Επίλυση πολυωνυμικής ανίσωσης τρίτου βαθμού!

solon28 · #1

Μπορεί κάποιος να με βοηθήσει να λύσω την παρακάτω ανίσωση;

$7x^{3}-11x+1\geq 0$

Ευχαριστώ!

mathxl · #2

Στην σελίδα 85 του βιβλίου της γ΄λυκείου κατεύθυνσης έχει τους τύπους για τις λύσεις και την "διακρίνουσα"

solon28 · #3

Χρησιμοποιώντας τους τύπους που λες στη σελίδα 85 που λές η D βγαίνει αρνητική!!!!!

solon28 · #4

Βρε παιδιά ΕΛΕΟΣ μια λύση δεν μπορεί να δώσει κανείς;

mathxl · #5

Σόλωνα δες λίγο πιο προσεκτικά τους τύπυς
D= 1/49(121/4-1/9)>0
πρώτα πρέπει να λύσεις ως προς χ^3

solon28 · #6

Σύμφωνα με τους τύπους σελ 85 η εξίσωση, $7x^{3}-11x+1=0$ γράφεται:
$x^{3}=\frac{11}{7}x-\frac{1}{7}$ , οπότε p = 11/7 και q = - 1/7. Άρα η $D=\left(\frac{q}{2} \right)^{2}-\left(\frac{p}{3} \right)^{2}$ βγαίνει αρνητική!!!!

#7

Δές: Cubic function

μετά από γρήγορη αντικατάσταση $\Delta=-4\,{b}^{3}d+{b}^{2}{c}^{2}-4\,a{c}^{3}+18\,abcd-27\,{a}^{2}{d}^{2}=35945>0$

Υ.Γ. Από τό "ευχαριστώ" έως τό "έλεος" είναι μεγάλη απόσταση! (φιλικότατα)

solon28 · #8

grigkost έγραψε:Δές: Cubic function

μετά από γρήγορη αντικατάσταση $\Delta=-4\,{b}^{3}d+{b}^{2}{c}^{2}-4\,a{c}^{3}+18\,abcd-27\,{a}^{2}{d}^{2}=35945>0$

Υ.Γ. Από τό "ευχαριστώ" έως τό "έλεος" είναι μεγάλη απόσταση! (φιλικότατα)

Οκ το σέβομαι αυτό που λέτε αλλά όταν αναγκάζεται κανείς να γράφει ποστ από τις 4 το μεσημέρι μέχρι τώρα και σε δύο διαφορετικά ποστ, και κανείς δεν δίνει μια χειροπιαστή λύση ε τότε η απόσταση από το ευχαριστώ ως το έλεος μικραίνει είναι λίγο μικρότερη!!!(φιλικότατα!)

mathxl · #9

Συγνώμη Σόλωνα μπέρδεψα τα p και q, έχεις δίκιο
Καλύτερα είναι να χρησιμοποιήσεις τον σύνδεσμο του Γρηγόρη (πρέπει να είναι ίδιος με αυόν που δίνω- έκανα ένα γρήγορο ψάξιμο me google για το παλικάρι που το λένε Cardano)http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation

#10

Φίλε Σόλων
'Οπως, σίγουρα, θα έχεις αντιληφθεί. εδώ στο mathematica όλα στηρίζονται στην εθελοντική προσφορά. Ο καθένας δίνει ότι, όταν και όπως μπορεί και ο καθένας μας παίρνει ότι του δίνουν. Κανένας δεν υποχρεούται να δίνει και επομένως ο καθένας λαμβάνει ότι προκύψει. Το mathematica δεν είναι μία εγκυκλοπαίδεια παραγωγής απαντήσεων. Είναι τόπος συνάντησης και συζήτησης. 'Οποιο μέλος μας νοιώθει δυσαρεστημένο γιατί δεν πήρε μία απάντηση τότε και όπως την ήθελε ας αναρρωτηθεί πόσες φορές έδωσε σε άλλο μέλος μία απάντηση τότε και όπως, το άλλο μέλος, την ήθελε.
Μαυρογιάννης

solon28 · #11

Λυπάμαι, αλλά δεν προλαβαίνω να απαντήσω, προσπαθώ να λύσω την άσκηση από τις 4 το μεσημέρι και επιτέλους τα κατάφερα!!!Τελικά είναι καλύτερο να εμπιστεύεσαι τις δικές δυνάμεις! (ΦΙΛΙΚΟΤΑΤΑ)

#12

nsmavrogiannis έγραψε:Φίλε Σόλων
'Οπως, σίγουρα, θα έχεις αντιληφθεί. εδώ στο mathematica όλα στηρίζονται στην εθελοντική προσφορά. Ο καθένας δίνει ότι, όταν και όπως μπορεί και ο καθένας μας παίρνει ότι του δίνουν. Κανένας δεν υποχρεούται να δίνει και επομένως ο καθένας λαμβάνει ότι προκύψει. Το mathematica δεν είναι μία εγκυκλοπαίδεια παραγωγής απαντήσεων. Είναι τόπος συνάντησης και συζήτησης. 'Οποιο μέλος μας νοιώθει δυσαρεστημένο γιατί δεν πήρε μία απάντηση τότε και όπως την ήθελε ας αναρρωτηθεί πόσες φορές έδωσε σε άλλο μέλος μία απάντηση τότε και όπως, το άλλο μέλος, την ήθελε.
Μαυρογιάννης

επικροτώ και επαυξάνωΦΙΛΙΚΟΤΑΤΑ Χρήστος

#13

Kαλή σας μέρα
Βρήκα στα προσωπικά μου μηνύματα το παρακάτω μήνυμα:

solon28 έγραψε:Θέμα: Επίλυση πολυωνυμικής ανίσωσης τρίτου βαθμού!
nsmavrogiannis έγραψε:Φίλε Σόλων
'Οπως, σίγουρα, θα έχεις αντιληφθεί. εδώ στο mathematica όλα στηρίζονται στην εθελοντική προσφορά. Ο καθένας δίνει ότι, όταν και όπως μπορεί και ο καθένας μας παίρνει ότι του δίνουν. Κανένας δεν υποχρεούται να δίνει και επομένως ο καθένας λαμβάνει ότι προκύψει. Το mathematica δεν είναι μία εγκυκλοπαίδεια παραγωγής απαντήσεων. Είναι τόπος συνάντησης και συζήτησης. 'Οποιο μέλος μας νοιώθει δυσαρεστημένο γιατί δεν πήρε μία απάντηση τότε και όπως την ήθελε ας αναρρωτηθεί πόσες φορές έδωσε σε άλλο μέλος μία απάντηση τότε και όπως, το άλλο μέλος, την ήθελε.
Μαυρογιάννης
Πάντως απο το να λέτε τις απόψεις σας θα μπορούσατε να βοηθήσετε στην επίλυση της ανίσωσης! Αλλά στην Ελλάδα αυτό μας τρώει η αμπελοφιλοσοφία! Κοιτάζουμε το δέντρο και χάνουμε το δάσος! Δεν πειράζει να είστε καλά!Καλή καρδιά!

το οποίο υπήρξε αφορμή για όσα θα γράψω ακολουθώντας, έστω και καθυστερημένα, την συμβουλή:

solon28 έγραψε: Πάντως απο το να λέτε τις απόψεις σας θα μπορούσατε να βοηθήσετε στην επίλυση της ανίσωσης!

Βέβαια οι συνάδελφοι Βασίλης Μαυροφρύδης και Γρηγόρης Κωστάκος σε προηγούμενα μηνύματα τους έδωσαν επαρκέστατες πληροφορίες και κατευθύνσεις που μπορούσαν να οδηγήσουν στην απάντηση. Δεν έδωσαν βέβαια την λύση στο "πιάτο". Ανάμεσα στις υποδείξεις και στην απάντηση παρεμβάλλεται κάποια υπολογιστική εργασία, κάποιο χαμαλίκι, που απαιτεί χρόνο που ίσως εκείνη την στιγμή δεν περίσσευε από κανένα. Η δουλειά γίνεται από τον ενδιαφερόμενο. Ας πάμε όμως στο πρόβλημα μας. Θέλουμε να λύσουμε την ανίσωση
$7x^{3}-11x+1\geq 0$
Ονομάζουμε $f\left( x\right) =7x^{3}-11x+1$ . Η παράγωγος της έχει ρίζες τις $\pm \frac{1}{21}\sqrt{231}$ . Εϊναι $f\left( -\frac{1}{21}\sqrt{231}\right) =\allowbreak \frac{22}{63}\sqrt{231}+1>0$ και $f\left( -\frac{1}{21}\sqrt{231}\right) =\allowbreak \frac{22}{63}\sqrt{231}+1<0$ .
Επομένως η

έχει τρεις πραγματικές ρίζες $\rho _{1}<\rho _{2}<\rho _{3}$ κσι αφού
$f\left( x\right) =7x^{3}-11x+1=\left( x-\rho _{1}\right) \left( x-\rho _{2}\right) \left( x-\rho _{3}\right)$ το σύνολο λύσεων της ανίσωσης είναι το $\left[ \rho _{1},\rho _{2}\right] \cup \lbrack \rho _{3},+\infty )$ .
Επομένως χρειαζόμαστε τις ρίζες $\rho _{1},\,\rho _{2},\,\,\rho _{3}$ .
Προφανώς η

δεν έχει ακέραια ρίζα. Αλλά δεν έχει και ρητή αφού ξέρουμε ότι ένα ανάγωγο κλάσμα $\frac{\mu }{\nu }$ θα είναι ρίζα του πολυωνύμου

αν ο αριθμητής διαιρεί τον σταθερό του όρο και ο παρονομαστής τον συντελεστή του μεγιστοβαθμίου. Οι μόνες πιθανές ρητές ρίζες είναι οι $\pm 1,\pm \frac{1}{7}$ που δεν είναι ρίζες. Μία λεπτομέρεια της γραφικής παράστασης της

κοντά στις ρίζες μας την δίνει η Geogebra:

: cubica.png (6.39 KiB) Προβλήθηκε 4193 φορές

Η μόνη δυνατότητα για την εύρεση των ριζών μας την δίνει ο τύπος του Cardano (εκείνος στον οποίο παρέπεμψαν ο βασίλης και ο Γρηγόρης). Ας μην κάνουμε τις πράξεις, Κυριακάτικο, και ας αναθέσουμε σε κάποιο υπολογιστικό πρόγραμμα αυτή την δουλειά.
Το Mathematica δίνει:

: cubic4.png (2.19 KiB) Προβλήθηκε 4193 φορές

To Maple δίνει:

: cubic1.png (9.08 KiB) Προβλήθηκε 4194 φορές

To Maxima δίνει:

: cubic2.png (6.57 KiB) Προβλήθηκε 4194 φορές

Μπορούσαμε να έχουμε κάτι καλλίτερο; Εμείς οι μαθηματικοί του καιρού μας ξέρουμε πως όχι. Οι Γεωμέτρες της Αναγέννησης δεν το ήξεραν. Από τη στιγμή που βρήκαμε ότι το πολυώνυμο μας δεν έχει ρητές ρίζες και αφού είναι τρίτου βαθμού δεν παραγοντοποιείται στο $\mathbb{Q}$ δηλαδή είναι ανάγωγο. Σύμφωνα με κάποιο σχετικό θεώρημα της θεωρίας Galois αν ένα ανάγωγο πολυώνυμο του $\mathbb{Q}_{[x]}$ έχει τρεις πραγματικές ρίζες (η διακρίνουσα του είναι θετική) τότε οι ρίζες αυτές δε μπορούν να εκφρασθούν με τύπους που περιέχουν ριζικά που το υπόρριζο τους να είναι πραγματικός αριθμός. Η παρουσία του

κάτω από τα ριζικά (που φαίνεται στις τρεις απαντήσεις) ή κάποια έμμεση διατύπωση του τύπου "όπου ...είναι μία κυβική ρίζα του μιγαδικου..." είναι αναπόφευκτες. Αυτή είναι η περίφημη ανάγωγη περίπτωση(casus irreducibilis) που, εμμέσως, είπε στους παπούδες μας "Θέλετε να λύνετε τριτοβάθμιες εξισώσεις; Θα δεχθείτε αναγκαστικά και τους μιγαδικούς αριθμούς".
Τώρα αν θέλουμε κάτι πιό "προσεγγιστικό":
$\rho _{1}=-1.\,\allowbreak 296\,8,\,\ \ \rho _{2}=9.\,\allowbreak 139\,5\times 10^{-2},\,\ \ \allowbreak \rho _{3}=1.\,\allowbreak 205\,4$

Και μιας και ακολούθησα την συμβουλή του Σόλωνα θα προέτρεπα και εγώ με την σειρά μου τον Σόλωνα, και αν θέλει με ακούει, να ακολουθήσει μία θαυμάσια συμβουλή που ο ίδιος έδωσε στον εαυτό του:

solon28 έγραψε:Τελικά είναι καλύτερο να εμπιστεύεσαι τις δικές δυνάμεις!

Και πάλι καλημέρα και καλή καρδιά πάνω απ΄όλα
Μαυρογιάννης

#14

nsmavrogiannis έγραψε: Πάντως απο το να λέτε τις απόψεις σας θα μπορούσατε να βοηθήσετε στην επίλυση της ανίσωσης! Αλλά στην Ελλάδα αυτό μας τρώει η αμπελοφιλοσοφία! Κοιτάζουμε το δέντρο και χάνουμε το δάσος! Δεν πειράζει να είστε καλά!Καλή καρδιά!

O Νίκος απάντησε επαρκέστατα και σε βάθος στον μεμψιμοιρούντα Σόλωνα, ο οποίος μας μέμφεται ως απεραντολόγους.
Το πρόβλημα είναι ότι ο Σόλων δεν αντιλήφθηκε γιατί, αρχικά, δεν απάντησε κανείς στο ερώτημά του, αν και το έγραψα ρητά σε άλλη συζήτηση.

Ας συνοψίσω εδώ:

Η λέσχη μας δεν έχει ΚΑΝΕΝΑ πρόβλημα να βοηθά οποιονδήποτε διατυπώσει μαθηματική ερώτηση, όσο απλή και αν είναι αυτή. Όμως επιθυμεί να προσφέρει ουσιαστική βοήθεια και όχι να λύνει "τις ασκήσεις στο σπίτι αυτών που δεν θέλουν να εργαστούν μόνοι τους" .

Το συγκεκριμένο ερώτημα του Σόλωνα ήταν η επίλυση τριτοβάθμιας. Αλλά το θέμα αυτό είναι χιλιοειπωμένη ρουτίνα, που μπορεί να την βρει κανείς σε πολλά βιβλία. Άρα, κάποιος που ρωτά πώς λύνεται η τριτοβάθμια, έμμεσα αποκαλύπτει ότι δεν εργάστηκε αυτόνομα στον βαθμό που απαιτείται.

Εχθρός του mathematica είναι ο μηρυκασμός για λογαριασμό άλλων.

Εμπρός λοιπόν, για μία αυτοδύναμη Ελλάδα, που ΟΛΟΙ εργάζονται αυτοδύναμα. Μόνο
όταν πραγματικά βρεθούν σε αδιέξοδο, τότε ας ζητήσουν από τους επαΐοντες την βοήθειά τους. Και η λέσχη μας έχει ΠΟΛΛΟΥΣ που την προσφέρουν αφιλοκερδέστατα.

Φιλικά

Μιχάλης Λάμπρου.

#15

solon28 έγραψε:Μπορεί κάποιος να με βοηθήσει να λύσω την παρακάτω ανίσωση;

$7x^{3}-11x+1\geq 0$

Ευχαριστώ!

Δυστυχώς , όταν μια άσκηση μπαίνει στα γενικά μηνύματα και αυτός που τη θέτει δεν επισημαίνει αν θέλει επειγόντως λύση ή λύση με προσέγγιση ή λύση με σχολικές γνώσεις ή λύση με χρήση γνώσεων κάθε επιπέδου , είναι λογικό ότι είτε θα υπάρξει καθυστέρηση είτε και καθόλου λύση.
Η λύση με χρήση των τύπων Cardano δεν είναι λύση σχολικών γνώσεων. Εύκολα μπορεί να βρεθεί λύση με το πρόγραμμα mathematica.Είναι όμως επιθυμητή μια τέτοια λύση ;

Για τους παραπάνω λόγους , μαζί και με αυτούς που ανέφερερε ο Νίκος Μαυρογιάννης , η εκδήλωση δυσφορίας με το '' έλεος ...'' είναι έξω από το πνεύμα του mathematica .
Ως συντονιστής του κλαμπ και με όλη την εκτίμηση , παρακαλώ τα μέλη να είναι πιο προσεκτικά σε τέτοια ζητήματα , μια και κανείς δεν μπορεί να υποχρεώσει κανένα για τίποτα !

Με την ευκαιρία αυτή , αρχίζω να αναρωτιέμαι μήπως χρειάζεται μια ειδική στήλη(φάκελος) με τίτλο :
''Ψάχνω επειγόντως λύση ''
για να καταχωρίζονται οι ασκήσεις όσων για οποιοδήποτε λόγο θέλουν άμεσα λύση. Φυσικά, ακόμα και σε αυτή την περίπτωση , θα πρέπει να αναγράφεται από τον συντάκτη το επίπεδο της άσκησης(Σχ = σχολικό , Παν = Πανεπιστημιακό ή Ολ = Ολυμπιάδων).
Αυτά όμως θα τα κουβεντιάσουμε στο χώρο των διαχειριστών ή αλλού και αν δούμε ότι μπορεί να υπάρξει κάποια λειτουργική λύση, θα προχωρήσουμε.

Επίλυση πολυωνυμικής ανίσωσης τρίτου βαθμού!

Επίλυση πολυωνυμικής ανίσωσης τρίτου βαθμού!

Re: Επίλυση πολυωνυμικής ανίσωσης τρίτου βαθμού!

Re: Επίλυση πολυωνυμικής ανίσωσης τρίτου βαθμού!

Re: Επίλυση πολυωνυμικής ανίσωσης τρίτου βαθμού!

Re: Επίλυση πολυωνυμικής ανίσωσης τρίτου βαθμού!

Re: Επίλυση πολυωνυμικής ανίσωσης τρίτου βαθμού!

Re: Επίλυση πολυωνυμικής ανίσωσης τρίτου βαθμού!

Re: Επίλυση πολυωνυμικής ανίσωσης τρίτου βαθμού!

Re: Επίλυση πολυωνυμικής ανίσωσης τρίτου βαθμού!

Re: Επίλυση πολυωνυμικής ανίσωσης τρίτου βαθμού!

Re: Επίλυση πολυωνυμικής ανίσωσης τρίτου βαθμού!

Re: Επίλυση πολυωνυμικής ανίσωσης τρίτου βαθμού!

Re: Επίλυση πολυωνυμικής ανίσωσης τρίτου βαθμού!

Re: Επίλυση πολυωνυμικής ανίσωσης τρίτου βαθμού!

Re: Επίλυση πολυωνυμικής ανίσωσης τρίτου βαθμού!

Μέλη σε σύνδεση