IMC 2017/2/2

#1

Έστω μη σταθερό πραγματικό πολυώνυμο p(x)

. Για κάθε θετικό ακέραιο

, ορίζουμε

$\displaystyle{q_n(x) = (x+1)^np(x)+x^n p(x+1).}$

Να δειχθεί ότι υπάρχουν πεπερασμένοι θετικοί ακέραιοι

ώστε όλες οι ρίζες του q_n(x)

να είναι πραγματικές.

#2

Χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι το p(x)

είναι μονικό.

Γράφουμε $p(x) = x^m + ax^{m-1} + bx^{m-2} + \cdots$ . [Επιτρέπεται m=1

. Σε αυτήν την περίπτωση είναι b=0

.]

Υπολογίζουμε τώρα τους τρεις μεγιστοβάθμιους όρους του q_n(x)

. Μετά από πράξεις, είναι οι:

$\displaystyle{ 2x^{m+n} + (2a+n+m)x^{m+n-1} + [b + an + \binom{n}{2} + \binom{m}{2} + a(m-1) + b]x^{m+n-2}}$

Επομένως, παραγωγίζοντας n+2

φορές, έχουμε

$\displaystyle{ \begin{aligned} q_n^{(n+m-2)}(x) = (m&+n)!x^2 + (m+n-1)!(2a+n+m)x \\ &+ (m+n-2)!\left[b + an + \binom{n}{2} + \binom{m}{2} + a(m-1) + b\right] \end{aligned}}$

Η διακρίνουσά του ισούται με

$\displaystyle{\begin{aligned} (n+m+2)^2\Bigg[(m&+n-1)^2(2a+n+m)^2 \\ &- 4(m+n)(m+n-1)\left[b + an + \binom{n}{2} + \binom{m}{2} + a(m-1) + b\right]\Bigg] \end{aligned}}$

Για μεγάλα

η διακρίνουσα είναι αρνητική. Πράγματι μέσα στην μεγάλη παρένθεση έχουμε ένα πολυώνυμο στο

τετάρτου βαθμού με συντελεστή του n^4

ίσο με $1 - 4\cdot(1/2) = -1$ . Επειδή τα a,b,m

είναι σταθερά, ο ισχυρισμός έπεται.

Άρα για

αρκετά μεγάλο, το $q_n^{(m+n-2)}(x)$ δεν έχει πραγματικές ρίζες. Οπότε το $q_n^{(m+n-3)}(x)$ θα έχει το πολύ μία πραγματική ρίζα και επαγωγικά το q_n(x)

θα έχει το πολύ n+m-2

πραγματικές ρίζες. Δηλαδή θα έχει τουλάχιστον δύο μιγαδικές ρίζες.

Χρησιμοποιήσαμε το δεδομένο ότι αν το πραγματικό πολυώνυμο

έχει

ρίζες, τότε η παράγωγός του f'(x)

θα έχει τουλάχιστον k-1

ρίζες.

IMC 2017/2/2

IMC 2017/2/2

Re: IMC 2017/2/2

Μέλη σε σύνδεση