Ερωτήσεις Μαθηματικών

[solon28]

Οι ερωτήσεις που θέλω να κάνω είναι δύο:

1) Γιατί ο αριθμός π λέγεται υπερβατικός; Πότε ένας αριθμός λέγεται υπερβατικός;

2)Όταν ο υπολογισμός ενός ορίου οδηγεί σε απροσδιόριστη μορφή 0/0 τότε το όριο αυτό υπάρχει πάντα και είναι πραγματικός αριθμός ή μπορεί να είναι απροσδιόριστη μορφή 0/0 και το όριο να μην υπολογίζεται;

Ευχαριστώ εκ των προτέρων!

[chris_gatos]

Ένας αριθμός λέγεται υπερβατικός, όταν δεν είναι ρίζα κάποιας πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές.
Απροσδιόριστο=Μη μονοσήμαντα ορισμένο
πχ ,όμως ,ενώ και . Με λίγα λόγια σου έδωσα 2 παραδείγματα +00-(+00) που δίνουν διαφορετικό όριο.
Αν θέλουν και οι πιο έμπειροι συνάδελφοι να συμπληρώσουν τότε ακόμη καλύτερα!

[solon28]

Ναι αλλά τι γίνεται στη περίπτωση που κάποιο όριο είναι απροσδιόριστης μορφης 0/0 (μηδέν προς μηδέν); Υπάρχει πάντα ένα τέτοιο όριο;

[mathxl]

Απροσδιόριστη σημαίνει αυτό που λέει η λέξη ετυμολογικά, δηλαδή δεν μπορούμε να την προσδιορίσουμε και να πούμε ότι πάντα κάνει τόσο (μη μονοσήμαντα αποτέλεσμα όπως έγραψε ο Χρήστος). Αυτό σημαίνει ότι πχ απροσιοριστία της μορφής 0/0 μπορεί να οδηγήσει σε ότι θέλεις πχ το δεν υπάρχει
το υπάρχει και κάνει 2, το υπάρχεικαι κάνει +άπειρο και το αντίθετο από αυτό το όριο κάνει -άπειρο. Γιαυτό υπάρχουν και τεχνικές άρσης απροσδιοριστίας ώστε με τεχνάσματα να αποφαινόμαστε για την τιμή του ορίου (εάν υπάρχει)

[chris_gatos]

. Υπάρχει;;

[nsmavrogiannis]

Θα ήθελα να προσθέσω ότι αν έχουμε μία απροσδιόριστη μορφή μπορεί τελικά να μην υπάρχει καν το όριο δηλαδή να μη γίνεται όπως λέμε "άρση της απροσδιοριστίας. Για παράδειγμα στο όριο έχουμε μεν απροσδιόριστη μορφή αλλά το όριο δεν υπάρχει.
Μαυρογιάννης

Βλέπω εκ΄ των υστέρων ότι έδωσε και ο Βασίλης τέτοια παράδειγμα. Ας είναι.

[solon28]

Νομίζω ότι το όριο δεν υπάρχει διότι



το οποίο όριο αν πάρουμε πλευρικά όρια x\rightarrow ,
το πρώτο θα βγεί και το δεύτερο θα βγεί

[solon28]

Νομίζω ότι το όριο \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}-x}{x^{2}} δεν υπάρχει διότι

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}-x}{x^{2}} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x(x-1)}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-1}{x}

το οποίο όριο αν πάρουμε πλευρικά όρια x\rightarrow 0^{+} , x\rightarrow 0^{-}
το πρώτο θα βγεί -\propto και το δεύτερο θα βγεί +\propto

Ενώ τα έγραψα με τον ΕqEditor τα βγάζει έτσι δεν ξέρω τι φταίει!

[nsmavrogiannis]

'Οτι εξίσωση γράφεις να την μαρκάρεις και να πατάς το κουμπάκι tex. Τα προηγούμενα τα διόρθωσα. Δες και πως είναι ο κώδικάς.
Μαυρογιάννης

[Χρήστος Λαζαρίδης]

Όταν έχουμε απροσδιόριστη μορφή του τύπου ή οποιαδήποτε άλλη απροσδιόριστη μορφή, έχουμε το πρόβλημα ότι δεν υπάρχει θεώρημα, που να έχει ένα συγκεκριμένο συμπέρασμα.
Δηλαδή,δεν υπάρχει θεώρημα, που να λέει, έχεις απροσδιοριστία , τότε το όριο ισούται με 0 ή συν άπειρο ή οτιδήποτε άλλο.
Το γεγονός ότι δεν είναι δυνατόν να υπάρχει ένα τέτοιο θεώρημα φαίνεται από τα προηγούμενα πετυχημένα παραδείγματα, όπου η ίδια απροσδιοριστία δεν οδηγεί πάντα στο ίδιο συμπέρασμα.
Άν έχουμε λοιπόν μία απροσδιόριστη μορφή δεν ξέρουμε εκ των προτέρων τι θα συμβεί!
Δεν ξέρω αν βοήθησα;

[Κώστας Μαλλιάκας]

Οι ερωτήσεις που θέλω να κάνω είναι δύο:

1) Γιατί ο αριθμός π λέγεται υπερβατικός; Πότε ένας αριθμός λέγεται υπερβατικός;

2)Όταν ο υπολογισμός ενός ορίου οδηγεί σε απροσδιόριστη μορφή 0/0 τότε το όριο αυτό υπάρχει πάντα και είναι πραγματικός αριθμός ή μπορεί να είναι απροσδιόριστη μορφή 0/0 και το όριο να μην υπολογίζεται;

Ευχαριστώ εκ των προτέρων!

Και κάτι για συμπλήρωμα στον υπερβατικό π (και e) :ονομάστηκαν υπερβατικοί γιατί "υπερέβαιναν" τις ιδιότητες των άρρητων... αφού είχαν εξαιρετικά καλές ρητές προσεγγιστικές τιμές για να είναι αλγεβρικοί άρρητοι. Επίσης πρώτα κατασκευάστηκαν τέτοιοι αριθμοί για να δείξουν ότι όντως υπάρχουν (Λιουβίλ 1844) και μετά αποδείχθηκε ότι το π (Λιντεμαν 1882) και το e είναι υπερβατικοί (Ερμίτ 1873).