MIPT 2017/4

Al.Koutsouridis · #1

Έστω

συμπαγές υποσύνολο του ευκλείδειου χώρου και $f : K \mapsto K$ απεικόνιση, τέτοια ώστε $\Displaystyle{\left |f(x)-f(y) \right | \geq \left |x-y \right |}$ για οποιαδήποτε $x,y \in K$ . Να αποδείξετε, ότι κάθε σημείο $x \in K$ είναι σημείο συσσωρεύσεως της ακολουθίας $(f^{n}(x))_{n}$ , όπου

$f^{n}(x) = \underset{n}{\underbrace{f(f(…f(x)…)}}$ .

Γ.-Σ. Σμυρλής · #2

Ἀντιπαράδειγμα. Ἔστω Α,Β,Γ,Δ κορυφές κανονικοῦ τετραέδρου, $K=\{A,B,\Gamma,\Delta\}$ συμπαγές, καὶ

, ὥστε
$\displaystyle{ f(A)=B,\, f(B)=A,\, f(\Gamma)=\Delta,\, f(\Delta)=\Gamma, }$ καὶ ἄρα

συνεχής, ἐνῶ
$\displaystyle{ |f(x)-f(y)|=|x-y|, }$ διὰ κάθε $x,y\in\{A,B,\Gamma,\Delta\}$ .

#3

Γιώργο, πρέπει να εννοεί accumulation point. Δηλαδή να υπάρχει υπακολουθία που να έχει το

ως όριο. Έτσι είναι σωστό. Δεν ξέρω ποιος είναι ο κατάλληλος όρος στα Ελληνικά.

Αλέξανδρε, πρέπει να αλλάξει και το «συμπαγής υποχώρος» σε «συμπαγές υποσύνολο».

Επεξεργασία: Μάλλον accumulation point = σημείο συσσωρεύσεως

Γ.-Σ. Σμυρλής · #4

Ἐξακολουθῶ νὰ μὴν ἔχω καταλάβει τὴν ἐκφώνηση.

#5

Διορθώνω στο πως το έχω κατανοήσει. Δεν είμαι 100% σίγουρος αν είναι όντως έτσι αλλά τουλάχιστον είναι σωστό.

Έστω ένα συμπαγές υποσύνολο του ευκλειδείου χώρου και έστω συνάρτηση $f: K \to K$ ώστε $\| f(x) - f(y)\| \geqslant \|x-y\|$ για κάθε $x,y \in K$ . Να δειχθεί ότι για κάθε $x \in K$ , το είναι σημείο συσσωρεύσεως της ακολουθίας $(f^{n}(x))_{n}$ , όπου

$f^{n}(x) = \underset{n}{\underbrace{f(f(…f(x)…)}}$ .

Γ.-Σ. Σμυρλής · #6

Τὸ ἀντιπαράδειγμά μου δείχνει ὅτι δὲν ἰσχύει αὐτὸ ποὺ λέει ἡ ἐκφώνηση αὐτή.

Al.Koutsouridis · #7

Demetres έγραψε:Γιώργο, πρέπει να εννοεί accumulation point. Δηλαδή να υπάρχει υπακολουθία που να έχει το ως όριο. Έτσι είναι σωστό. Δεν ξέρω ποιος είναι ο κατάλληλος όρος στα Ελληνικά.

Αλέξανδρε, πρέπει να αλλάξει και το «συμπαγής υποχώρος» σε «συμπαγές υποσύνολο».

Επεξεργασία: Μάλλον accumulation point = σημείο συσσωρεύσεως

Με συγχωρείτε για την ταλαιπωρία. Ναι όπως τα λέει ο κ.Δημήτρης παραπάνω είναι. Συμπαγές υποσύνολο και σημείο συσσωρεύσεως (accumulation point). Διόρθωσα και την αρχική ανάρτηση.

#8

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:Ἀντιπαράδειγμα. Ἔστω Α,Β,Γ,Δ κορυφές κανονικοῦ τετραέδρου, $K=\{A,B,\Gamma,\Delta\}$ συμπαγές, καὶ , ὥστε
$\displaystyle{ f(A)=B,\, f(B)=A,\, f(\Gamma)=\Delta,\, f(\Delta)=\Gamma, }$ καὶ ἄρα συνεχής, ἐνῶ
$\displaystyle{ |f(x)-f(y)|=|x-y|, }$ διὰ κάθε $x,y\in\{A,B,\Gamma,\Delta\}$ .

Έχουμε $(f^n(A)) = (A,B,A,B,\ldots)$ το οποίο έχει σημείο συσσωρεύσεως / όριο υπακολουθίας και το

. Ομοίως και για τα υπόλοιπα. Οπότε δεν είναι αντιπαράδειγμα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

Al.Koutsouridis έγραψε:Έστω συμπαγές υποσύνολο του ευκλείδειου χώρου και $f : K \mapsto K$ απεικόνιση, τέτοια ώστε $\Displaystyle{\left |f(x)-f(y) \right | \geq \left |x-y \right |}$ για οποιαδήποτε $x,y \in K$ . Να αποδείξετε, ότι κάθε σημείο $x \in K$ είναι σημείο συσσωρεύσεως της ακολουθίας $(f^{n}(x))_{n}$ , όπου

$f^{n}(x) = \underset{n}{\underbrace{f(f(…f(x)…)}}$ .

Ειναι γνωστό ότι προκύπτει $\Displaystyle{\left |f(x)-f(y) \right | =\left |x-y \right |}$
Το έχουμε ξαναδεί αλλά που;(μάλιστα σε μετρικούς χώρους)
Εστω $x\in K$

Αν υπάρχει $m\in \mathbb{N}$ με $f^{m}(x)=x$ δεν έχουμε να δείξουμε τίποτα γιατί

$k\in \mathbb{N}\Rightarrow f^{km}(x)=x$

Υποθέτουμε ότι $n\in \mathbb{N}\Rightarrow f^{n}(x)\neq x$

Εστω $a=inf\left \{ \left | f^{n}(x)-x \right |:n\in \mathbb{N} \right \}$

Θα δείξουμε ότι το a>0

οδηγεί σε άτοπο.

Επειδή είμαστε σε συμπαγές η ακολουθία $f^{n}(x)$ έχει συγκλίνουσα υπακολουθία .

Υπάρχουν $k,m\in \mathbb{N}$ με $\left | f^{k}(x)-f^{m}(x) \right |< \frac{a}{2}$

Προκύπτει ότι $\left | f^{k-m}(x)-x \right |< \frac{a}{2}$ που είναι ΑΤΟΠΟ.

Αρα a=0

και είμαστε εντάξει γιατί μπορούμε να βρούμε $f^{k_{n}}(x)\rightarrow x$

Φυσικά το αποτέλεσμα ισχύει σε μετρικούς χώρους.

Tolaso J Kos · #10

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Το έχουμε ξαναδεί αλλά που;(μάλιστα σε μετρικούς χώρους)

Σταύρο μάλλον αυτό λες ...

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #11

Tolaso J Kos έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Το έχουμε ξαναδεί αλλά που;(μάλιστα σε μετρικούς χώρους)
Σταύρο μάλλον αυτό λες ...

Ναι αυτό.Σε ευχαριστώ.

#12

Η δική μου απόδειξη για το θέμα είναι ουσιαστικά η ίδια με του Σταύρου μόνο που δεν χρησιμοποιεί το ισχυρό αποτέλεσμα που χρησιμοποίησε ο Σταύρος. Δεν χρειάζεται διότι η ανισότητα

$|f^{k-m}(x)-x| \leqslant |f^k(x) - f^m(x)|$

αποδεικνύεται επαγωγικά από την δεδομένη συνθήκη.

MIPT 2017/4

MIPT 2017/4

Re: MIPT 2017/4

Re: MIPT 2017/4

Re: MIPT 2017/4

Re: MIPT 2017/4

Re: MIPT 2017/4

Re: MIPT 2017/4

Re: MIPT 2017/4

Re: MIPT 2017/4

Re: MIPT 2017/4

Re: MIPT 2017/4

Re: MIPT 2017/4

Μέλη σε σύνδεση