Υπάρχει συνάρτηση ;

#1

Καλή σας μέρα
Υπάρχει συνάρτηση $f:(0,+\infty) \to (0,+\infty)$ , συνεχής και γνησίως φθίνουσα με την ιδιότητα
$f(x+y)+f(f(x)+f(y))=f(f(x+f(y)))+f(y+f(x)), \forall x,y \in (0,+\infty)$

dement · #2

Καλημερα.

Λογω μονοτονιας και φραγματων υπαρχουν τα ορια $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = l_{\infty} \geq 0, \ \lim_{x \to 0} f(x) = l_0 > 0$ (το δευτερο οριο πιθανως απειρο).

Εστω $l_{\infty} > 0$ . Θετοντας x = y

και παιρνοντας ορια στο απειρο, εχουμε $l_{\infty} + f (2 l_{\infty}) = f( l_{\infty}) + l_{\infty}$ , δηλαδη $f (2 l_{\infty}) = f( l_{\infty})$ , ατοπο λογω μονοτονιας. Αρα $l_{\infty} = 0$ .

Παιρνοντας ορια για

στο απειρο και σταθερο y > 0

, εχουμε (απο συνεχεια) f[f(y)] = l_0 + f(y)

. Αρα $f[f(y)] > f(y) \implies 0 < f(y) < y$ λογω μονοτονιας. Ετσι, απο ισοσυγκλινουσες συναρτησεις εχουμε $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ που ειναι ατοπο.

Οποτε τετοια συναρτηση δεν υπαρχει.

Δημητρης Σκουτερης

k-ser · #3

s.kap έγραψε:Υπάρχει συνάρτηση $f:(0,+\infty) \to (0,+\infty)$ , συνεχής και γνησίως φθίνουσα με την ιδιότητα
$f(x+y)+f(f(x)+f(y))=f(f(x+f(y)))+f(y+f(x)), \forall x,y \in (0,+\infty)$

Μια λίγο διαφορετική προσέγγιση.

Α. Αφού η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο $(0,+\infty)$ με θετικές τιμές, τα όρια της

στο

και στο $+\infty$ θα είναι B, A

με $B>A \geq 0$ αντίστοιχα.

Β. Με τη βοήθεια του παραπάνω εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι θα υπάρχει μοναδικό y>0

τέτοιο ώστε f(y)=y

.
(Δεν μπορεί $f(x)\ne x$ για κάθε θετικό αφού τότε θα έπρεπε, λόγω συνέχειας, για κάθε θετικό ή για κάθε θετικό . Και οι δύο περιπτώσεις, με την βοήθεια των ορίων και του Α, μας οδηγούν σε άτοπο.)

Γ. Τοποθετούμε το

για το οποίο f(y)=y

στην δοσμένη σχέση και έχουμε:
$f(x+y)+f(f(x)+y)=f(f(x+y))+f(y+f(x)), \forall x \in (0,+\infty)$
ή
$f(x+y)=f(f(x+y)), \forall x \in (0,+\infty)$
και, λόγω μονοτονίας,
$x+y=f(x+y), \forall x \in (0,+\infty)$

Η τελευταία σχέση είναι ασυμβίβαστη με την μονοτονία της

.

#4

Ωραίες λύσεις και οι δύο. Η δική μου είναι σχεδόν ίδια με αυτή του Κώστα(Χρόνια πολλά Κώστα!!). Δηλαδή στηρίζομαι στο ότι υπάρχει x_0>0

ώστε

. Αν στη σχέση που δίνεται θέσουμε x=y=x_0

, έχουμε $f(2x_0)=f(f(x_0)) \Rightarrow 2x_0=x_0 \Rightarrow 2=1$ , άτοπο
Φιλικά

Υπάρχει συνάρτηση ;

Υπάρχει συνάρτηση ;

Re: Υπάρχει συνάρτηση ;

Re: Υπάρχει συνάρτηση ;

Re: Υπάρχει συνάρτηση ;

Μέλη σε σύνδεση