IMC 1994/1/4

#1

Έστω $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ και έστω γραμμικοί τελεστές $F,G:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ οι οποίοι ικανοποιούν την σχέση $\displaystyle{ F \circ G - G \circ F = \alpha F}$

(α) Να δειχθεί ότι για κάθε $k \in \mathbb{N}$ ισχύει η σχέση $\displaystyle{ F^k \circ G - G \circ F^k = \alpha k F^k}$

(β) Να δειχθεί ότι υπάρχει $k \geqslant 1$ ώστε F^k = 0

.

dement · #2

Έστω $F^k G - G F^k = \alpha k F^k$ .

Τότε ισχύει $F^{k+1}G = F^kGF + F^k (FG - GF) = F^kGF + \alpha F^{k+1} =$

$= G F^k F + \alpha k F^k F + \alpha F^{k+1} = G F^{k+1} + \alpha (k+1) F^{k+1}$ . Αφού ισχύει για k=1

η επαγωγική απόδειξη είναι πλήρης.

Στους αντίστοιχους πίνακες F, G

βλέπουμε ότι $0 = \mathrm{Tr}(F^k G - G F^k) = \alpha k \cdot \mathrm{Tr}(F^k)$ . Αφού $\mathrm{Tr}(F^k) = 0$ για κάθε $k \in \mathbb{N}^*$ ο

είναι μηδενοδύναμος.

#3

Ωραία. Διαφορετικά για το (β) από την επίσημη λύση:

Ο τελεστής $A \mapsto A \circ G - G \circ A$ είναι γραμμικός. Εφόσον δρα στο σύνολο των $n \times n$ πινάκων θα έχει το πολύ n^2

διαφορετικές ιδιοτιμές. Αν όμως $F^k \neq 0$ για κάθε

, τότε ο τελεστής θα είχε τις άπειρες ιδιοτιμές $\alpha,2\alpha,\ldots$ , άτοπο.

IMC 1994/1/4

IMC 1994/1/4

Re: IMC 1994/1/4

Re: IMC 1994/1/4

Μέλη σε σύνδεση