Ακέραια τιμή παραγώγου (Δ. 5)

#1

Να αποδείξετε πως η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης

$\displaystyle{ f(x) = \frac{{2x}}{{1 + e^{2x} }},x \ge 0 }$

υπολογισμένη στο μηδέν είναι πάντα ακέραιος,για κάθε $\displaystyle{ n }$
φυσικό.

(Με λίγα λόγια: $\displaystyle{ f^n (0) \in Z,\forall n \ge 0 }$ )

mathxl · #2

Μία μεταμεσονύχτια προσέγγιση

$\displaystyle{f(x) = \frac{{2x}}{{1 + {e^{2x}}}} = \frac{{x{e^{ - x}}}}{{\frac{{{e^{ - x}} + {e^x}}}{2}}} = \frac{{x{e^{ - x}}}}{{\cosh x}},x \ge 0}$
, όπου $\displaystyle{\cosh x = {\textstyle{1 \over 2}}\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}$

Με χιαστί
$\displaystyle{f(x)\cosh x = x{e^{ - x}}}$

παραγωγίζουμε και έπειτα βάζουμε όπου χ το 0
$\displaystyle{f'\left( x \right)\cosh x + f\left( x \right)\sinh x = \left( {1 - x} \right){e^{ - x}},f'\left( 0 \right) = 1}$
ομοίως
$\displaystyle{f''\left( x \right)\cosh x + 2f'\left( x \right)\sinh x + f\left( x \right)\cosh x = \left( {x - 2} \right){e^{ - x}},f''\left( 0 \right) = - 2}$
ομοίως
$\displaystyle{{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right)\cosh x + 3f''\left( x \right)\sinh x + 3f'\left( x \right)\cosh x + f\left( x \right)\sinh x = \left( {3 - x} \right){e^{ - x}},{f^{\left( 3 \right)}}\left( 0 \right) = 0}$

Οι συντελεστές του 1ου μέλους ακολουθούν την λογική του τριγώνου του Πασχάλη (επίκαιρος) οπότε πάντα ο συντελεστής στην τάξη της παραγώγου που μας ενδιαφέρει είναι 1...οι υπόλοιποι αριθμοί είναι ακέραιοι διότι το υπερβολικό ημίτονο στο 0 έχει τιμή 0 και το υπερβολικό συνημίτονο 1...οι τιμές των παραγώγων προηγούμενης τάξης ακέραιοι...οπότε πράξεις μεταξύ ακεραίων δίνουν ακέραιο

Με επιφύλαξη για τις πράξεις ..

#3

Έχουμε $\displaystyle{ f(x)+f(x)e^{2x}=2x}$ [1]

Ακόμη $\displaystyle{f^{n}(x)+(f(x)e^{2x})^{(n)}=0,n\ge 2}$

όμως ΣΤΟ 0 $\displaystyle{(e^{2x})^{k}=2^k,k=0,1,...,n}$ και εφαρμόζοντας τον τύπο Leibniz για την νιοστή παράγωγο γινομένου παίρνουμε
$\displaystyle{f^n+\dbinom{n}{0} 2^0f^{(n)}+\dbinom{n}{1} 2^1f^{(n-1)}+...+\dbinom{n}{n} 2^nf^{(0)}=0,n>1}$ άρα
$\displaystyle{f^n+\dbinom{n}{1} 2^0f^{(n-1)}+...+\dbinom{n}{n} 2^{n-1}f^{(0)}=0,n>1}$ όπου $\displaystyle{f^m}$ είναι η μιοστή παράγωγος στο 0. Με επαγωγή η άσκηση τελειώνει εύκολα

#4

Ξανακοίταγα λίγο την άσκηση όταν σέφτηκα το εξής (εκτός λυκείου) Αν όπου χ βάζαμε το $\displaystyle{ix}$ και χρησιμοποιήσαμε τον τύπο $\displaystyle{e^{ix}=cosx+isinx}$ τι θα γινόταν? $\displaystyle{f(ix)=\frac{2ix}{1+cos2x+isin2x}=\frac{ix}{cos^2x+isinxcosx}=\frac{ix}{cosx(cosx+isinx)}=\frac{ix(cosx-isinx)}{cosx}=ix(1-itanx)=ix+xtanx}$

Τότε για $\displaystyle{n\ge 2}$ είναι $\displaystyle{(f(ix))^{(n)}=(xtanx)^{(n)}=x(tanx)^{(n)}+n(tanx)^{(n-1)}}$ Στο 0 ο πρωτος όρος μηδενίζεται και για τον 2ο έχουμε

Για τον υπολογισμό της $\displaystyle{a_n=(tanx)^{(n)}}$ έχουμε $\displaystyle{a_1=1+a_0^2 }$

$\displaystyle{a_2=2a_0a_1 }$

$\displaystyle{a_3=2(a_1^2+a_0a_2) }$

$\displaystyle{a_4=2(2a_1a_2+a_1a_2+a_0a_3)=2(3a_1a_2+a_0a_3)}$

$\displaystyle{a_5=2(3(a_2^2+a_1a_3)+(a_1a_3+a_0a_4))}$

$\displaystyle{a_6=2(3(2a_2a_3+a_2a_3+a_1a_4)+a_2a_3+a_1a_4+a_1a_4+a_0a_5))}}=2(10a_2a_3+5a_1a_4+a_0a_5)$
δεν κατάφερα κάτι παρακάτω κάποια βοήθεια?

Ακέραια τιμή παραγώγου (Δ. 5)

Ακέραια τιμή παραγώγου (Δ. 5)

Re: Ακέραια τιμή παραγώγου

Re: Ακέραια τιμή παραγώγου

Re: Ακέραια τιμή παραγώγου

Μέλη σε σύνδεση