Μία υπό συνθήκη.

#1

Για τον πραγματικό αριθμό

είναι γνωστό ότι
$\displaystyle x^{3}+x+1=0$ .
Να αποδείξετε ότι
$\displaystyle x^{5}=-x^{2}\allowbreak +x+1$

Μαυρογιάννης

Eukleidis · #2

Θα εργαστούμε με ισοδυναμίες:

$\displaystyle{{x^5} = - {x^2} + x + 1 \Leftarrow {x^5} + {x^2} - \left( {x + 1} \right) = 0 \Leftarrow {x^2}\left( {{x^3} + 1} \right) - \left( {x + 1} \right) = 0}$
$\displaystyle{{x^2}\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) - \left( {x + 1} \right) = 0 \Leftarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^3} + {x^2} - 1} \right) = 0 \Leftarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^3} + x + 1} \right) = 0}$

που προφανώς ισχύει από την υποθεση

#3

Διαφορετικά, πολλαπλασιάζοντας την πρώτη με x^2

έχουμε

$\displaystyle{x^5 =-x^3 -x^2,}$

και αντικαθιστώντας το $\displaystyle{x^3}$ από την πρώτη προκύπτει το ζητούμενο.

Ανδρέας Πούλος · #4

Τρίτη παραλλαγή στο ίδιο θέμα.

Ισχύει $x^{3}= -x-1 \Rightarrow x^{6}=(x+1)^{2}\Rightarrow x^{6}=x^{2}+2x+1$ .

Όμως $x^{6}=x^{2}+2x+1 = x+1 + x^{2}+x = -x^{3}+x^{2}+x$ .

Αφού ο x δεν είναι 0, διαιρούμε την παραπάνω ισότητα με x και έχουμε $x^{5}= -x^{2}+ x + 1$ .

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Α.Κυριακόπουλος · #5

Eukleidis έγραψε:Θα εργαστούμε με ισοδυναμίες:

$\displaystyle{{x^5} = - {x^2} + x + 1 \Leftrightarrow {x^5} + {x^2} - \left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^3} + 1} \right) - \left( {x + 1} \right) = 0}$
$\displaystyle{{x^2}\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) - \left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^3} + {x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^3} + x + 1} \right) = 0}$

που προφανώς ισχύει από την υποθεση

Αγαπητέ Eykleidi.
Θα μου επιτρέψεις να σου πω ότι στη λύση σου, από τις ισοδυναμίες που γράφεις χρειάζονται, μόνον οι αριστερές συνεπαγωγές,( $\displaystyle{ \Leftarrow }$ , δηλαδή το « αρκεί»). Οι δεξιά συνεπαγωγές ( $\displaystyle{ \Rightarrow }$ ) δεν έχουν καμία σχέση με την απόδειξη που κάνεις. Αν τις έχεις γράψει μόνο και μόνο επειδή ισχύουν, τότε θα έπρεπε να γράψεις και το θεώρημα του Πυθαγόρα ( και όχι μόνο), γιατί η σχέση του με την απόδειξη που κάνεις δεν διαφέρει από εκείνη των δεξιά συνεπαγωγών( και στις δύο περιπτώσεις ισχύουν, αλλά δεν χρησιμοποιούνται στην απόδειξη). Βλ. και εδώ:
viewtopic.php?f=67&t=1492 ,παράγραφος 2,4, σελ.5.

Φιλικά.

Eukleidis · #6

Αγαπητε κύριε Κυριακόπουλε,

το συγκεκριμένο λάθος το έχω ασπαστεί απο σχολικά βοηθήματα τα οποία χρησιμοποιούν αυτήν την μέθοδο. Ωστόσο σας ευχαριστώ που τονίσατε το λάθος μου, το οποίο και θα διορθώσω.

#7

Ευχαριστώ για την ενασχόληση σας. Η λύση που προτιμώ να κάνω με τα παιδιά είναι εκείνη του Θάνου μιας και μας δείχνει ότι μπορούμε να εκφράσουμε, αναδρομικά, όλες τις δυνάμεις του

πάνω από 3 ως γραμμικούς συνδυασμούς με ακέραιους συντελεστές των $1,x,x^{2}$ .
H αρχική αντιμετώπιση του Eukleidis με τις ισοδυναμίες (που κακώς κατά την γνώμη μου τις έσβησε)
α) Απαντά στο ερώτημα
β) Μας πληροφορεί ότι η υπόθεση είναι ισοδύναμη με το συμπέρασμα.
Όποιος θέλει μπορεί να αρκεσθεί μόνο το α). Μαθηματικά μιλώντας ενδιαφέρει ασφαλώς και το β).
Μαυρογιάννης

Μία υπό συνθήκη.

Μία υπό συνθήκη.

Re: Μία υπό συνθήκη.

Re: Μία υπό συνθήκη.

Re: Μία υπό συνθήκη.

Re: Μία υπό συνθήκη.

Re: Μία υπό συνθήκη.

Re: Μία υπό συνθήκη.

Μέλη σε σύνδεση