Σύγκριση αριθμών!

#1

Με αφορμή κάποια θέματα που τέθηκαν σήμερα στο

προτείνω και το εξής:

Να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\sin 40^0<\sqrt{\frac{3}{7}}}$ .

kwstas12345 · #2

Επειδή $\displaystyle \sin 3x=3\sin x-4\sin^{3}x$ θα είναι $\displaystyle \sin 120=3\sin 40^{0}-4\sin^{3}40^{0}\Rightarrow 3x-4x^3-\frac{\sqrt{3}}{2}=0, x=\sin 40^{0}$ .

ΘΕωρώ την συνάρτηση $\displaystyle f\left(x \right)=3x-4x^3-\frac{\sqrt{3}}{2},x \in \left[-1,1 \right]$ με πρώτη παράγωγο $\displaystyle f'\left(x \right)=0\Leftrightarrow 3\left(1-4x^2 \right)=0\Leftrightarrow x=\pm \frac{1}{2}$ .

Από τον πίνακα μονοτονίας η συναρτησή μας είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right]$ και γνησίως φθίνουσα στα $\displaystyle \left[-1,-\frac{1}{2} \right],\left[\frac{1}{2},1 \right]$ .

Εύκολα βλέπουμε πως η συναρτησή μας έχει στο διάστημα $\displaystyle \left[\frac{1}{2},1 \right]$ έχει μία μοναδική ρίζα, η οποία είναι η $\displaystyle \sin 40^{0}$ μιας και $\displaystyle \sin 40^{0}>\frac{1}{2}$ .

Με Bolzano στο $\displaystyle \left[\frac{1}{2},\sqrt{\frac{3}{7}} \right]$ πετυχαίνουμε καλύτερη προσέγγιση για την ρίζα μας. Άρα $\displaystyle \sin 40 \in \left(\frac{1}{2},\sqrt{\frac{3}{7}} \right)$ και το ζητούμενο έπεται.

Σύγκριση αριθμών!

Σύγκριση αριθμών!

Re: Σύγκριση αριθμών!

Μέλη σε σύνδεση