Συνάρτηση συνεχής και επί

#1

Αν η συνάρτηση $f:[a, +\infty) \to \mathbb{R}$ είναι συνεχής και επί, να αποδειχθεί ότι για κάθε $c \in \mathbb{R}$ η εξίσωση f(x)=c

έχει άπειρες λύσεις

AlexandrosG · #2

Γειά σας κύριε Σπύρο.

Αφού η συνάρτηση είναι επί οι εξισώσεις έχουν πάντα λύση.

Έστω τώρα $\displaystyle{c \in \mathbb{R},n \in \mathbb{N}}$ τέτοιο ώστε η εξίσωση να έχει το πολύ

λύσεις, τις x_1<...<x_n

.

Στο διάστημα [a,x_n]}

η συνάρτηση έχει μέγιστο

και ελάχιστο

. Τότε αφού είναι επί υπάρχουν $\xi_1,\xi_2>x_n$ τέτοια ώστε $f(\xi_1)=M+1,f(\xi_2)=m-1$ .

Από το Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών και αφού m-1<c<M+1

υπάρχει $\xi>x_n$ τέτοιο ώστε $f(\xi)=c$ . Άτοπο αφού υποθέσαμε ότι η εξίσωση έχει το πολύ

λύσεις.

#3

Αλέξανδρε πολύ ωραία!!!

Συνάρτηση συνεχής και επί

Συνάρτηση συνεχής και επί

Re: Συνάρτηση συνεχής και επί

Re: Συνάρτηση συνεχής και επί

Μέλη σε σύνδεση