,άρα θα ήταν ίσος με

,αδύνατο.

#3

viewtopic.php?f=111&t=35057

Παρόμοιο είναι το ΙΜΟ 2001/6
http://artofproblemsolving.com/communit ... 474p119217

Euler Competition 2016/3

Euler Competition 2016/3

Re: Euler Competition 2016/3

Re: Euler Competition 2016/3

Μέλη σε σύνδεση