ασκηση απο quantum

qwerty · #1

να βρεθούν τα x,y

που ικανοποιούν τις ισότητες:

$\frac{x-1}{xy-3}=\frac{y-2}{xy-4}=\frac{3-x-y}{7-x^2-y^2}$

#2

Ναι πράγματι είναι αρκετά εύκολο αρκεί να χρησιμοποιήσει κανείς κατάλληλα τις ιδιότητες των αναλογιών και να θέσει τους κατάλληλους περιορισμούς.

Αν $xy\neq \displaystyle\frac{7}{2}$ τότε από τις 2 πρώτες ισότητες παίρνουμε ότι είναι ίσες με $\displaystyle\frac{x+y-3}{2xy-7}$ και συνδυάζοντας με την τρίτη ισότητα παίρνουμε τελικά x+y-3=0

ή

.

Αν $xy=\displaystyle\frac{7}{2}$ τότε αντικαθιστώντας στις 2 πρώτες ισότητες βρίσκουμε x+y-3=0

και συνεχίζουμε για να βρούμε τους αγνώστους x,y

.

Αλέξανδρος

kostas232 · #3

Σωστά. Αρκεί να πάρει κανείς περιορισμούς και να σκεφτεί την ισοδυναμία $\displaystyle{\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}$ $\displaystyle{=...=\frac{a_{k}}{b_{k}}\Rightarrow \frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=...=\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{k}}{b_{1}+b_{2}+...+b_{k}}}$ .
Από εκεί και πέρα κάνουμε μια απλή εφαρμογή στην περίπτωσή μας:
Είναι $\displaystyle{\frac{x-1}{xy-3} =\frac{y-2}{xy-4} =\frac{x+y+3-x-y-3}{xy-3+xy-4+7-x^2-y^2} =0}$ .
Και αφού οι παρονομαστές δεν μπορεί να είναι μηδέν, θα είναι $\displaystyle{x-1=0\Rightarrow x=1\wedge y-2=0\Rightarrow y=2}$ .
Κωνσταντίνος Τερζής

Grosrouvre · #4

qwerty έγραψε:να βρεθούν τα που ικανοποιούν τις ισότητες:

$\frac{x-1}{xy-3}=\frac{y-2}{xy-4}=\frac{3-x-y}{7-x^2-y^2}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
τόσο εύκολο είναι ή κάνω κάπου λάθος;... το πρόβλημα προτείνεται στη στήλη προκλήσεις μαθηματικών

Υπάρχει και εδώ, με ενδιαφέρουσα γενική συζήτηση περί αναλογιών

viewtopic.php?f=21&t=48754

$\bullet$ Εκτός της (1,2)

λύση αποτελεί και η (-1,-1)

.

ασκηση απο quantum

ασκηση απο quantum

Re: ασκηση απο quantum

Re: ασκηση απο quantum

Re: ασκηση απο quantum

Μέλη σε σύνδεση