Συναρτήσεις Α΄ Λυκείου

[Γιώργος Ρίζος]

Καλησπέρα σε όλους.
Θέτω, αρχικά, ένα ερώτημα, που ίσως κάτι να θυμίζει σε κάποιους. Θα παρακαλούσα να μην το αποκαλύψουν, απλά να γράψουν τη γνώμη τους.

Θα ακολουθήσουν, αναλόγως της συζήτησης, κι άλλα ερωτήματα.
Ευχαριστώ, εκ των προτέρων, για τη συμμετοχή σας!


Οι ετήσιες δαπάνες και τα ετήσια έσοδα μιας εταιρείας για τα δέκα χρόνια λειτουργίας της παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα.

17-01-2015 Α΄ Λυκείου a.jpg (27.58 KiB) Προβλήθηκε 1509 φορές

α) Πώς μπορούν να παρασταθούν αυτά τα δεδομένα στον παρακάτω πίνακα;

17-01-2015 Α΄ Λυκείου.jpg (14.91 KiB) Προβλήθηκε 1509 φορές

[Γιώργος Ρίζος]

Επιτρέψτε μου μια επαναφορά, γιατί πιστεύω ότι "χάθηκε" νωρίς η ανάρτηση.

[AMD]

Μια άποψη για το πως "πρέπει" να παριστάνονται τέτοιας φύσης δεδομένα. Είναι εντός διδαγμένου πλαισίου του εξεταζόμενου μαθητή; Σίγουρα όχι.

[george visvikis]

Καλημέρα σε όλους.

Μία άλλη άποψη

Συναρτήσεις Α.png (13.4 KiB) Προβλήθηκε 1251 φορές

Σύμφωνα με τα δεδομένα τα έξοδα και τα έσοδα σε χιλιάδες ευρώ δίνονται αντίστοιχα από τις συναρτήσεις:

, όπου ο χρόνος σε έτη με

Συμπλήρωση ή Ακύρωση;(*)
Θα ήθελα να πω δυο πράγματα πάνω στη λύση που έγραψα. Διαβάζοντας πιο προσεκτικά το πρόβλημα, παρατήρησα ότι αυτά που έγραψα δεν στέκουν και η γραφική παράσταση δεν είναι δόκιμη, γιατί μιλάμε για ετήσια έσοδα και έξοδα. Δεν διαγράφω τη δημοσίευση, αλλά εξηγώ τι εννοώ.

Δεν υπάρχουν οι συναρτήσεις , γιατί ο χρόνος είναι σε έτη και οι τιμές του είναι διακριτές και όχι συνεχείς. Δεν θα είχε νόημα για παράδειγμα να βρούμε το , γιατί τι θα σήμαινε αυτό; Τα έξοδα δυο τρεις μέρες πριν εκπνεύσει ο ος χρόνος; Οι γραφικές παραστάσεις λοιπόν δεν μπορεί να είναι ευθύγραμμα τμήματα. Θα μπορούσαν βέβαια οι συναρτήσεις να αντικατασταθούν από τις ακολουθίες , και τότε το διάγραμμα θα αποτελείτο από μεμονωμένα σημεία.
Στη γραφική παράσταση παρέλειψα σκόπιμα τη λέξη ετήσια, αλλά τελικά και πάλι δεν σώνεται. Θα ήθελα να διαβάσω και άλλες απόψεις.

(*)edit: Έγινε η συμπλήρωση.

[Γιώργος Ρίζος]

Ευχαριστώ τον Αντώνη (AMD) και τον Γιώργο για τις ενδιαφέρουσες προσεγγίσεις τους.

Πρόκειται για τα δεδομένα του προβλήματος 4_2339 της Τράπεζας Θεμάτων (Άλγεβρα Α΄ Γενικού Ημερησίου Λυκείου), το οποίο σχολιάσαμε ΕΔΩ, εις μάτην, εφόσον υπάρχει ακόμα στην Τράπεζα.
(Aσχέτως αν θα ανασταλεί η λειτουργία και ο κύριος ρόλος της, ως μηχανισμός σύγκρισης επιδόσεων των μαθητών, εξ' ορισμού αποτυχημένος, κατά την άποψή μου).

Το θέμα αναρτήθηκε πριν την ανακοίνωση του νέου Προγράμματος Σπουδών Μαθηματικών Λυκείου, με στόχο να ασκηθεί πίεση, μέσω του διαλόγου μας, για την απόσυρσή του από την Τράπεζα Θεμάτων.
Με έκπληξη, απογοήτευση και λύπη είδα ότι περιλαμβάνεται ως εισαγωγική δραστηριότητα (Δ 19, Άλγεβρα A' Λυκείου ) για την κατανόηση της έννοιας της γραφικής παράστασης συνάρτησης . Βλέπετε σχετική συζήτηση ΕΔΩ.

Πιστέυω, ότι θα ήταν προτιμότερο να αντικατασταθούν οι έννοιες "ετήσια έσοδα, έξοδα", που υποδηλώνουν μεμονωμένες τιμές (διακριτές μεταβλητές) με τις έννοιες "αθροιστικά έσοδα, έξοδα", για τα οποία θα μπορούσαμε να δεχτούμε ότι μεταβάλλονται διαρκώς, οπότε παριστάνονται με μεταβλητή που παίρνει τιμές σε διάστημα.
Επίσης, σ' αυτήν την περίπτωση, θα πρέπει να αντικατασταθεί η συνάρτηση (αθροιστικών) εξόδων με μια γνήσια αύξουσα, αφού δεν μπορεί τα συσσωρευμένα έξοδα να μειώνονται!
Παραβλέπουμε, βεβαίως, τη φοβερή σύμπτωση, όπου τα έξοδα και τα έσοδα κινούνται απαρέγκλιτα στις γραφικές παραστάσεις ευθειών κι όχι καμπυλών ή τεθλασμένων γραμμών.
Σίγουρα υπάρχουν καλύτερα μοντέλα που παριστάνονται με σημεία ευθειών. Ας επιλεγεί ένα τέτοιο.
Δείτε ξανά το απόσπασμα του Γιάννη Θωμαΐδη από ΕΔΩ.

Οι μαθητές έχουν διδαχθεί την έννοια της συνάρτησης στην Β΄ και Γ΄ Γυμνασίου, μέσα από πολλές εφαρμογές σε πραγματικές καταστάσεις συμμεταβολής μεγεθών και με ευρεία χρήση γραφικών παραστάσεων. Στο Λύκειο ο κεντρικός στόχος είναι να κατανοηθεί ο γενικός ορισμός της συνάρτησης-αντιστοιχίας για τον οποίο στο ίδιο το Π.Σ. (σελ. 1946, υποσημ. 25) αναφέρεται ότι: «…η απλότητά του εγκλείει μία μεγάλη διδακτική παγίδα, ότι είναι ευκολονόητη έννοια. Εδώ θέλει πολύ μεγάλη προσοχή». Όμως, όλες οι σχετικές δραστηριότητες που προτείνονται στο Π.Σ. θα μπορούσαν άνετα να διδαχθούν στο Γυμνάσιο, όπου βέβαια ο στόχος δεν είναι η κατανόηση του γενικού ορισμού της συνάρτησης. Με ποιο τρόπο λοιπόν θα αποφύγουμε τη διδακτική παγίδα, δηλαδή με ποιο τρόπο οι μαθητές του Λυκείου θα κατακτήσουν ένα ανώτερο επίπεδο μαθηματικής σκέψης και δεν θα ταυτίζουν πλέον την έννοια της συνάρτησης με έναν «τύπο» ή μία «καμπύλη»;

Δίνω παρακάτω τρεις γραφικές παραστάσεις, επιπλέον των γραφημάτων του Αντώνη και του Γιώργου.

30-01-2015 Συναρτήσεις Α Λυκείου a.jpg (19.04 KiB) Προβλήθηκε 1147 φορές

Η λογικά αναμενόμενη γραφική παράσταση της ακολουθίας, όπως γράφει ο Γιώργος Βισβίκης παραπάνω.

30-01-2015 Συναρτήσεις Α Λυκείου b.jpg (21.35 KiB) Προβλήθηκε 1147 φορές

Θα μπορούσαμε να παραστήσουμε τα ετήσια έσοδα και έξοδα με ασυνεχή ευθύγραμμα τμήματα στα διαστήματα έτος, , κ.ο.κ. Είναι προφανές ότι αυτή η παράσταση είναι παντελώς ακατάλληλη για μελέτη του μοντέλου με τα εργαλεία των Συναρτήσεων.

30-01-2015 Συναρτήσεις Α Λυκείου c.jpg (26.24 KiB) Προβλήθηκε 1147 φορές

Τέλος, δεχόμενοι ότι τα έσοδα και έξοδα μεταβάλλονται γραμμικά στη διάρκεια κάθε έτους, μπορούμε να φτιάξουμε ευθύγραμμα τμήματα που ξεκινούν από το στην αρχή κάθε έτους και καταλήγουν στη μέγιστη τιμή στο τέλος του έτους.

Όλα αυτά είναι όμορφα θέματα για συζήτηση και διερεύνηση σε μια τάξη που θέλει να ερευνήσει και να προεκτείνει το θέμα, είναι χρήσιμα για να διευρυνθούν οι ορίζοντες των μαθητών, να ενισχυθεί η φαντασία τους, είναι, όμως, ακατάλληλα για την αξιολόγησή τους, ως θέμα σχολικών εξετάσεων ή για εισαγωγική δραστηριότητα.

edit: Θεωρήστε ότι οι κουκιδίτσες στα παραπάνω σχήματα δεν έχουν κενό (όπως φαίνεται στο σχήμα), δηλαδή δεν είναι σημεία ασυνέχειας, όπως συνηθίζουμε να τις σχεδιάζουμε...
Απλά ήταν αβλεψία μου , όταν έκανα το σχήμα. Ευχαριστώ τον Αντώνη (AMD) για την παρατήρηση.