Η κατάρρευση της Άλγεβρας

#1

Πριν τρεις εβδομάδες σε επαναληπτικό διαγώνισμα του σχολείου μου (http://www.nsmavrogiannis.gr/diagonisma ... /1213b.pdf) τέθηκε μεταξύ άλλων το ερώτημα:

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{g\left( x\right) =\sqrt{x^{2}+1}}$
1) Να αποδείξετε ότι η ευθεία y=x

είναι ασύμπτωτη της

για $x\rightarrow +\infty$ .
2) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της

τέμνει την ασύμπτωτη της y=x

.
.....
Το ενδιαφέρον είναι ότι υπήρξαν αρκετοί μαθητές που δεν είδαν ότι είναι αρκετό να ελέγξουν αν η εξίσωση $\sqrt{x^{2}+1}=x$ έχει λύση (που είναι θέμα μίας αράδας) αλλά, προφανώς ακολουθώντας τις "μεθοδολογίες" που κυκλοφορούν έκαναν μελέτη της διαφοράς. Να ένα παράδειγμα αντιμετώπισης από ένα γενικά πολύ ικανό μαθητή.
Γράφει:
Θεωρώ $h\left( x\right) =g(x)-x=\sqrt{x^{2}+1}-x$ .
Η

είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με
$h^{\prime }\left( x\right)=$ ...πράξεις... $=\allowbreak \frac{x-\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{x^{2}+1}}$
$h^{\prime \prime }\left( x\right) =$ ...πράξεις... $=\allowbreak \frac{1}{\left( x^{2}+1\right) \sqrt{x^{2}+1}}>0$
'Αρα η

είναι κυρτή και η

γνησίως αύξουσα.

Ο μαθητής παραθέτει το σχετικό πινακάκι όπου όμως το μόνο πρόσημο που βρίσκει είναι της h''

.
Μιας και η "δυσκολία" της εύρεσης ρίζας της

ανακυκλώνεται συνεχίζει ως εξής:

'Εστω $\rho$ ρίζα της

.
Αν $\rho=0$ τότε $h\left( \rho \right) =0\Leftrightarrow \sqrt{\rho ^{2}+1}-\rho =0\Leftrightarrow \sqrt{0+1}-0=0\Leftrightarrow 1=0$ Άτοπο.
Αν $\rho>0$ τότε $h\left( \rho \right) =0\Leftrightarrow \sqrt{\rho ^{2}+1}-\rho =0\Leftrightarrow \sqrt{\rho ^{2}+1}=\rho \Leftrightarrow \rho ^{2}+1=\rho \Leftrightarrow 1=0$ Άτοπο.
Αν $\rho<0$ τότε $2\rho ^{2}-2\rho \sqrt{\rho ^{2}+1}+1=0\Leftrightarrow 2\rho \left( \rho -\sqrt{\rho ^{2}+1}\right) +1=0$ άτοπο διότι $2\rho <0$ και $\rho -\sqrt{\rho ^{2}+1}<0$ άρα $2\rho \left( \rho -\sqrt{\rho ^{2}+1}\right) +1>1$ .

Ανάλογες προσεγγίσεις είδαμε στα βαθμολογικά κέντρα στις εξετάσεις του 2010 στην αντιμετώπιση του 4ου θέματος. Κοινός τόπος: Η Άλγεβρα που έχουν διδαχθεί τα παιδιά στην Α΄και Β΄τάξη μπαίνει στο παρασκήνιο και υπερισχύουν όχι ακριβώς η Ανάλυση αλλά η περί αυτήν διαδικαστική συνταγογραφία. Διαμορφώνεται έτσι ένα πολύ θολό μαθηματικό τοπίο για το οποίο φαντάζομαι ότι ουδείς είναι ευτυχής. Δεν είμαι σε θέση να δώσω μία πλήρη ερμηνεία του φαινομένου. Θεωρώ πάντως ως σημαντικούς παράγοντες:
α) το ότι η Άλγεβρα στις δύο προηγούμενες τάξεις με τις συνεχείς εκπτώσεις και μειώσεις και την μετατόπιση της απόδειξης έχει αποδυναμωθεί σημαντικά.
β) το ότι η Ανάλυση παρουσιάζεται ως ένα αντικείμενο που δε συνδέεται και πολύ με τα προηγούμενα με διάσπαρτες αποδείξεις και τεχνικές. Σαν ένα μέρος που το μαθηματικό παρελθόν μπορεί να αγνοηθεί και όλα να αρχίσουν ξανά.
Σχετικός είναι και ο προβληματισμός που υπάρχει σε εισήγηση του Γιάννη Θωμαίδη που μπορεί να βρεθεί εδώ:
http://www.kalamari.gr/images/stories/h ... sigisi.pdf
Μαυρογιάννης

#2

nsmavrogiannis έγραψε: .... Κοινός τόπος: Η Άλγεβρα που έχουν διδαχθεί τα παιδιά στην Α΄και Β΄τάξη μπαίνει στο παρασκήνιο και υπερισχύουν όχι ακριβώς η Ανάλυση αλλά η περί αυτήν διαδικαστική συνταγογραφία. Διαμορφώνεται έτσι ένα πολύ θολό μαθηματικό τοπίο για το οποίο φαντάζομαι ότι ουδείς είναι ευτυχής.

Νίκο, δεν θα μπορούσα να συμφωνήσω περισσότερο.

Υπενθυμίζω ότι στο Μαθηματικό Κρήτης έχουμε προσθέσει στο πρώτο εξάμηνο ένα μάθημα γέφυρα, τα λεγόμενα ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, το οποίο περιέχει την ύλη της Άλγεβρας Α και Β Λυκείου (από λίγο καλύτερη σκοπιά για να μην μένουμε σε στάσιμα νερά).

Ο προβληματισμός για την προσθήκη του μαθήματος ήταν ακριβώς αυτά που γράφεις.

Επέμενα πολλά χρόνια για την προσθήκη του μαθήματος αυτού. Μετά από πολλές αντιρρήσεις, οι συνάδελφοι με άκουσαν, αν και ακόμα εισπράττω κριτική από μερικούς που δεν πείστηκαν.

Τα αποτελέσματα των εξετάσεων, απογοητευτικά. Ευτυχώς που υπήρχαν και φοιτητές που είχαν εξαιρετική επίδοση (τα έλυσαν όλα). Επισυνάπτω τα θέματα που έβαλα τον Ιανουάριο 2013. Σπεύδω να προσθέσω ότι όλα, μα όλα, τα ερωτήματα ήσαν θέματα που επεξεργαστήκαμε στη τάξη (ίδια ή παραπλήσια).

Επίσης ας προσθέσω ότι η ιδέα στο μάθημα ήταν να εργαζόμαστε με κομψή μέθοδο και υπήρχε ένας πλούτος τεχνικών. Π.χ. στο ερώτημα 5 α) αυτό ΠΟΥ ΔΕΝ ΘΕΛΟΥΜΕ είναι να εργαστούμε με Vieta. Υπάρχει και καλύτερη αντιμετώπιση.

Φιλικά,

Μιχάλης

gian7 · #3

Άλλο ένα φαινόμενο που παρατηρώ συχνά είναι η αδυναμία πολλών συμμαθητών μου να βρούν πεδία ορισμού!

Για παράδειγμα μπορούν να βρούν την αντίστροφη της $\displaystyle{f(x) = ln(\sqrt{x^2 + 1} + x)}$ αλλά κανείς(!!!) το πεδίο ορισμού της.

Πιστεύω ότι είναι στο χέρι των καθηγητών να κάνουν μια καλή δουλεία στην πρώτη λυκείου και τροφοδοτήσουν με γερές βάσεις τα παιδιά.

Είναι θλιβερό να παίζουμε τα " $\displaystyle{\xi }$ " στα δάκτυλα και να μην έχουμε ιδέα για παράδειγμα από θεωρία αριθμών

S.E.Louridas · #4

nsmavrogiannis έγραψε: ...Η Άλγεβρα που έχουν διδαχθεί τα παιδιά στην Α΄και Β΄τάξη μπαίνει στο παρασκήνιο και υπερισχύουν όχι ακριβώς η Ανάλυση αλλά η περί αυτήν διαδικαστική συνταγογραφία. Διαμορφώνεται έτσι ένα πολύ θολό μαθηματικό τοπίο για το οποίο φαντάζομαι ότι ουδείς είναι ευτυχής. Δεν είμαι σε θέση να δώσω μία πλήρη ερμηνεία του φαινομένου. Θεωρώ πάντως ως σημαντικούς παράγοντες:
α) το ότι η Άλγεβρα στις δύο προηγούμενες τάξεις με τις συνεχείς εκπτώσεις και μειώσεις και την μετατόπιση της απόδειξης έχει αποδυναμωθεί σημαντικά.
β) το ότι η Ανάλυση παρουσιάζεται ως ένα αντικείμενο που δε συνδέεται και πολύ με τα προηγούμενα με διάσπαρτες αποδείξεις και τεχνικές. Σαν ένα μέρος που το μαθηματικό παρελθόν μπορεί να αγνοηθεί και όλα να αρχίσουν ξανά.
Σχετικός είναι και ο προβληματισμός που υπάρχει σε εισήγηση του Γιάννη Θωμαίδη που μπορεί να βρεθεί εδώ:
http://www.kalamari.gr/images/stories/h ... sigisi.pdf
Μαυρογιάννης

ΝΑΙ είναι ακριβώς έτσι και παρ' όλο το πανίσχυρο ανοσοποιητικό σύστημα των Μαθηματικών επιβάλλεται τόσο επιστημονικά, όσο διδακτικά και τελικά ηθικά να γίνει κάτι το ουσιαστικό τάχιστα.

spege · #5

Έτσι είναι Νίκο ,συμφωνώ και εγώ.
Έρχονται στιγμές που πιστεύω ότι διδάσκουμε μαθηματικά για τη «βιομηχανία» με πολλές συνταγές
ΚΑΛΟ ΠΑΣΧΑ ΣΕ ΟΛΟΥΣ
Σπύρος

#6

Νίκο, έτσι είναι !

Τελικά ο μαθητής ό,τι μαθαίνει, το μαθαίνει τελικά στην Γ΄ Λυκείου !

Αυτή είναι η πρώτη φορά στα έξι χρόνια (Γυμνάσιο+Λύκειο) που νοιώθει ότι είναι μαθητής και βλέπει το Σχολείο(τη μάθηση καλύτερα) με τη δέουσα σοβαρότητα.

Εκεί μαθαίνει εξισώσεις, εκεί ανισώσεις, εκεί ταυτότητες, εκεί πράξεις ,εκεί συναρτήσεις, εκεί όλα !

Το συμπέρασμα είναι αδιαμφισβήτητο :

Ένας μαθητής για να μπορεί να είναι ουσιαστικός , πρέπει στην Α' και τη Β΄Λυκείου να αποκτήσει πολύ γερά θεμέλια στην κλασική Άλγεβρα και τη Γεωμετρία.
Τίποτα από τα δύο δε γίνεται όμως στην πράξη , οποτε στην τρίτη Λυκείου συναντάμε κάθε είδους αρρυθμία !

Βλέπουμε άλλωστε ότι στους μιγαδικούς ,όπου η ύλη είναι ελάχιστη, οι μαθητές τρέμουν ! Ρωτείστε όποιο μαθητή θέλετε τι φοβάται περισσότερο και με έκπληξη θα ακούσετε : '' τους μιγαδικούς !''.
Αυτό συμβαίνει διότι χρειάζεται ευχέρεια στην Άλγεβρα και αυτό λείπει παντελώς !

Καλή Ανάσταση !

Ιστοσελίδα · #7

Και πώς να μην καταρρεύσει η Άλγεβρα με τις περικοπές που έκαναν οι άσχετοι των ασχέτων

που αφαιρούν από την ύλη τα χρήσιμα εργαλεία της ανάλυσης με ένα απλό δεν χρειάζεται…., λες και ποτέ τους δεν δίδαξαν ανάλυση.
και φωνάζει ο κόσμος της μαθηματικής εκπαίδευσης,
και φωνάζουν οι σύμβουλοι,
και φωνάζουν οι καθηγητές που ζουν «το κυνήγι του ξ» από μαθητές που δεν γνωρίζουν την ταυτότητα ${{a}^{3}}-{{b}^{3}}$
και φωνάζουν όλοι
και η ΕΜΕ σιωπά…….

bilstef · #8

Τελικά,
η διδακτική των μαθηματικών χρειάζεται ή όχι ;

( Η γεωμετρία έχει ήδη καταρρεύσει ,η άλγεβρα καταρρέει !

ζήτω οι πιθανότητες !!!!!!!)

#9

bilstef έγραψε:Τελικά,
η διδακτική των μαθηματικών χρειάζεται ή όχι ;

( Η γεωμετρία έχει ήδη καταρρεύσει ,η άλγεβρα καταρρέει !

ζήτω οι πιθανότητες !!!!!!!)

Βασίλη δεν είναι θέμα Διδακτικής των Μαθηματικών (εξ΄άλλου ποια απ΄όλες;)
Είναι θέμα Μαθηματικών. Αυτό που λείπει και το χρειαζόμαστε είναι ένα πρόγραμμα Μαθηματικών του Λυκείου που να αποδίδει στην Άλγεβρα και την Γεωμετρία τον φυσικό τους ρόλο που είναι και μεταξύ άλλων και παιδευτικός ρόλος. Και δεν νοείται Άλγεβρα χωρίς ένα επαρκές ποσό Άλγεβρας που να περιλαμβάνει βασικές προτάσεις και μεθόδους (μην παρεξηγηθώ: δεν είπα μεθοδολογίες). Με ψήγματα θεωρίας μπορεί να κάνει κανείς χάπενιγκ όχι μάθημα. Και ενώ οι εκπτώσεις και μειώσεις στην ύλη είναι αμφίβολο αν βοηθούν τους μαθητές που δυσκολεύονται σίγουρα στερούν από τους ικανούς μαθητές την δυνατότητα να μάθουν κάποια ουσιαστικά πράγματα.
Μαυρογιάννης

Η κατάρρευση της Άλγεβρας

Η κατάρρευση της Άλγεβρας

Re: Η κατάρρευση της Άλγεβρας

Re: Η κατάρρευση της Άλγεβρας

Re: Η κατάρρευση της Άλγεβρας

Re: Η κατάρρευση της Άλγεβρας

Re: Η κατάρρευση της Άλγεβρας

Re: Η κατάρρευση της Άλγεβρας

Re: Η κατάρρευση της Άλγεβρας

Re: Η κατάρρευση της Άλγεβρας

Μέλη σε σύνδεση