Γενίκευση σε θεώρημα του διαφορικου λογισμου (1) (Δ. 1)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

Καλημέρα
Θα παραθέσω κάποιες ασκήσεις (θα τις ανεβάζω σε ξεχωριστά θέματα) που αποτελούν γενικεύσεις γνωστών θεωρημάτων του διαφορικού λογισμού, ξεκινώντας από την
Ασκηση 1
Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (α, β) και ισχύει $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to a^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \beta ^ - } f(x) = k }$ , όπου κ πραγματικός αριθμός, τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον $\displaystyle{ \,\xi \in (\alpha ,\beta ) }$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{ f'(\xi ) = 0 }$ .

#2

Στράτο ενδιαφέρουσα η γενίκευση του Rolle.
Για την απόδειξη τώρα. Ορίζουμε την συνάρτηση $g:\left[ \alpha ,\beta \right] \rightarrow \mathbb{R}$ με $g\left( x\right) =f\left( x\right) ,x\in \left( \alpha ,\beta \right)$ και $g\left( \alpha \right) =g\left( \beta \right) =k$ . Η

είναι παραγωγίσιμη στο $\left( \alpha ,\beta \right)$ και συνεχής στο $\left[ \alpha ,\beta \right]$ οπότε το συμπέρασμα προκύπτει από το θεώρημα του Rolle.

Ενδιαφέρουσα είναι η περίπτωση-περαιτέρω γενίκευση όπου κάποιο από τα άκρα ή τα δύο ίσα όρια δεν είναι πραγματικοί αριθμοί.

Μαυρογιάννης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #3

Καλημέρα κ.Μαυρογιάννη, διαβάσατε την σκεψη μου , αυτό είναι το επόμενο βήμα που θα ανεβάσω (μαλλον προς το βραδυ μετά τα μαθηματα).

Γενίκευση σε θεώρημα του διαφορικου λογισμου (1) (Δ. 1)

Γενίκευση σε θεώρημα του διαφορικου λογισμου (1) (Δ. 1)

Re: Γενίκευση σε θεώρημα του διαφορικου λογισμου (1)

Re: Γενίκευση σε θεώρημα του διαφορικου λογισμου (1)

Μέλη σε σύνδεση