Δεν υπάρχει

mathxl · #1

Να δείξετε ότι δεν υπάρχει παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: (1,\infty)\to\mathbb{R}$ τέτοια ώστε $f'(x) <\frac{2}{x}-e^{-f(x)}$ και $f'(x)\le 0$ για κάθε χ > 1

#2

η δοσμένη ανισότητα γίνεται

$\displaystyle{x^2e^ff'-2xe^f<-x^2}$ ή... $\displaystyle{(\frac{e^f-x}{x^2})'<0}$ η $\displaystyle{g=\frac{e^f-x}{x^2}}$ γν.φθίνουσα

Άρα $\displaystyle{g(x)>\lim_{x\to +\infty}g(x)}$
επειδή f φθίνουσα έχει όριο ή αριθμό ή το -άπειρο , όμως και στις δυο περιπτώσεις $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}g(x)=0}$

τότε $\displaystyle{e^f>x}$ 'η $\displaystyle{f>lnx}$ οπότε $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f=+\infty}$ άτοπο αφού f φθίνουσα

mathxl · #3

Η πηγή http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=409174 (ίδια ιδέα λύσης έχει και Νίκος Ζανταρίδης)...και αυτή αναπάντητη

Δεν υπάρχει

Δεν υπάρχει

Re: Δεν υπάρχει

Re: Δεν υπάρχει

Μέλη σε σύνδεση