Άλυτη Εικασία

Rafaelcrete · #1

Ο κύριος Κωνσταντόπουλος Ηλίας το 2004 παρουσίασε στο συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας,την εργασία του με θέμα "Δύο θεωρήματα της Ανάλυσης".Στο τέλος της εργασίας του έκανε μια εικασία που παραμένει από τότε άλυτη.
Θεώρημα
Σε κάθε εκθετική συνάρτηση $f(x)=ca^{x}$ όπου

τυχαία σταθερά και a>0

και σε κάθε διάστημα,το σημείο $\xi$ του Θ.Μ.Τ. του διαφορικού λογισμού και το σημείο $\xi$ του Θ.Μ.Τ. του ολοκληρωτικού λογισμού,ταυτίζονται.
Εικασία
Δεν υπάρχει άλλη στοιχειώδης συνάρτηση με την παραπάνω ιδιότητα.

#2

Rafaelcrete έγραψε:Ο κύριος Κωνσταντόπουλος Ηλίας το 2004 παρουσίασε στο συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας,την εργασία του με θέμα "Δύο θεωρήματα της Ανάλυσης".Στο τέλος της εργασίας του έκανε μια εικασία που παραμένει από τότε άλυτη.
Θεώρημα
Σε κάθε εκθετική συνάρτηση $f(x)=ca^{x}$ όπου c τυχαία σταθερά και και σε κάθε διάστημα,το σημείο ξ του Θ.Μ.Τ. του διαφορικού λογισμού και το σημείο ξ του Θ.Μ.Τ. του ολοκληρωτικού λογισμού,ταυτίζονται.
Εικασία
Δεν υπάρχει άλλη στοιχειώδης συνάρτηση με την παραπάνω ιδιότητα.

Η λέξη "εικασία" έχει βαρύνουσα σημασία. Νομίζω ότι θα πρέπει να χρησιμοποιείται με φειδώ.

Δείτε και τη συζήτηση εδώ.

Θα προτιμούσα τον πιο "αθώο" όρο: ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ.

Ποια είναι τα δεδομένα που συνηγορούν στην αλήθεια του ισχυρισμού αυτού και ποια η σημασία του;

Φιλικά,

Αχιλλέας

Rafaelcrete · #3

Rafaelcrete έγραψε:Ο κύριος Κωνσταντόπουλος Ηλίας το 2004 παρουσίασε στο συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας,την εργασία του με θέμα "Δύο θεωρήματα της Ανάλυσης".Στο τέλος της εργασίας του έκανε έναν ισχυρισμό που παραμένει από τότε άλυτος.
Θεώρημα
Σε κάθε εκθετική συνάρτηση $f(x)=ca^{x}$ όπου c τυχαία σταθερά και και σε κάθε διάστημα,το σημείο ξ του Θ.Μ.Τ. του διαφορικού λογισμού και το σημείο ξ του Θ.Μ.Τ. του ολοκληρωτικού λογισμού,ταυτίζονται.
ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ
Δεν υπάρχει άλλη στοιχειώδης συνάρτηση με την παραπάνω ιδιότητα.

#4

achilleas έγραψε:
Rafaelcrete έγραψε:Ο κύριος Κωνσταντόπουλος Ηλίας το 2004 παρουσίασε στο συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας,την εργασία του με θέμα "Δύο θεωρήματα της Ανάλυσης".Στο τέλος της εργασίας του έκανε μια εικασία που παραμένει από τότε άλυτη.
Θεώρημα
Σε κάθε εκθετική συνάρτηση $f(x)=ca^{x}$ όπου c τυχαία σταθερά και και σε κάθε διάστημα,το σημείο ξ του Θ.Μ.Τ. του διαφορικού λογισμού και το σημείο ξ του Θ.Μ.Τ. του ολοκληρωτικού λογισμού,ταυτίζονται.
Εικασία
Δεν υπάρχει άλλη στοιχειώδης συνάρτηση με την παραπάνω ιδιότητα.
Η λέξη "εικασία" έχει βαρύνουσα σημασία. Νομίζω ότι θα πρέπει να χρησιμοποιείται με φειδώ.

Δείτε και τη συζήτηση εδώ.

Θα προτιμούσα τον πιο "αθώο" όρο: ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ.

Ποια είναι τα δεδομένα που συνηγορούν στην αλήθεια του ισχυρισμού αυτού και ποια η σημασία του;

Φιλικά,

Αχιλλέας

Αχιλλέα είμαι γενικότερα πολύ πιο δεκτικός από εσένα στην χρήση του όρου "εικασία", στην συγκεκριμένη περίπτωση αρχίζω να υποπτεύομαι ότι ... η απουσία είτε επαλήθευσης είτε κατάρριψης του παραπάνω ισχυρισμού του κ. Ηλία Κωνσταντόπουλου στις 60+ ώρες που πέρασαν από την δημοσίευση του Rafaelcrete ... αρχίζει να δικαιολογεί την χρήση του όρου ΕΙΚΑΣΙΑ

Πιστεύω επίσης ότι αν ο ισχυρισμός αποδειχθεί τελικά αληθής ... θα πρόκειται για ΠΑΝΕΜΟΡΦΟ αποτέλεσμα!

#5

Rafaelcrete έγραψε:Ο κύριος Κωνσταντόπουλος Ηλίας το 2004 παρουσίασε στο συνέδριο Μαθηματικής Παιδείας,την εργασία του με θέμα "Δύο θεωρήματα της Ανάλυσης".Στο τέλος της εργασίας του έκανε μια εικασία που παραμένει από τότε άλυτη.
Θεώρημα
Σε κάθε εκθετική συνάρτηση $f(x)=ca^{x}$ όπου τυχαία σταθερά και και σε κάθε διάστημα,το σημείο $\xi$ του Θ.Μ.Τ. του διαφορικού λογισμού και το σημείο $\xi$ του Θ.Μ.Τ. του ολοκληρωτικού λογισμού,ταυτίζονται.
Εικασία
Δεν υπάρχει άλλη στοιχειώδης συνάρτηση με την παραπάνω ιδιότητα.

Δοκιμάζοντας την $f\left( x\right) =e^{x}+1$ βρίσκω ότι
$\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=f\left( \xi \right) \left( b-a\right) \Leftrightarrow \xi =\ln \frac{e^{b}-e^{a}}{b-a}$
$\frac{f\left( b\right) -f\left( a\right) }{b-a}=f^{\prime }\left( \xi \right) \Leftrightarrow \xi =\ln \frac{e^{b}-e^{a}}{b-a}$
Επίσης αν υποτεθεί ότι $e^{x}+1=ca^{x}$ για όλα τα

τότε θέτοντας x=0

βρίσκω

. Δηλαδή $e^{x}+1=2a^{x}$ για όλα τα

.
Παραγωγίζοντας βρίσκω $e^{x}=2a^{x}\ln a$ . και επομένως θέτοντας x=0

ότι
$a=e^{\frac{1}{2}}$ .
Επομένως θα πρέπει για όλα τα

να ισχύει
$e^{x}+1=2e^{\frac{x}{2}}$ .
Αλλά η παραπάνω ισχύει μόνο για x=0

.
Αυτά και πάντα με την επιφύλαξη του προχωρημένου της ώρας.
Μαυρογιάννης

Rafaelcrete · #6

Λάθος διατύπωση έκανα.Την συνθήκη αυτή ικανοποιούν όλες οι εκθετικες συναρτήσεις ακόμη και η οριζόντια ή κατακόρυφη μετατόπιση αυτών.

#7

gbaloglou έγραψε:....
Πιστεύω επίσης ότι αν ο ισχυρισμός αποδειχθεί τελικά αληθής ... θα πρόκειται για ΠΑΝΕΜΟΡΦΟ αποτέλεσμα!

Ωραίο θα είναι, πράγματι.

Αν είχαμε μια καλή βιβλιογραφία στη διάθεσή μας θα μπορούσαμε να το ψάξουμε. Ένα άλλο αποτέλεσμα του κ. Κωνσταντόπουλου έπεται από μια άσκηση που βρήκα στο "Mathematical Analysis" του Apostol για παράδειγμα.

Δεν είμαι σίγουρος, όμως, ότι ο ισχυρισμός έχει διατυπωθεί σωστά.

Τι σημαίνει "το σημείο ξ του Θ.Μ.Τ. του διαφορικού" και "το σημείο ξ του ...";

Για οποιαδήποτε από τα δύο θεωρήματα μέσης τιμής, τα σημεία αυτά δεν είναι κατ'ανάγκη μοναδικά.

Ποια εκδοχή από τις παρακάτω είναι η σωστή;

**********************************************************
ΕΚΔΟΧΗ 1. Αν η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ είναι τέτοια ώστε, για κάθε a<b,

υπάρχει μοναδικό $a<\xi<b$ τέτοιο ώστε

$f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ και $\displaystyle{f(\xi)=\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\,dt}$ ,

τότε ισχύει f(x)=ce^x+d

για κάθε $x\in \mathbb{R}$ (με $c,d\in \mathbb{R}$ σταθερές).

**********************************************************

ή

**********************************************************
ΕΚΔΟΧΗ 2. Αν η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ είναι τέτοια ώστε, για κάθε a<b,

υπάρχει $a<\xi<b$ τέτοιο ώστε

$f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ και $\displaystyle{f(\xi)=\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\,dt}$ ,

τότε ισχύει f(x)=ce^x+d

για κάθε $x\in \mathbb{R}$ (με $c,d\in \mathbb{R}$ σταθερές).

**********************************************************

Rafaelcrete έγραψε:....
ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ
Δεν υπάρχει άλλη στοιχειώδης συνάρτηση με την παραπάνω ιδιότητα.

Σε καμιά από τις παραπάνω εκδοχές δεν υπάρχει η λέξη "στοιχειώδης", όμως. Πως θα μπορούσε να συμπεριληφθεί και τι σημαίνει ακριβώς;

Θα πρέπει ο ισχυρισμός να διατυπωθεί με περισσότερη σαφήνεια.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Rafaelcrete · #8

Παραθέτω την εργασία του κυρίου ολόκληρη:
Βρίσκεται στον παρακάτω σύνδεσμο
http://mathtime.webnode.com/news/%CF%83 ... %BB%CE%B1/

#9

Αχιλλέα σ' ευχαριστούμε για τα σχόλια σου. Το περί μοναδικότητος του $\xi$ το είχα σκεφθεί, σκεπτόμενος/διαισθανόμενος επίσης ότι αν υπάρχει για κάθε διάστημα τέτοιο $\xi$ ... τότε θα είναι υποχρεωτικά και μοναδικό, γέρνοντας δηλαδή προς την ΕΚΔΟΧΗ 2 που παρέθεσες. Τα περί "στοιχειώδους συνάρτησης" τα αγνόησα εξ αρχής. Θα προτιμούσα σε πρώτη φάση άλλες συνθήκες, πχ μονοτονία.

Την εργασία του κ. Κωνσταντόπουλου δεν κατάφερα να την βρω στον σύνδεσμο που παρέθεσε ο Ραφαήλ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

gbaloglou έγραψε:Αχιλλέα σ' ευχαριστούμε για τα σχόλια σου. Το περί μοναδικότητος του $\xi$ το είχα σκεφθεί, σκεπτόμενος/διαισθανόμενος επίσης ότι αν υπάρχει για κάθε διάστημα τέτοιο $\xi$ ... τότε θα είναι υποχρεωτικά και μοναδικό, γέρνοντας δηλαδή προς την ΕΚΔΟΧΗ 2 που παρέθεσες. Τα περί "στοιχειώδους συνάρτησης" τα αγνόησα εξ αρχής. Θα προτιμούσα σε πρώτη φάση άλλες συνθήκες, πχ μονοτονία.

Την εργασία του κ. Κωνσταντόπουλου δεν κατάφερα να την βρω στον σύνδεσμο που παρέθεσε ο Ραφαήλ.

Γιώργο ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ.
Στον σύνδεσμο πας Συνέδρια -Ημερίδες-Δημοσιεύσεις
και μετά Συνέδριο Ε.Μ.Ε Τρίκαλα 2004.

#11

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
gbaloglou έγραψε:Αχιλλέα σ' ευχαριστούμε για τα σχόλια σου. Το περί μοναδικότητος του $\xi$ το είχα σκεφθεί, σκεπτόμενος/διαισθανόμενος επίσης ότι αν υπάρχει για κάθε διάστημα τέτοιο $\xi$ ... τότε θα είναι υποχρεωτικά και μοναδικό, γέρνοντας δηλαδή προς την ΕΚΔΟΧΗ 2 που παρέθεσες. Τα περί "στοιχειώδους συνάρτησης" τα αγνόησα εξ αρχής. Θα προτιμούσα σε πρώτη φάση άλλες συνθήκες, πχ μονοτονία.

Την εργασία του κ. Κωνσταντόπουλου δεν κατάφερα να την βρω στον σύνδεσμο που παρέθεσε ο Ραφαήλ.
Γιώργο ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ.
Στον σύνδεσμο πας Συνέδρια -Ημερίδες-Δημοσιεύσεις
και μετά Συνέδριο Ε.Μ.Ε Τρίκαλα 2004.

Σταύρο Χρόνια Πολλά ή/και Καλή Ανάσταση και από εδώ! Ευχαριστώ και τον Ραφαήλ (προσωπικό μήνυμα) και εσένα, βρήκα τελικά την εργασία του 2004, όπου συνσυγγραφέας του κ. Ηλία Κωνσταντόπουλου είναι η κ. Αγορή Νιαβή. Παραθέτω αυτούσια την τελική παράγραφο:

Αυτό το θεώρημα δεν προτείνεται για το σχολικό βιβλίο. Είναι όμως ένα αποτέλεσμα που εντυπωσιάζει. Αν όντως ισχύει μόνο για την εκθετική συνάρτηση είναι ακόμη πιο εντυπωσιακό. Να μην ξεχνούμε ότι πρώτα ανακαλύφτηκε ότι (e^x)'=e^x

και αρκετά αργότερα ότι αυτή είναι η μοναδική συνάρτηση με αυτή την ιδιότητα.

#12

gbaloglou έγραψε:Αχιλλέα σ' ευχαριστούμε για τα σχόλια σου. Το περί μοναδικότητος του $\xi$ το είχα σκεφθεί, σκεπτόμενος/διαισθανόμενος επίσης ότι αν υπάρχει για κάθε διάστημα τέτοιο $\xi$ ... τότε θα είναι υποχρεωτικά και μοναδικό, γέρνοντας δηλαδή προς την ΕΚΔΟΧΗ 2 που παρέθεσες. Τα περί "στοιχειώδους συνάρτησης" τα αγνόησα εξ αρχής. Θα προτιμούσα σε πρώτη φάση άλλες συνθήκες, πχ μονοτονία.

Την εργασία του κ. Κωνσταντόπουλου δεν κατάφερα να την βρω στον σύνδεσμο που παρέθεσε ο Ραφαήλ.

Καμιά εκδοχή δεν είναι αληθής.

Για παράδειγμα, παίρνουμε $f(x)=kx+\lambda$

Τότε για κάθε a<b

, το $\xi=\dfrac{a+b}{2}\in (a,b)$ ικανοποιεί και τα δύο αποτελέσματα:

$f'(\frac{a+b}{2})=k=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ και $\displaystyle{f(\frac{a+b}{2})=k\dfrac{a+b}{2}+\lambda=\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\,dt}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

#13

Τόσο απλό λοιπόν ... αν και η γραμμική συνάρτηση είναι 'ακραία περίπτωση', κλπ κλπ Μέχρι και αν κάποιος παρουσιάσει κάτι πιο συγκεκριμένο για μη γραμμικές συναρτήσεις ... η συζήτηση κλείνει (νομίζω)...

Καλό Πάσχα σε όλους!

#14

Χριστός Ανέστη
Η αρχική διατύπωση στην εισήγηση των Κωνσταντόπουλου, Νιαβή (σ. 63) στην οποία δόθηκε ο ισχυρισμός δεν περιλάμβανε τις μετατοπίσεις. Επίσης, όπως έχει επισημανθεί, δεν ορίζεται καλώς τι εννοείται με τον όρο στοιχειώδεις συναρτήσεις (διότι υπάρχουν διάφοροι ορισμοί). Τέλος στην εισήγηση χρησιμοποιείται οριστικό άρθρο για το $\xi$ υπονοώντας έμμεσα ότι θα είναι μοναδικό.
Μου φαίνεται λοιπόν εύλογο αλλά και ενδιαφέρον να επαναδιατυπώσουμε τον ισχυρισμό ως εξής:

Οι μόνες παραγωγίσιμες γνησίως μονότονες συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ με γνησίως μονότονη παράγωγο για τις οποίες για κάθε υπάρξει $\xi$ ώστε:
$\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx=f\left( \xi \right) \left( b-a\right)$ και $f\left( b\right) -f\left( a\right) =f^{\prime }\left( \xi \right) \left( b-a\right)$
είναι οι συναρτήσεις της μορφής $f\left( x\right) =pr^{x}+q$ με $p \neq 0, r>0$ .

#15

: 2004.png (16.79 KiB) Προβλήθηκε 2071 φορές

Άλυτη Εικασία

Άλυτη Εικασία

Re: Άλυτη Εικασία

ΑΛΥΤΟΣ ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ

Re: Άλυτη Εικασία

Re: Άλυτη Εικασία

Re: Άλυτη Εικασία

Re: Άλυτη Εικασία

Re: Άλυτη Εικασία

Re: Άλυτη Εικασία

Re: Άλυτη Εικασία

Re: Άλυτη Εικασία

Re: Άλυτη Εικασία

Re: Άλυτη Εικασία

Re: Άλυτη Εικασία

Re: Άλυτη Εικασία

Μέλη σε σύνδεση