IMC 1994/2/4

#1

Έστω

ένας $n \times n$ διαγώνιος πίνακας με χαρακτηριστικό πολυώνυμο

$\displaystyle{ (x-c_1)^{d_1}(x-c_2)^{d_2} \cdots (x-c_k)^{d_k}}$

με τα $c_1,\ldots,c_k$ να είναι διακεκριμένα.

'Έστω

ο χώρος όλων των πινάκων

οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση AB = BA

. Να δειχθεί ότι η διάσταση του

ισούται με

$\displaystyle{ d_1^2 + \cdots + d_k^2}$

Γιάννης Ι. · #2

Να αναφέρουμε πως το αποτέλεσμα γενικεύεται εύκολα για έναν οποιονδήποτε διαγωνοποιήσιμο πίνακα.(Διαγωνοποιώντας τον

στην σχέση AB=BA

απεικονίζουμε τον

σε έναν χώρο

μέσω ενός αυτομορφισμού έτσι dim V= dim V'

).

Xωρίς βλάβη γενικότητας στα όσα ακολουθούν θα υποθέσω ότι οι πίνακες έχουν συντελεστές μέσα στο $\mathbb{R}$ .Επιστρέφοντας στο αρχικό πρόβλημα, έχουμε ότι AB=BA

αν και μόνο αν ο

αφήνει αναλλοίωτους τους ιδιοχώρους του

. Όντως, αν το

είναι ένα τυχαίο ιδιοδιάνυσμα του

που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

:
$AB=BA\Rightarrow A(Bx)=c\cdot Bx\Rightarrow (Bx)\in Ker(A-cI)$
Aντιστρόφως, εφόσον ο

είναι διαγώνιος υπάρχει μια βάση $(e_{1}, ...,~ e_{n})$ του $\mathbb{R}^n$ που αποτελείται από ιδιοδιανύσματά του. Aν οι αντίστοιχες ιδιοτιμές τους είναι $(c_{1}, ...,~ c_{n})$ και καθένα από αυτά απεικονίζεται από τον

σε ιδιοδιάνυσμα του

με την ίδια ιδιοτιμή, τότε για τυχαίο $x=\sum _{ l=1 }^{ k }{ m_{ l }e_{ l } }$ , με $m_{1},..., m_{n} \in \mathbb{R}$ έχουμε:
$\displaystyle{BAx=BA(\sum _{ l=1 }^{ n }{ m_{ l }e_{ l }) } =B(\sum _{ l=1 }^{ n }{ m_{ l }c_{ l }e_{ l }) } =\sum _{ l=1 }^{ n }{ m_{ l }c_{ l }(Be_{ l }) }=\sum _{ l=1 }^{ n }{ m_{ l }A(Be_{ l }) }=ABx}$ .

Από τα παραπάνω, μπορούμε να κατασκευάσουμε τους πίνακες του χώρου

συμπληρώνοντας τα στοιχεία των οποίων οι θέσεις αντιστοιχούν στους ιδιοχώρους του

(τα υπόλοιπα είναι μηδενικά). Έτσι, έχουμε την διάσταση του

που είναι ίση με το πλήθος των "ελεύθερων" στοιχείων, που είναι ${ d }_{ 1 }^{ 2 }+...+{ d }_{ k }^{ 2 }$ (ένα σχήμα εδώ θα βοηθούσε αλλά δεν κατάφερα να το κάνω).

IMC 1994/2/4

IMC 1994/2/4

Re: IMC 1994/2/4

Μέλη σε σύνδεση