Μηδενική συνάρτηση

Tolaso J Kos · #1

Έστω

συνεχής σε ένα διάστημα $[a, \beta]$ . Αν για οποιαδήποτε συνεχή συνάρτηση

στο $[a, \beta]$ με $g(a)=g(\beta)=0$ , ισχύει $\displaystyle{\int_a^\beta f(x) g(x) \, dx =0}$ τότε δείξτε ότι η

είναι η μηδενική συνάρτηση.

Δεν έχω λύση.

#2

Tolaso J Kos έγραψε:Έστω συνεχής σε ένα διάστημα $[a, \beta]$ . Αν για οποιαδήποτε συνεχή συνάρτηση στο $[a, \beta]$ με $g(a)=g(\beta)=0$ , ισχύει $\displaystyle{\int_a^\beta f(x) g(x) \, dx =0}$ τότε δείξτε ότι η είναι η μηδενική συνάρτηση.

Παίρνουμε

οπότε από την υπόθεση έχουμε $\displaystyle{ \int _a^b(x-a)(b-x)f^2(x) \,dx =0}$ . Επειδή
$(x-a)(b-x)f^2(x)\ge 0, \, \forall x\in [a,\,b]$ (γινόμενο τριών μη αρνητικών), σημαίνει ότι $(x-a)(b-x)f^2(x)=0, \forall x \in [a,\, b]$ (γνωστή ιδιότητα ολοκληρωμάτων μη αρνητικών συνεχών συνατήσεων). Ειδικά, f(x)=0

για κάθε $x\in (a,\, b)$ (δηλαδή η

μηδενίζεται εκτός ίσως στα άκρα). Λόγω συνεχείας, μηδενίζεται και στα άκρα, όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

Antonis Loutraris · #3

Kαλησπέρα και χρόνια πολλά σε όλο το forum.

Πρόσφατα συνάντησα αυτή την άσκηση και η δική μου προσέγγιση, περίπου στο ίδιο ύφος, ήταν με άτοπο ως εξής:

Yποθέτουμε οτι υπάρχει $x_{0}\in(\alpha,\beta)$ ώστε $f(x_{0})>0.$ Άρα σίγουρα μπορούμε να βρούμε κάποιο $\delta>0$
ώστε $\displaystyle{f(x)>\frac{f(x_{0})}{2}>0}$ για κάθε $x\in[x_{0}-\delta,x_{0}+\delta].$ Σε αυτό το σημείο ορίζω
τη συνεχή συνάρτηση $g:[\alpha,\beta]\rightarrow\mathbb{R}$ με τον ακόλουθο τρόπο:

Στα διαστήματα $[\alpha,x_{0}-\delta]$ και $[x_{0}+\delta,\beta]$ την ορίζουμε ταυτοτικά μηδέν, $g(x_{0})=f(x_{0})$ και την
επεκτείνουμε γραμμικά στα διαστήματα $[x_{0}-\delta,x_{0}]$ και $[x_{0},x_{0}+\delta].$
Συνεπώς από υπόθεση έχουμε οτι $\displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta}f(x)g(x)dx=0=\int_{x_{0}-\delta}^{x_{0}+\delta}f(x)g(x)dx.}$

Η $f\cdot g$ είναι μη αρνητική άρα από γνωστή άσκηση $f\cdot g=0$ για κάθε $x\in[x_{0}-\delta,x_{0}+\delta].$
Ειδικότερα $f(x_{0})g(x_{0})=f^{2}(x_{0})$ το οποίο είναι άτοπο.

Μηδενική συνάρτηση

Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Re: Μηδενική συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση